Risposta in frequenza VS Funzione di trasferimento
Salve, apro questa discussione per tentare di chiarirmi le idee circa le differenze fra la Risp in Frequenza e la funzione di trasferimento di un sistema.
In particolare vorrei cercare di ottenere delucidazioni circa la differenza fra il dominio di Fourier e quello di Laplace ,con annessi e connessi, circa l'utilità di passare da un dominio all'altro.
In particolare in telecomunicazioni sto studiando la risposta in frequenza di un sistema lineare,mentre in elettronica la funzione di trasferimento.
Chi vuole ,cominciare la 'discussione ' faccia pure.
Intanto io tento di chiarirmi le idee mediante la rete e mediante libri.
Grazie
In particolare vorrei cercare di ottenere delucidazioni circa la differenza fra il dominio di Fourier e quello di Laplace ,con annessi e connessi, circa l'utilità di passare da un dominio all'altro.
In particolare in telecomunicazioni sto studiando la risposta in frequenza di un sistema lineare,mentre in elettronica la funzione di trasferimento.
Chi vuole ,cominciare la 'discussione ' faccia pure.
Intanto io tento di chiarirmi le idee mediante la rete e mediante libri.
Grazie
Risposte
La funzione di trasferimento (fdt) COINCIDE con la risposta in frequenza, infatti la variabile complessa di Laplace o di Fourier rappresenta la frequenza.
Il dominio di Laplace è più completo di quello di Fourier, e si usa quando è di interesse lo studio dei fenomeni transitori, in particolare oscillazioni smorzate (es. carica - scarica di un circuito RC, oscillazioni di rilassamento di un circuito RLC). Il dominio di Fourier è più usato nell'ambito delle telecomunicazioni perché lì interessano più che altro le risposte dei sistemi a regime, con input (di solito) sinusoidali, o parenti. In questo modo si hanno anche delle rappresentazioni "pittoriche" molto più rapide e intuitive che nel caso di Laplace (vedi i segnali rappresentati come delta di Dirac, che ti permettono di fare convoluzioni come niente fosse). Vedrai che andando avanti con gli studi saprai gestire bene entrambi i domini e capirai sempre più come sono correlati.
Il dominio di Laplace è più completo di quello di Fourier, e si usa quando è di interesse lo studio dei fenomeni transitori, in particolare oscillazioni smorzate (es. carica - scarica di un circuito RC, oscillazioni di rilassamento di un circuito RLC). Il dominio di Fourier è più usato nell'ambito delle telecomunicazioni perché lì interessano più che altro le risposte dei sistemi a regime, con input (di solito) sinusoidali, o parenti. In questo modo si hanno anche delle rappresentazioni "pittoriche" molto più rapide e intuitive che nel caso di Laplace (vedi i segnali rappresentati come delta di Dirac, che ti permettono di fare convoluzioni come niente fosse). Vedrai che andando avanti con gli studi saprai gestire bene entrambi i domini e capirai sempre più come sono correlati.
prendi un sistema dinamico, questo sarà in genere non lienare, ma nell'intorno di un punto d'equilibrio puoi considerare un sistema lineare equivalente alla linearizzazione del primo attorno al punto di riposo.
ovviamente devi garantire stabilità e che le variazioni delle variabili siano limitate perchè valga l'approssimazione lineare.
in ogni caso, il sistema lineare ora completamente determinato dalla sua caratteristica ingresso uscita, cioè dalla sua funzione di trasferimento $G(s)$
il perchè si ragiona nel dominio di Laplace penso ti sia chiaro.
a questo punto si è in grado di descrivere evoluzione e risposta del sistema ad ogni ingresso (appartenente al dominio degli ingressi ammessi)
ma finche gli ingressi sono gradino, rampa esponenziale o comunque ingressi senza una freqenza propria è piu che soddisfacente ragionare in termini di Laplace o di evoluzione temporale...
ma quando i segnali in gioco sono periodici e possiedono una certa frequenza? beh nel dominio delle frequenze si possono considerare certi aspetti che nel dominio di Laplace non sono cosi evidenti...
