[Scienza delle Costruzioni] Analogia di Mohr

[Magma1]

stavo rivedendo l'analogia di Mohr e non mi torna il risultato espresso riguardo una trave doppiamente appoggiata e soggetta a una coppia $mathcalM$ nell'estremo $A$. Il diagramma del momento è lineare:

$M={ (- \mathcalM, if z=0 ),( 0, if z=l ):}$

La trave ausiliare è soggetta agli stessi vincoli della trave reale e soggetta al carico fittizio

$q^**(z)=M/(EI)=-mathcalM/(EI) (l-z)/l$

equivalente al risultante

$R^*=int_0^l q^**dz=-1/2 mathcalM/(EI)l$

Dalla condizione che i momenti risultanti del carico e delle reazioni rispetto ai poli $B, A$ siano nulli, si ha:

$Y_A^**=-2/3 R^**=(mathcalMl)/(3EI), qquad Y_B^**=-1/3R^*=(mathcalMl)/(6EI)$

Questi risultati non mi tornano, perché andando a scrivere l'equazione del momento, rispettivamente, per $B$ e $A$ ottengo

$Y_A^**l-2/3lR^**=0, qquad -Y_B^**l+1/3lR^**=0$

ovvero

$Y_A^**=2/3R^**=-(mathcalMl)/(3EI), qquad Y_B^**=1/3R^**=-(mathcalMl)/(6EI)$

Cosa mi sta sfuggendo?

[peppe.carbone.90]

Il fatto che le reazioni (fittizie) vengano negative dalla prima condizione, indica che i versi ipotizzati erano sbagliati. Quando vai a scrivere la seconda equazione del momento, le reazioni le hai inserite con i loro versi corretti, quindi ti vengono positive. Non ti sfugge nulla direi.

[Magma1]

Grazie! Mi ha mandato in confusione il fatto che, sebbene risultante $R^**$ sia disegnato con verso negativo, si sia mantenuto come modulo $-1/2 (mathcalMl)/(EI)$ anziché $1/2 (mathcalMl)/(EI)$.

[peppe.carbone.90]

Attento: $R^{\text{*}}$ in modulo non può essere negativo!

[Magma1]

Eh, appunto!
Da questa condizione

$Y_A^**=-2/3 R^**, qquad | qquad Y_B^**=-1/3R^*$

andando a ritroso ottengo

$B: qquad Y_A^**+2/3 R^**=0, qquad|qquad A: qquad -Y_B^**-1/3R^**=0$

che corrisponde alla situazione in cui $R^**$ sia disegnato nel verso positivo delle $y$, ma col modulo negativo in quanto, dopo la sostituzione, pone:

$Y_A^**=-2/3 R^**=-2/3( -1/2 (mathcalMl)/(EI))=(mathcalMl)/(3EI), qquad | qquad Y_B^**=-1/3R^**(-1/2 (mathcalMl)/(EI))=(mathcalMl)/(6EI)$

Andando a verificare l'equilibrio alla traslazione su $y$:

$(1/3+1/6-1/2)(mathcalMl)/(EI),=0$

[peppe.carbone.90]

"Magma":Eh, appunto!
Da questa condizione

$Y_A^**=-2/3 R^**, qquad | qquad Y_B^**=-1/3R^*$

andando a ritroso ottengo

$B: qquad Y_A^**+2/3 R^**=0, qquad|qquad A: qquad -Y_B^**-1/3R^**=0$

Non capisco da dove viene quella condizione. Dovendo semplicemente trovare le reazioni vincolari, molto banalmente si scrive l'equazione di equilibrio alla rotazione attorno al polo $A$, o al polo $B$, ipotizzando un verso per le reazioni. Se viene negativa, devi capovolgere il verso della reazione. A questo punto, dall'equilibrio alla traslazione verticale, ricavi la rimanente reazione.

"Magma":
che corrisponde alla situazione in cui $R^**$ sia disegnato nel verso positivo delle $y$, ma col modulo negativo in quanto, dopo la sostituzione, pone:

Modulo negativo è una contraddizione in termini: il modulo di un vettore è sempre, per definizione, una quantità non negativa.

