[Scienza delle Costruzioni] Caгico сгitico travatuгa?

[alessandro.unipi]

Buongiorno,
devo calcolare il carico critico di queste due travature, suggerimenti?

[sonoqui_1]

Le due travi orizzontali sono uguali? Cioè hanno la stessa sezione cstante lungo la trave?

[alessandro.unipi]

Si, hanno la stessa sezione.
EI, EA = cost.

la prima l'ho schematizzata in questo modo


K(molla) = 2EA/l
Devo per forza applicare la soluzione di eulero e andare a risolvere la matrice dei coeff. delle costanti arbitrarie?

[sonoqui_1]

Quindi hai supposto, nel primo disegno, che la trave inferiore sia rigida. è specificato nel testo dell'esercizio? Se non fosse rigida la costante elastica della molla sarebbe diversa da quella che hai indicato.
Per risolvere si può ricavare l'equazione della linea elastica nei due tratti di trave a destra e a sinistra della molla, ottenendo così due funzioni incognite con due costanti ognuna, da ricavare con le condizioni al bordo, e imporre, sulla cerniera e sul carrello, freccia nulla (spostamento verticale della trave) (2 equazioni) e, in corrispondenza della molla, inclinazione della deformata e freccia uguale per i due tratti di trave (2 equazioni), visto che sono incastrati. Oltre alle costanti dovute all'integrazione delle equazioni differenziali è presente una ulteriore incognita, dovuta alla forza della molla, proporzionale alla freccia al centro dela trave (1 equazione).
Quindi si hanno in totale 5 incognite con 5 equazioni algebriche, per cui, se c'è una soluzione, si può ricavare il/i valore/i del carico P per cui le equazioni non sono indipendenti e si ricava la forma della deformata arbitraria della trave corrispondente.

[alessandro.unipi]

Hai ragione, l'asta inferiore non è rigida.. quindi la rigidezza della molla è pari alla rigidezza flessionale della trave inferiore EA?

[sonoqui_1]

La rigidezza della molla equivalente può essere ricavata come rigidezza di due molle in serie, di cui una ha costante elastica da te ricavata, associata all'elasticità a trazione della trave verticale, e l'altra data dal rapporto tra forza applicata e freccia della trave orizzontale inferiore. Questo si può ricavare semplicemende risolvendo l'equazione della linea elastica per la trave inferiore, con sollecitazioni ricavate nella configurazione indeformata, ipotesi valida se si trascurano gli spostamenti orizzontali delle cerniere interne. è un valore tipico di freccia per una trave appoggiata agli estremi con applicato al centro un carico concentrato, che può essere trovato anche tabellato, per verifica.
EA non è una rigidezza flessionale dipende sicuramente dal momento di inerzia della sezione rispetto all'asse su cui è applicato il momento flettente, e se non ricordo male è un parametro che esprime il rapporto momento flettente/curvatura, cioè quanto si curva la trave in base alla flessione applicata, non la freccia.

PS: a occhio direi che, per ogni carico critico P, relativo alla trave orizzontale superiore, ci sono due deformate corrispondenti, opposte, per esempio, per la prima deformata, verso l'alto e verso il basso (quindi con possibile compressione e instabilizzazione della trave verticale).
Il carico critico per l'intera struttura, se le travi sono perfettamente rettilinee, è quello relativo alla sola trave orizzontale superiore, visto che, se questa trave non si instabilizza, il carico di compressione sulla trave verticale è nullo.

[alessandro.unipi]

Ma le condizioni di equilibrio non sono 8??
Per z=0 e z=l ho 4 condiz. al contorno, freccia,momento nulli
per z= l/2 ho 4 condizioni di raccordo, freccia, rotazioni, momento uguali per i due tratti di trave + taglio: T1(l/2)-kδ-T2(0)=0

[sonoqui_1]

In effetti può essere interpretato male quello che ho scritto, per cui devo specificare.
Mi riferisco all'equazione differenziale della linea elastica del secondo ordine, che richiede due condizioni per ogni tratto di trave.
L'equazione è questa, per intendersi
$-(M(x))/(EI)=(d^2f(x))/(dx^2)$
M momento flettente
E modulo elastico del materiale
I momento di inerzia della sezione
f freccia della trave
x coordinata assiale

[alessandro.unipi]

è vero, non ci ho pensato.
Quindi per calcolare i momenti da sostituire nell'equaz. della linea elastica devo considerare separatamente i due tratti della trave, in z=l/2 per le due travi separate ci devo mettere un doppio pendolo?

[sonoqui_1]

Può andare così come è, con l'incastro tra i due tratti. La separazione della soluzione, a destra e a sinistra della molla, deriva dal fatto che in corrispondenza della molla c'è una forza concentrata, e la derivata prima del momento flettente (da cui il taglio) non è continua, per cui, per scrivere la funzione momento flettente sulla trave, si devono scrivere due espressioni:
per $0 per $L/2

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[alessandro.unipi]

Quindi per calcolare i due momenti devo considerare anche la forza concentrata?
1) M₁ (0 2) M₂ (l/2
con R (forza esercitata dalla molla) = kδ

3) v₁' (z=l/2) = v₂' (z=0) rotazioni uguali
4) v₁ (z=l/2) = v₂ (z=0) spostamenti uguali

[sonoqui_1]

Mi pare ci sia un errore di segno. Se non sbaglio hai considerato R come componente della forza esercitata dalla molla sulla trave diretta verso il basso se positiva, quindi, se la freccia è positiva se diretta verso il basso (non so se hai ipotizzato questo ma solitamente si adotta questa convenzione), allora deve essere $R=-kdelta$. Per le forze elastiche il vettore forza ha sempre verso opposto rispetto al vettore spostamento rispetto alla posizione di equilibrio.
A parte questo, non hai considerato la presenza del carico P, che determina un momento flettente sulla trave in configurazione deformata, ma forse questo è un passaggio successivo che stavi per fare.

[alessandro.unipi]

si, manca il momento instabilizzante Pδ dovuto al carico, questo momento come faccio ad inserirlo, devo scrivere un'altra equazione? dovrei forse uguagliarlo al momento stabilizzante dovuto alla molla e all'asta?

[sonoqui_1]

Il momento flettente complessivo si ricava come somma dei due momenti flettenti.
L'equazione da applicare è quella di equilibrio alla traslazione e alla rotazione di ogni elemento infinitesimo di trave, ovvero, sotto l'ipotesi restrittiva di trascurare l'effetto del taglio e delle deformazioni normali, l'equazione della linea elastica, se vuoi quella del quarto ordine, con le condizioni al bordo necessarie.