per il teorema di Fourier sai che ogni segnale periodico è scomponibile in una somma di sinusiodi, e anche un segnale non periodico può essere visto come una "somma" non numerabile di sinusoidi.
ma poichè il sistema è lineare la risposta ad una somma di segnali è la somma delle risposte ad ogni songolo segnale e qui nasce l'importanza della risposta in frequenza, poichè conoscendo come si comporta il sistema a seguito di una sinusoide saprai come si comporta a seguito di un segnale qualunque (ammesso che esista la trasformata di Fourier di tale segnale).
ragionando invece sul dominio delle frequenze in se non è cosi stranoil fatto che si preferisca studiare una risposta in funzione della frequenza del segnale in ingresso...
prendi un condensatore attraversato da una corrente $i(t)$ alternata. beh a seconda della frequenza di i(t) la risposta del sistema cambia notevolmente, addirittura dal comportamento equivalente ad un circuito aperto per $omega=0$ e ad un cortocircuito per $omega -> inf$
semplicemente uno o l'altro dominio sono piu comodi per gli aspetti che cerchi, ad esempio graficando $|G(jomega)|$ vedi il guadagno al variare della frequenza (diagramma di Bode)... cos'è che ti turba?
ovviamente devi garantire stabilità e che le variazioni delle variabili siano limitate perchè valga l'approssimazione lineare.
in ogni caso, il sistema lineare ora completamente determinato dalla sua caratteristica ingresso uscita, cioè dalla sua funzione di trasferimento $G(s)$
il perchè si ragiona nel dominio di Laplace penso ti sia chiaro.
a questo punto si è in grado di descrivere evoluzione e risposta del sistema ad ogni ingresso (appartenente al dominio degli ingressi ammessi)
ma finche gli ingressi sono gradino, rampa esponenziale o comunque ingressi senza una freqenza propria è piu che soddisfacente ragionare in termini di Laplace o di evoluzione temporale...
ma quando i segnali in gioco sono periodici e possiedono una certa frequenza? beh nel dominio delle frequenze si possono considerare certi aspetti che nel dominio di Laplace non sono cosi evidenti...
per il teorema di Fourier sai che ogni segnale periodico è scomponibile in una somma di sinusiodi, e anche un segnale non periodico può essere visto come una "somma" non numerabile di sinusoidi.
ma poichè il sistema è lineare la risposta ad una somma di segnali è la somma delle risposte ad ogni songolo segnale e qui nasce l'importanza della risposta in frequenza, poichè conoscendo come si comporta il sistema a seguito di una sinusoide saprai come si comporta a seguito di un segnale qualunque (ammesso che esista la trasformata di Fourier di tale segnale).
ragionando invece sul dominio delle frequenze in se non è cosi stranoil fatto che si preferisca studiare una risposta in funzione della frequenza del segnale in ingresso...
prendi un condensatore attraversato da una corrente $i(t)$ alternata. beh a seconda della frequenza di i(t) la risposta del sistema cambia notevolmente, addirittura dal comportamento equivalente ad un circuito aperto per $omega=0$ e ad un cortocircuito per $omega -> inf$
semplicemente uno o l'altro dominio sono piu comodi per gli aspetti che cerchi, ad esempio graficando $|G(jomega)|$ vedi il guadagno al variare della frequenza (diagramma di Bode)... cos'è che ti turba?
"elgiovo":
La funzione di trasferimento (fdt) COINCIDE con la risposta in frequenza, infatti la variabile complessa di Laplace o di Fourier rappresenta la frequenza.
