[Scienza delle Costruzioni] Analisi cinematica corpo rigido
Ciao a tutti. Avrei bisogno di un aiuto per capire come fare l'analisi ciematica di un corpo rigido vincolato.
Prima di tutto, vorrei riportare il procedimento da seguire per come l'ho capito.
Allora, assegnato un corpo rigido vincolato, per classificarlo come labile, cinematicamente isodeterminato o cinematicamente iperdeterminato, è necessario svolgere l'analisi cinemarica del corpo stesso.
Questa analisi consiste essenzialmente nel verificare le seguenti condizioni:
a. Il numero di gradi di libertà del corpo (considerato libero) deve essere almeno pari alla molteplicità totale dei vincoli;
b. I vincoli devono risultare ben disposti.
Sul primo controllo non ho problemi perchè è una verifica alquanto banale. Ho invece diversi problemi nel verificare che i vincoli siano ben diposti. Riporto i passaggi che credo di aver capito, necessari a svolgere tale verifica.
1. Bisogna scrivere il sistema costituito dalle equazioni di vincolo.
2. Si costruisce la matrice jacobiana del detto sistema.
Se il rango della matrice è massimo, allora le equazioni sono linearmente indipendenti e i vincoli risultano ben disposti. A questo punto, il grado di libertà del corpo vincolato lo si calcola con la formula:
$g.d.l.=3N-m$
dove $N$ indica il numero di corpi, in questo caso 1, e $m$ indica la molteplicità dei vincoli.
Detto questo, riporto un esempio in modo da poter esporre con più chiarezza i miei dubbi.
L'esempio riguarda il corpo rigido riportato in figura:
a. Il numero di g.d.l. del corpo è pari alla molteplicità dei vincoli, infatti: $g.d.l.=3$ e $m=2+1=3$.
Adesso bisogna scrivere le equazioni di vincolo e qui cominciano i primi problemi in quanto non so come tradurre in equazioni le condizioni imposte dai vincoli. Dal quel che ho potuto vedere, si possono scrivere queste condizioni in termini vettoriali di spostamento (questo approccio solitamente è quello seguito in scienza delle costruzioni) oppure traducendole in equazioni che coinvolgono le coordinate dei punti (procedimento visto in delle dispense di meccanica razionale).
Non sapendo fare questo, non riesco ad andare avanti, quindi non riesco a scrivere la matrice e a concludere.
Chiedo pertanto a voi un aiuto a capire come scrivere le equazioni di vincolo.
Grazie.
Prima di tutto, vorrei riportare il procedimento da seguire per come l'ho capito.
Allora, assegnato un corpo rigido vincolato, per classificarlo come labile, cinematicamente isodeterminato o cinematicamente iperdeterminato, è necessario svolgere l'analisi cinemarica del corpo stesso.
Questa analisi consiste essenzialmente nel verificare le seguenti condizioni:
a. Il numero di gradi di libertà del corpo (considerato libero) deve essere almeno pari alla molteplicità totale dei vincoli;
b. I vincoli devono risultare ben disposti.
Sul primo controllo non ho problemi perchè è una verifica alquanto banale. Ho invece diversi problemi nel verificare che i vincoli siano ben diposti. Riporto i passaggi che credo di aver capito, necessari a svolgere tale verifica.
1. Bisogna scrivere il sistema costituito dalle equazioni di vincolo.
2. Si costruisce la matrice jacobiana del detto sistema.
Se il rango della matrice è massimo, allora le equazioni sono linearmente indipendenti e i vincoli risultano ben disposti. A questo punto, il grado di libertà del corpo vincolato lo si calcola con la formula:
$g.d.l.=3N-m$
dove $N$ indica il numero di corpi, in questo caso 1, e $m$ indica la molteplicità dei vincoli.
Detto questo, riporto un esempio in modo da poter esporre con più chiarezza i miei dubbi.
