Risposte permanenti

[cavallipurosangue]

Se voglio la risposta ad un segnale permamente del tipo $u(t)=e^(lambdat)$ con $lambdanep_i$ $forallp_i$, allora è facile, dato che se il sistema è asintoticamente stabile ottengo:

$y_r(t)=G(lambda)e^(lambdat)$

Ma se invece ad esempio lambda è già un polo della $G(s)$? Ho provato a buttar giù qualcosa... ma se mi poteste dare una mano vi sarei grato.

[cavallipurosangue]

Il dubbio che ho deriva dal fatto che non riesco bene a capire che cosa significhino gli indici di questa formula che ho sulle dispense:

$alpha_{k,n_k-r}=1/(r!)\{d^(r)/(ds^r)[F(s)(s-lambda)^(n_k)]}$

Io ho fatto in un modo ed ho trovato dei risultati che dicono che la risposta diverge per quel tipo di segnale, ma poi su MATLAB vedo che non diverge, quindi uno dei due sbaglia... chi?

[Kroldar]

Sinceramente non ho capito il tuo dubbio e non capisco la simbologia che usi.

Inoltre: per risposta permanente intendi la risposta a regime?

[cavallipurosangue]

Nulla, ho trovato quella formula per il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in fratti semplici.

Quello che volevo sapere è cosa cambia nella risposta ad un ingresso esponenziale con parte reale non negativa (a risposta permanente appunto), se il coefficiente dellesponenziale è un polo della $G(s)$.

[Kroldar]

"cavallipurosangue":
Nulla, ho trovato quella formula per il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in fratti semplici.

Ora che mi hai detto che si tratta dello sviluppo in fratti semplici, credo che quella formula voglia esprimere i coefficienti associati alle potenze negative dello sviluppo in serie di Laurent (che rappresentano del resto i coefficienti dello sviluppo in fratti semplici). Nella formula, a parte un po' di lettere usate in modo confuso, dovrebbe comparire anche un limite. Se ho ben interpretato, $lambda$ dovrebbe essere il generico polo della funzione, $n_k$ l'ordine del polo ed $r$ dovrebbe rappresentare la differenza tra l'ordine del polo e il numero associato al coefficiente dello sviluppo di Laurent cercato.

"cavallipurosangue":
Quello che volevo sapere è cosa cambia nella risposta ad un ingresso esponenziale con parte reale non negativa (a risposta permanente appunto), se il coefficiente dellesponenziale è un polo della $G(s)$.

Anche se non mi hai risposto, suppongo che quella che tu chiami "risposta permanente" sia la risposta a regime.
Orbene, per quali sistemi ha senso parlare di risposta a regime? Per quelli asintoticamente stabili.
Se l'ingresso esponenziale ha parte reale non negativa, tale valore non potrà essere un polo della funzione di trasferimento di un sistema asintoticamente stabile, in quanto un sistema LTI è asintoticamente stabile se i poli della funzione di trasferimento sono a parte reale negativa. Solo se è verificata l'asintotica stabilità, ha senso parlare di risposta a regime.

[cavallipurosangue]

Giusto... hai perfettamente ragione... Quindi neanche con un sistema marginalmente stabile...

Sai cercavo di trovare dei paralleli con le teoria delle vibrazioni fatta negli scorsi anni e cercavo quello con la risonanza...

[Kroldar]

Il problema è che nel dominio di Fourier, dove generalmente si passa per il calcolo della risposta a regime, non si può tener conto delle condizioni iniziali. Bisogna dunque assicurarsi che la risposta in evoluzione libera si esaurica e non dia contributi quando il sistema va a regime. Tra l'altro, per come è definita la risposta a regime, è anche difficile dare un senso al concetto di "condizioni iniziali". La risposta a regime, in effetti, non è definita come valore all'infinito della risposta del sistema ad un segnale che parte in un certo istante $t = t_0$ finito, ma come valore al finito della risposta del sistema nell'ipotesi che il segnale di ingresso sia stato applicato all'istante $t = -oo$. Capirai sicuramente come sia delicato dire quale valore assuma un certo segnale all'istante $-oo$.