Risposta forzata a partire da uscita e risposta al gradino
Ciao 
avrei bisogno del vostro aiuto per la risoluzione di un esercizio nel quale mi sono persa 
Ho la risposta al gradino unitaria $ g_s(t) = 1 - 2e^{-t} + e^{-2t} $ , con t >= 0. Devo determinare la risposta forzata al segnale di ingresso $ u(t) = t^{2} \cdot (t) $
Prima di tutto ho eseguito la trasformata della risposta al gradino per ottenere così la funzione di trasferimento,moltiplicata per $ \frac{1}{s} $ perché l'ordine della risposta forzata e' di primo grado. A questo punto per ottenere la risposta forzata ho eseguito la scomposizione in fratti semplici... Ottenendo nuovamente la risposta forzata ! Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire dove il mio metodo di risoluzione e' sbagliato ? Grazie mille in anticipo
avrei bisogno del vostro aiuto per la risoluzione di un esercizio nel quale mi sono persa Ho la risposta al gradino unitaria $ g_s(t) = 1 - 2e^{-t} + e^{-2t} $ , con t >= 0. Devo determinare la risposta forzata al segnale di ingresso $ u(t) = t^{2} \cdot (t) $
Prima di tutto ho eseguito la trasformata della risposta al gradino per ottenere così la funzione di trasferimento,moltiplicata per $ \frac{1}{s} $ perché l'ordine della risposta forzata e' di primo grado. A questo punto per ottenere la risposta forzata ho eseguito la scomposizione in fratti semplici... Ottenendo nuovamente la risposta forzata ! Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire dove il mio metodo di risoluzione e' sbagliato ? Grazie mille in anticipo
Risposte
\(\displaystyle t^2(t) \) è una rampa parabolica, giusto? Altrimenti avresti scritto $t^3$ immagino.
Hai detto bene, trasformando $g_s(t)$ ottieni \(\displaystyle \frac{F(s)}{s} \) dove $F(s)$ è la funzione di trasferimento. A questo punto direi che ti basta antitrasformare $\frac{F(s)}{s} \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{F(s)}{s^3} $ per ottenere la risposta alla rampa parabolica. Il primo dei due fattori lo hai già determinato. Questo perché la trasformata della parabola è $1/s^3$.
Hai detto bene, trasformando $g_s(t)$ ottieni \(\displaystyle \frac{F(s)}{s} \) dove $F(s)$ è la funzione di trasferimento. A questo punto direi che ti basta antitrasformare $\frac{F(s)}{s} \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{F(s)}{s^3} $ per ottenere la risposta alla rampa parabolica. Il primo dei due fattori lo hai già determinato. Questo perché la trasformata della parabola è $1/s^3$.
Non riesco a capire il motivo per cui hai moltiplicato $ \frac{F(s)}{s} $ per $ \frac{1}{s^{2}}$.. so che la trasformata della rampa parabolica e' appunto $ \frac{1}{s^{3}} $ ma qui io ho $ t^{2} $ e non $ \frac{t^{2}}{2} $
Io ho fatto , seguendo ciò che mi hai spiegato :
Antitrasformata di [ F(s) * ( trasformata di u(t) ) ]
Quindi ho fatto l'antitrasformata di $ \frac{2}{(s+1)\cdot(s+2)} \cdot \frac{2}{s^{3}} $
Da cui ho. Ricavato il risultato $ t^{2} -3t + \frac{7}{2} + \frac{e^{-2t}}{2} - \frac{e^{-t}}{4} $
Dal risultato del libro invece l'ultimo membro dovrebbe essere $ {-4e^{-t}} $
Antitrasformata di [ F(s) * ( trasformata di u(t) ) ]
Quindi ho fatto l'antitrasformata di $ \frac{2}{(s+1)\cdot(s+2)} \cdot \frac{2}{s^{3}} $
Da cui ho. Ricavato il risultato $ t^{2} -3t + \frac{7}{2} + \frac{e^{-2t}}{2} - \frac{e^{-t}}{4} $
Dal risultato del libro invece l'ultimo membro dovrebbe essere $ {-4e^{-t}} $
Ok scusa, non mi ricordavo che \(\displaystyle \frac{1}{s^3} \) è in realtà la trasformata di \(\displaystyle \frac{t^2}{2} \) e non di $t^2$.
Comunque è lo stesso, a questo punto trasformando la risposta al gradino $g_s(t)$ hai \(\displaystyle \frac{F(s)}{s} \), mentre a te interessa sapere quanto vale
\(\displaystyle g_p(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\cdot \frac{2}{s^3} \right]\) (1)
dove il $2$ è per quello che dicevo all'inizio. Quindi, avendo ottenuto la trasformata della risposta al gradino come
\(\displaystyle \frac{F(s)}{s} = \mathcal{L}\left[g_s(t)\right] \) (ti è chiaro questo passaggio?)
otterrai la risposta al segnale parabolico come
\(\displaystyle g_p(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F(s)}{s}\cdot \frac{2}{s^2} \right] = \mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\cdot \frac{2}{s^3} \right] \)
che è lo stesso della (1).
Comunque è lo stesso, a questo punto trasformando la risposta al gradino $g_s(t)$ hai \(\displaystyle \frac{F(s)}{s} \), mentre a te interessa sapere quanto vale
\(\displaystyle g_p(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\cdot \frac{2}{s^3} \right]\) (1)
dove il $2$ è per quello che dicevo all'inizio. Quindi, avendo ottenuto la trasformata della risposta al gradino come
\(\displaystyle \frac{F(s)}{s} = \mathcal{L}\left[g_s(t)\right] \) (ti è chiaro questo passaggio?)
otterrai la risposta al segnale parabolico come
\(\displaystyle g_p(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F(s)}{s}\cdot \frac{2}{s^2} \right] = \mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\cdot \frac{2}{s^3} \right] \)
che è lo stesso della (1).
Perfetto ! Ora risulta !! Grazie mille per l'aiuto !!!!!!!!!!
"ellosma":
Perfetto ! Ora risulta !! Grazie mille per l'aiuto !!!!!!!!!!
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