Risoluzione integrale di convoluzione

[elena.martini17]

Ho un segnale $$ s(t)= e^{- \frac{t}{T_1}} u(t) \cdot e^{- \frac{t}{T_2}} u(t) $$ , con $$ x(t) = e^{- \frac{t}{T_1}} u(t) $$ e $$ y(t)= e^{- \frac{t}{T_2}} u(t) $$ e devo calcolare il suo spettro. la trasformata di Fourier del prodotto di due funzioni equivale alla convoluzione tra la trasformata del primo segnale e il secondo. Quindi facendo le trasformate di x e y ed andando a scrivere la convoluzione in forma integrale allora ottengo che lo spettro di s(t) sarà : $$ S(f) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{ \frac{1}{T_1} + i2 \pi \tau } \cdot \frac{1}{ \frac{1}{T_2} + i2 \pi (f -\tau ) } d \tau $$ il problema adesso è che non ho la più pallida idea di come risolvere questo integrale

[Exodus1]

"enna":il problema adesso è che non ho la più pallida idea di come risolvere questo integrale

Devi combinare gli integrali nel dominio del tempo in queso modo:

\(e^{-\frac{t}{T_{1}}}u\left ( t \right )\cdot e^{-\frac{t}{T_{2}}}u\left ( t \right )=e^{-\left ( \frac{T_{1}+T_{2}}{T_{1}T_{2}} \right )t}u\left ( t \right )\)

Adesso fai la trasformata di questo segnale che è nota.

[elena.martini17]

Grazie mille!!!!!!!!!!!! Erano 3 giorni che cercavo di risolverlo con l’espansione in frazioni parziali ( senza combinare assolutamente nulla di sensato ) invece facendolo nel modo che mi hai suggerito è venuto subito giusto sono quasi commossa !