L'esempio riguarda il corpo rigido riportato in figura:
a. Il numero di g.d.l. del corpo è pari alla molteplicità dei vincoli, infatti: $g.d.l.=3$ e $m=2+1=3$.
Adesso bisogna scrivere le equazioni di vincolo e qui cominciano i primi problemi in quanto non so come tradurre in equazioni le condizioni imposte dai vincoli. Dal quel che ho potuto vedere, si possono scrivere queste condizioni in termini vettoriali di spostamento (questo approccio solitamente è quello seguito in scienza delle costruzioni) oppure traducendole in equazioni che coinvolgono le coordinate dei punti (procedimento visto in delle dispense di meccanica razionale).
Non sapendo fare questo, non riesco ad andare avanti, quindi non riesco a scrivere la matrice e a concludere.
Chiedo pertanto a voi un aiuto a capire come scrivere le equazioni di vincolo.
Grazie.
Risposte
Io personalmente preferisco scrivere le equazioni di vincolo seguendo la meccanica razionale, anche se per i sistemi più complessi diventa lungo. Primo passo: individua le coordinate del corpo rigido che ti fanno più comodo per la scrittura delle equazione di vincolo. in questo caso sceglierei
$ bar q$ $=$ ${ x_B ,$ $y_B,$ $, varphi}$
dove $varphi$ è l'angolo di primo lato $ hat e_x $ secondo lato $ vec {BA}$ e vertice $B$.
Secondo punto: esprimo le coordinate dei punti vincolati come funzioni delle variabili lagrangiane.
in questo caso
$ x_A$ $= x_B + bar {BA} *cos\varphi$
$y_A$ $= y_B + bar {BA}*sin\varphi$
terzo punto: scrivo le le equazioni di vincolo. ${k, m, c}$ dipendono dal riferimento adottato e dalla geometria del corpo
$x_B= k$
$y_B=0$
$y_A= m*x_A+c$
che è l'equazione della retta di scorrimento del carrello a cui è vincolato il punto A.
quarto punto: esprimo le equazioni di vincolo per mezzo delle coordinate lagrangiane.
quinto punto: a partire da una configurazione di riferimento linearizzo i termini non linari - seni e coseni-.
sesto punto: scrivo la matrice Jacobiana. In realtà non è altro che la matrice dei coefficienti poichè ora il sistema è lineare. vale Rouchè-Capelli!
settimo punto:.....
Metodo molto più rapido e ingegneristico per l'analisi cinematica delle strutture è applicare i teoremi sul c.i.r.
Sono stato di aiuto?
$ bar q$ $=$ ${ x_B ,$ $y_B,$ $, varphi}$
dove $varphi$ è l'angolo di primo lato $ hat e_x $ secondo lato $ vec {BA}$ e vertice $B$.
Secondo punto: esprimo le coordinate dei punti vincolati come funzioni delle variabili lagrangiane.
in questo caso
$ x_A$ $= x_B + bar {BA} *cos\varphi$
$y_A$ $= y_B + bar {BA}*sin\varphi$
terzo punto: scrivo le le equazioni di vincolo. ${k, m, c}$ dipendono dal riferimento adottato e dalla geometria del corpo
$x_B= k$
$y_B=0$
$y_A= m*x_A+c$
che è l'equazione della retta di scorrimento del carrello a cui è vincolato il punto A.
quarto punto: esprimo le equazioni di vincolo per mezzo delle coordinate lagrangiane.
quinto punto: a partire da una configurazione di riferimento linearizzo i termini non linari - seni e coseni-.
sesto punto: scrivo la matrice Jacobiana. In realtà non è altro che la matrice dei coefficienti poichè ora il sistema è lineare. vale Rouchè-Capelli!
settimo punto:.....
Metodo molto più rapido e ingegneristico per l'analisi cinematica delle strutture è applicare i teoremi sul c.i.r.
Sono stato di aiuto?