Il dominio di Laplace è più completo di quello di Fourier, e si usa quando è di interesse lo studio dei fenomeni transitori, in particolare oscillazioni smorzate (es. carica - scarica di un circuito RC, oscillazioni di rilassamento di un circuito RLC). Il dominio di Fourier è più usato nell'ambito delle telecomunicazioni perché lì interessano più che altro le risposte dei sistemi a regime, con input (di solito) sinusoidali, o parenti. In questo modo si hanno anche delle rappresentazioni "pittoriche" molto più rapide e intuitive che nel caso di Laplace (vedi i segnali rappresentati come delta di Dirac, che ti permettono di fare convoluzioni come niente fosse). Vedrai che andando avanti con gli studi saprai gestire bene entrambi i domini e capirai sempre più come sono correlati.
beh c'è da dire che per l'equivalenza tra le due trasformate devono essere soddisfatte alcune condizioni, e comunque vale solo per i sistemi lineari.
in ogni caso in controlli automatici anche le specifiche dinamiche, quelle che riguardano il comportamento durante il transitorio vengono trasformate in specifiche nel dominio della frequenza e si trattano nel dominio della frequenza non in quello di laplace.anche i regolatori si costruiscono considerando le varie fdt nel dominio della frequenza in termini di margini di fase e ampiezza.
"cyd":
beh c'è da dire che per l'equivalenza tra le due trasformate devono essere soddisfatte alcune condizioni, e comunque vale solo per i sistemi lineari.
Si, infatti ho detto che quella di Laplace è più generale. Sul fatto che i sistemi trattati siano lineari penso non ci fosse alcun dubbio!
"cyd":
in ogni caso in controlli automatici anche le specifiche dinamiche, quelle che riguardano il comportamento durante il transitorio vengono trasformate in specifiche nel dominio della frequenza e si trattano nel dominio della frequenza non in quello di laplace.anche i regolatori si costruiscono considerando le varie fdt nel dominio della frequenza in termini di margini di fase e ampiezza.
Si si, infatti, come ho detto bisogna avere la capacità di correlare le due cose.
ma in che senso più generale?
"cyd":
ma in che senso più generale?
Visto che sei intervenuto, penso che tu sappia in che senso è più generale. E comunque l'ho spiegato nel mio primo post.
"elgiovo":
[quote="cyd"]ma in che senso più generale?
Visto che sei intervenuto, penso che tu sappia in che senso è più generale. E comunque l'ho spiegato nel mio primo post.[/quote]
xd in realtà no, non te l'avrei chiesto, in che senso
Il dominio di Laplace è più completo di quello di Fourier?
"elgiovo":
Il dominio di Laplace è più completo di quello di Fourier, e si usa quando è di interesse lo studio dei fenomeni transitori, in particolare oscillazioni smorzate (es. carica - scarica di un circuito RC, oscillazioni di rilassamento di un circuito RLC).
Ripeto: avevo già spiegato perché. Sostanzialmente in Laplace si tiene conto anche delle "perdite". Ad esempio, nel caso di un circuito RLC, è la resistenza che impedisce di ottenere oscillazioni autosostenute. Ebbene, la variabile s tiene conto, nella parte reale, delle perdite del sistema. Si può dire che il dominio di Fourier è un dominio di sinusoidi, mentre quello di Laplace è un dominio di sinusoidi smorzate.
Scrivo la mia risposta, perchè cercando altre cose in materia mi sono imbattuto in buffe considerazioni a proposito della RISPOSTA IN FREQUENZA e della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO.
Dire che le due coincidono è una ERESIA!!
Le "due" sono cose diverse, sono funzioni di variabili diverse con domini diversi e l'uso di una piuttosto che di un'altra NON è dettata dal gusto personale o dall'abitudine: in molte applicazioni non è possibile fare uso di entrambe.
Qualche esempio:
(Parlerò più genericamente di trasformate di Laplace e Fourier......)
Esiste H(s) ma non esiste H(j omega)
Esiste la trasformata di Laplace dell'esponenziale smorzato con s appartenente all'intervallo { sigma , +infinito};
se adesso \sigma è maggiore di zero non esiste la restrizione di H(s) all'asse immaginario. Per definire la trasformata di Fuorier, in questa specifica circostanza, bsogna ricorrere al formalismo della funzione delta e si parlerà in questo caso di trasformata di fourier in senso generalizzato perchè la sua definizione non può sussistere nell'ambito della analisi matematica convenzionale ma occorre scomodare la matematica delle distribuzioni.