[Magma1]

"JoJo_90":[quote="Magma"]
Da questa condizione

$Y_A^**=-2/3 R^**, qquad | qquad Y_B^**=-1/3R^*$

andando a ritroso ottengo

$B: qquad Y_A^**+2/3 R^**=0, qquad|qquad A: qquad -Y_B^**-1/3R^**=0$

Non capisco da dove viene quella condizione. [/quote]
Non lo so nemmeno io , sul libro è riportato così e cercavo di capire come fosse stata ricavata

"JoJo_90":Modulo negativo è una contraddizione in termini: il modulo di un vettore è sempre, per definizione, una quantità non negativa.

Sì, lo so; ma era l'unica idea che mi è venuta in mente.

[peppe.carbone.90]

"Magma":Non lo so nemmeno io , sul libro è riportato così e cercavo di capire come fosse stata ricavata

Lascierei perdere allora e procederei nel modo usuale.

[Magma1]

"JoJo_90":
Lascierei perdere allora e procederei nel modo usuale.

Mi sa che è la miglior cosa . In ogni caso ho modificato il post precedente inserendo una foto dell'esercizio svolto dal professore.

[peppe.carbone.90]

Qualcosa non mi quadra. La condizione:
\[
Y_{\text{A}}^{\text{*}} = -\frac{2}{3}\,R^{\text{*}}
\]
proviene dall'equazione:
\[
Y_{\text{A}}^{\text{*}}\,l + R^{\text{*}}\,\frac{2}{3}\,l = 0
\]
il che implica che sia $Y_{\text{A}}^{\text{*}}$ che $R^{\text{*}}$ danno un momento positivo rispetto al polo $B$. Però, se per convenzione si è assunto (come è usuale) che i momenti sono positivi se antiorari, allora non quadra, perché le due forze danno momenti orari rispetto a $B$.

Io procederei in un modo più lineare. L'equazione alla rotazione attorno a $B$ è (assumo la reazione in $A$ verso il basso):
\[
Y_{\text{A}}^{\text{*}} \cdot l - R^{\text{*}} \cdot \frac{2}{3}\,l = 0
\]
con $R^{\text{*}}$ modulo del risultante ($R^{\text{*}}\equiv\abs{R^{\text{*}}}$), pertanto esplicitando:
\[
Y_{\text{A}}^{\text{*}} \cdot l - \frac{1}{2}\,\frac{\mathcal{M}}{\text{EI}}\,l \cdot \frac{2}{3}\,l = 0
\]
da cui:
\[
Y_{\text{A}}^{\text{*}} =\frac{1}{3}\,\frac{\mathcal{M}}{\text{EI}}\,l
\]
Discorso analogo per l'altra equazione.

[Magma1]

"JoJo_90":Però, se per convenzione si è assunto (come è usuale) che i momenti sono positivi se antiorari, allora non quadra […]

Esattamente! (I momenti sono positivi se antiorari)

"JoJo_90":perché le due forze danno momenti orari rispetto a $B$.

facendo riferimento alla figura, solo $R^**$ ha momenot orario rispetto al polo $B$

"JoJo_90":
Io procederei in un modo più lineare. […] Discorso analogo per l'altra equazione.

Esattamente, io avevo pensato a questo procedimento; ma vedendo come era svolto sul libro (e sulla slide) temevo di essermi confuso.

[peppe.carbone.90]

"Magma":
facendo riferimento alla figura, solo $R^**$ ha momenot orario rispetto al polo $B$

Si, scusami ho sbagliato.

"JoJo_90":
Esattamente, io avevo pensato a questo procedimento; ma vedendo come era svolto sul libro (e sulla slide) temevo di essermi confuso.

Quando hai dei dubbi, basta verificare l'equilibrio alla traslazione e alla rotazione. Evidentemente il libro fa qualche ragionamento che sinceramente mi sfugge.

[Magma1]

Perfetto, grazie!

[peppe.carbone.90]

Prego