Risposta ad un'onda quadra
Buonasera a tutti, avrei bisogno di un aiuto con questa tipologia di esercizio:
Data la f.d.t. del sistema $W(s)=(10^3s)/(s^2+2s+10^4)$calcolare la risposta ad un' onda quadra di ampiezza $5$ e pulsazione $100 (rad)/s$. Vi ringrazio per l'aiuto!!
Data la f.d.t. del sistema $W(s)=(10^3s)/(s^2+2s+10^4)$calcolare la risposta ad un' onda quadra di ampiezza $5$ e pulsazione $100 (rad)/s$. Vi ringrazio per l'aiuto!!
Risposte
Di onde quadre ce ne sono di molti tipi: a valor medio nullo, a valor medio non nullo, unipolare positiva, unipolare negativa... e per ognuna di esse cambia la trasformata di Laplace.
supponendo si tratti di un'onda quadra a media non nulla?
Bah...se fosse a valor medio non nullo mancherebbe qualche dato ( come da esempio il valor minimo dell'onda oppure il valor medio ). Ammesso che sia a valor medio nullo, la forma d'onda la si può esprimere come:
$r(t)= { ( V_M rarr kT<=t
Applicando la definizione di trasformazione di Laplace si ottiene:
$ R(s)=1/(1-e^(-sT))int_(0)^(T) r(t)e^(-st) dt = 1/(1-e^(-sT))[int_(0)^(T/2) V_Me^(-st) dt+int_(T/2)^(T) -V_me^(-st) dt]=... $
A questo punto credo che tu possa continuare da solo ( gli integrali sono immediati ed hai tutti i dati che ti servono ).
Trovata l'espressione del tuo ingresso, dovrai moltiplicarla per la fdt del sistema ed ottieni l'uscita
$r(t)= { ( V_M rarr kT<=t
Applicando la definizione di trasformazione di Laplace si ottiene:
$ R(s)=1/(1-e^(-sT))int_(0)^(T) r(t)e^(-st) dt = 1/(1-e^(-sT))[int_(0)^(T/2) V_Me^(-st) dt+int_(T/2)^(T) -V_me^(-st) dt]=... $
A questo punto credo che tu possa continuare da solo ( gli integrali sono immediati ed hai tutti i dati che ti servono ).
Trovata l'espressione del tuo ingresso, dovrai moltiplicarla per la fdt del sistema ed ottieni l'uscita
Ok grazie anche se speravo si potesse risolvere in maniera più "diretta"...anche perchè così il valore della pulsazione non lo abbiamo proprio considerato 
Non capisco a cosa ti riferisci quando parli del valore della pulsazione. Se ti riferisci alla pulsazione dell'onda quadra ti dico subito che compare alla grande negli integrali ( è nascosta nel periodo $T$ )
ah giusto ...grazie dell'aiuto!
EDIT
scusa ancora se ti disturbo, ma si potrebbe anche approssimare l'onda come serie di Fourier da dare in ingresso al sistema?
...grazie dell'aiuto! EDIT
scusa ancora se ti disturbo, ma si potrebbe anche approssimare l'onda come serie di Fourier da dare in ingresso al sistema?
Beh si certo, potresti sviluppare l'onda quadra in serie di Fourier e studiarne l'uscita del tuo sistema al variare della frequenza delle onde 
ok, grazie mille!!
Di nulla figurati. Ti dirò che riflettendoci bene la tua soluzione è molto più valida della mia ed anche più veloce considerando le proprietà che ha un'onda quadra ( in termini di armoniche )
C'è anche un altro esercizio simile che mi da problemi, però questa volta la risposta del sistema ($W(S)=10/(s^2+7s+10)$) è ad un impulso triangolare( centrato nell'origine, di ampiezza $10$ e semiperiodo $0.05$) e non ad un segnale periodico. Sapresti suggerirmi come procedere?Ne sto approfittando... 
Se non è periodico allora non possiamo svilupparlo in serie di Fourier. Se il segnale è questo che disegno in figura:
non ti resta che trasformarlo secondo Laplace
non ti resta che trasformarlo secondo Laplace
Si esatto il segnale è quello in figura(più alto e più stretto 
)...però non so come scriverlo in forma analitica. Mica si può vedere come convoluzione di due finestre rettangolari? Non saprei da dove partire.
)...però non so come scriverlo in forma analitica. Mica si può vedere come convoluzione di due finestre rettangolari? Non saprei da dove partire.
"bblack25":
...Non saprei da dove partire.
Io proverei con tre rampe ...
Visto che devi farne la trasformata di Laplace, la quale è definita da $0$ a $+oo$, ha senso considerare solo la parte destra del triangolo
Allora considerando solamente la parte destra del triangolo abbiamo:
$x(t)=$$\{(10-200t \ \ se\ \ 0
Ora però non ho capito se devo considerare la definizione di trasformata oppure scrivere la parte destra come una rampa.
Nel primo caso applicando la definizione di trasformata:
$L[(x(t))]=\int_0^(T/2) (10-200t)e^(-st) dt$
$x(t)=$$\{(10-200t \ \ se\ \ 0
Ora però non ho capito se devo considerare la definizione di trasformata oppure scrivere la parte destra come una rampa.
Nel primo caso applicando la definizione di trasformata:
$L[(x(t))]=\int_0^(T/2) (10-200t)e^(-st) dt$
Si devi applicare proprio questa relazione
ok quindi alla fine mi basta fare $Y(s)=W(s)*X(s)$, antitrasformo e ottengo la risposta y(t).
Ma quindi basta considerare la parte definita per $t>0$?
Ma quindi basta considerare la parte definita per $t>0$?
Eh si, il motivo è semplice: la trasformata di Laplace è definita nel seguente modo:
$ F(s)=int_(0)^(+oo) f(t)e^(-st) dt $
quindi tutto quello che c'è per $t<0$ non viene considerato
$ F(s)=int_(0)^(+oo) f(t)e^(-st) dt $
quindi tutto quello che c'è per $t<0$ non viene considerato
ok grazie mille, sei stato gentilissimo!!
Io sarei curioso di vedere il testo originale, ad ogni modo, se consideriamo come segnale di ingresso quello indicato è chiaro che il tempo t=0 va preso nel punto iniziale sinistro e non in quello centrale.
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