Grazie per la spiegazione.
direi proprio di si, ora mi è il tutto un pò più chiaro anche se da quello che hai scritto vedo che più o meno ci ero arrivato.
L'unica cosa che vorrei chiederti è come mai $y_B=0$, io avrei scritto, credo sbagliando, che anche $y_B=k$.
Per quanto riguarda il metodo ingegneristico ero a conoscenza di quello che fa uso dei centri di rotazione e quello è decisamente più semplice ma soprattutto immediato, ed infatti l'ho capito.
Ho notato da altri libri, che spesso viene utilizzato un ulteriore "metodo" che fa uso delle equazioni vettoriali di vincolo, dove con queste intendo quelle equazioni che esprimono l'annullamento della proiezione del vettore spostamento lungo il versore della direzione efficacie del vincolo. Lo riporto brevemente solo per una questione di completezza, sperando di non risultare fuori luogo.
Definendo per comodità un sistema di riferimento cartesiano con origine in $A$, asse $x$ equiverso ad $vec (AB)$ e asse $y$ rivolto dal verso opposto di $vec (A \Omega)$, le equazioni di vincolo sono:
$ vec u_A xx hat e_x=0 $, condizione relativa al carrello: lo spostamento del punto $A$ non può avere componente lungo $hat e_x$.
$ vec u_B xx hat e_x=0 $, condizione relativa alla cerniera: lo spostamento del punto $B$ non può avere componente lungo $ hat e_x $.
$ vec u_B xx hat e_y=0 $, condizione relativa alla cerniera: lo spostamento del punto $B$ non può avere componente lungo $ hat e_y $.
Successivamente si esplicitano i prodotti scalari e le equazioni ora ottenute si riscrivono in funzione di un punto qualsiasi del corpo scelto a piacere (ad esempio omega) attraverso le formule (da particolarizzare per l'esempio in questione):
$ u^x_P = u^x_\Omega - \phi(y_P - y_\Omega) $
$ u^y_P = u^y_\Omega + \phi(x_P - x_\Omega) $
le quali derivano dalla formula generale che descrive la rototraslazione di un corpo rigido relativa a spostamenti infinitesimi.
Ottenuto il sistema scritto in funzione di $\Omega$, si calcola la matrice jacobiana, ovvero si costruisce la matrice dei coefficienti (per quanto scritto da te prima riguardo la linearità del sistema) e si procede al calcolo del rango, il quale consente di classificare la strutture come:
1. Labile per insufficienza dei vincoli (molteplicità inferiore ai gradi di libertà);
2. Labile a vincoli inefficaci (molteplicità superiore o pari alla molteplicità, ma rango minore dei gradi di libertà);
3. Isodeterminata (molteplicità e rango uguali ai gradi di libertà);
4. Iperdeterminata (molteplicità superiore ai gradi di libertà e rango pari ai gradi di libertà).
Non vorrei sbagliare ma credo che, dopo un'attenta analisi, si potrebbe vedere che i metodi descritti (approccio della meccanica razionale e quest'ultimo) si basino sui medesimi concetti, affrontati operativamente secondo diverse interpretazioni.
Detto questo concludo, e ne approfitto per ringraziare nuovamente seven, per la sua pazienza e la sua disponibilità.
Sono stato di aiuto?
direi proprio di si, ora mi è il tutto un pò più chiaro anche se da quello che hai scritto vedo che più o meno ci ero arrivato.
L'unica cosa che vorrei chiederti è come mai $y_B=0$, io avrei scritto, credo sbagliando, che anche $y_B=k$.
Per quanto riguarda il metodo ingegneristico ero a conoscenza di quello che fa uso dei centri di rotazione e quello è decisamente più semplice ma soprattutto immediato, ed infatti l'ho capito.
Ho notato da altri libri, che spesso viene utilizzato un ulteriore "metodo" che fa uso delle equazioni vettoriali di vincolo, dove con queste intendo quelle equazioni che esprimono l'annullamento della proiezione del vettore spostamento lungo il versore della direzione efficacie del vincolo. Lo riporto brevemente solo per una questione di completezza, sperando di non risultare fuori luogo.