Esiste la H(j omega) ma non esiste la H(s)
Per scovare una funzione in cui è possibile trovare la trasf. di fourier senza che sia possibile trovare quella di Laplace non bisogna andare molto lontano.... ad esempio non esiste la trasformata di Laplace del sinc(t) (quella di Fourier è ovviamente il rect(f))!!!!
(se volete posto anche la dimostrazione della non esistenza della trasformata di Laplace del sinc(t))
Quindi è scorretto dire che il dominio di Laplace è più generale di quello di Fourier, dato che a volte non esiste la trasformata di Laplace ma esiste solo quella di Fourier.
La trasformata di Fourier viene preferita nell'ambito dello studio dei sistemi lineari quando questi devono essere impiegati per lo studio del comportamento degli stessi in corrispondenza delle "frequenze fisiche". Infatti la variabile reale f che appare nella trasformata di Fourier (j 2 pigreco f), a differenza della variabile complessa s che appare nella Trasf. di Laplace, ha il significato fisico ben noto di frequenza. Va inoltre ricordato che usando la trasformata di Fourier si mantiene una "simmetria" fra asse temporale e dominio della frequenza che viene perso nella trasformata di Laplace
La trasformata di Laplace viene spesso preferita perchè più "idonea" a rappresentare segnali causali; la trattazione può essere infatti fatta senza scomodare le complicate proprietà delle distribuzioni, che non mi sembra cosa da poco.
Dire che le due coincidono è una ERESIA!!
Le "due" sono cose diverse, sono funzioni di variabili diverse con domini diversi e l'uso di una piuttosto che di un'altra NON è dettata dal gusto personale o dall'abitudine: in molte applicazioni non è possibile fare uso di entrambe.Qualche esempio:
(Parlerò più genericamente di trasformate di Laplace e Fourier......)
Esiste H(s) ma non esiste H(j omega)
Esiste la trasformata di Laplace dell'esponenziale smorzato con s appartenente all'intervallo { sigma , +infinito};
se adesso \sigma è maggiore di zero non esiste la restrizione di H(s) all'asse immaginario. Per definire la trasformata di Fuorier, in questa specifica circostanza, bsogna ricorrere al formalismo della funzione delta e si parlerà in questo caso di trasformata di fourier in senso generalizzato perchè la sua definizione non può sussistere nell'ambito della analisi matematica convenzionale ma occorre scomodare la matematica delle distribuzioni.
Esiste la H(j omega) ma non esiste la H(s)
Per scovare una funzione in cui è possibile trovare la trasf. di fourier senza che sia possibile trovare quella di Laplace non bisogna andare molto lontano.... ad esempio non esiste la trasformata di Laplace del sinc(t) (quella di Fourier è ovviamente il rect(f))!!!!
(se volete posto anche la dimostrazione della non esistenza della trasformata di Laplace del sinc(t))
Quindi è scorretto dire che il dominio di Laplace è più generale di quello di Fourier, dato che a volte non esiste la trasformata di Laplace ma esiste solo quella di Fourier.
La trasformata di Fourier viene preferita nell'ambito dello studio dei sistemi lineari quando questi devono essere impiegati per lo studio del comportamento degli stessi in corrispondenza delle "frequenze fisiche". Infatti la variabile reale f che appare nella trasformata di Fourier (j 2 pigreco f), a differenza della variabile complessa s che appare nella Trasf. di Laplace, ha il significato fisico ben noto di frequenza. Va inoltre ricordato che usando la trasformata di Fourier si mantiene una "simmetria" fra asse temporale e dominio della frequenza che viene perso nella trasformata di Laplace
La trasformata di Laplace viene spesso preferita perchè più "idonea" a rappresentare segnali causali; la trattazione può essere infatti fatta senza scomodare le complicate proprietà delle distribuzioni, che non mi sembra cosa da poco.
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