Definendo per comodità un sistema di riferimento cartesiano con origine in $A$, asse $x$ equiverso ad $vec (AB)$ e asse $y$ rivolto dal verso opposto di $vec (A \Omega)$, le equazioni di vincolo sono:
$ vec u_A xx hat e_x=0 $, condizione relativa al carrello: lo spostamento del punto $A$ non può avere componente lungo $hat e_x$.
$ vec u_B xx hat e_x=0 $, condizione relativa alla cerniera: lo spostamento del punto $B$ non può avere componente lungo $ hat e_x $.
$ vec u_B xx hat e_y=0 $, condizione relativa alla cerniera: lo spostamento del punto $B$ non può avere componente lungo $ hat e_y $.
Successivamente si esplicitano i prodotti scalari e le equazioni ora ottenute si riscrivono in funzione di un punto qualsiasi del corpo scelto a piacere (ad esempio omega) attraverso le formule (da particolarizzare per l'esempio in questione):
$ u^x_P = u^x_\Omega - \phi(y_P - y_\Omega) $
$ u^y_P = u^y_\Omega + \phi(x_P - x_\Omega) $
le quali derivano dalla formula generale che descrive la rototraslazione di un corpo rigido relativa a spostamenti infinitesimi.
Ottenuto il sistema scritto in funzione di $\Omega$, si calcola la matrice jacobiana, ovvero si costruisce la matrice dei coefficienti (per quanto scritto da te prima riguardo la linearità del sistema) e si procede al calcolo del rango, il quale consente di classificare la strutture come:
1. Labile per insufficienza dei vincoli (molteplicità inferiore ai gradi di libertà);
2. Labile a vincoli inefficaci (molteplicità superiore o pari alla molteplicità, ma rango minore dei gradi di libertà);
3. Isodeterminata (molteplicità e rango uguali ai gradi di libertà);
4. Iperdeterminata (molteplicità superiore ai gradi di libertà e rango pari ai gradi di libertà).
Non vorrei sbagliare ma credo che, dopo un'attenta analisi, si potrebbe vedere che i metodi descritti (approccio della meccanica razionale e quest'ultimo) si basino sui medesimi concetti, affrontati operativamente secondo diverse interpretazioni.
Detto questo concludo, e ne approfitto per ringraziare nuovamente seven, per la sua pazienza e la sua disponibilità.
"JoJo_90":
L'unica cosa che vorrei chiederti è come mai $y_B=0$, io avrei scritto, credo sbagliando, che anche $y_B=k$.
No non sbagli! anche l'equazione di vincolo $ y_B=xi$ viene scritta in base al riferimento preso;
Io avrei scelto un riferimento di modo tale che
$y_B=0$
in questo caso specifico.
Interessante l'altro metodo,l'avevo già visto; probabilmente è molto simile.
Poi mi leggo quello che hai scritto e mi vado a rivedere degli esempi che vidi svolti per quella via;
mi pare ci sia un metodo degli spostamenti e uno delle velocità.
Interessante l'altro metodo,l'avevo già visto; probabilmente è molto simile.
Poi mi leggo quello che hai scritto e mi vado a rivedere degli esempi che vidi svolti per quella via
Se vuoi, puoi trovare una trattazione più completa di questo metodo nel testo:
Scienza delle Costruzioni 1 - Alberto Carpinteri, Pitagora Editrice Bologna
Un altro utile riferimento secondo me è il seguente: http://www.dica.poliba.it/05-Cinematica%20Travi.pdf, tratte dalla pagina http://www.dica.poliba.it/Dispense.htm.
Anche in queste dispense si affronta l'argomento dell'analisi cinematica con il metodo in questione, in modo decisamente più dignitoso, ma soptrattutto rigoroso rispetto a quanto velocemente e malamente scritto da me.
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