Risoluzione circuito semplice
Buonasera forum,
Studio Scienze Geologiche e sto affrontando diversi esercizi-tipo in preparazione dell'esame in Fisica. In un vecchia sessione d'esame, reperibile in biblioteca, ho notato un esercizio di per se semplice, mi sembra banale, dato anche che vale solo 4/30 del voto d'esame, eppure non so risolverlo. O, meglio, nonostante io creda di averlo impostato bene, mi pare che richieda fin troppo tempo e conoscenze e non sono ancora riuscito a risolverlo, correggetemi se sbaglio.
[size=200]?[/size]Esercizio - Si calcoli l'energia magnetica immagazzinata nell'induttore in condizione stazionarie supponendo non energizzato il sistema per $t=0$. Si calcoli, poi, la potenza termica sviluppata nel circuito al tempo $t=0$ inizialmente non energizzato.
È dato il seguente circuito, con i valori degli elementi circuitali espressi direttamente in figura
Innanzitutto, mi sembra che l'ultima richiesta sia poco chiara. Cioè, va bene calcolare la potenza termica sviluppata, ma assumo che
significhi che il circuito a $t=0$ abbia potenza termica sviluppata nulla, o già qui mi sfugge qualcosa?
[size=200]![/size]Proposta di soluzione - Immagino (e spero) che questo esercizio si risolva tramite un sistema le cui equazioni siano semplici condizioni scaturite dalle leggi di Kirchhoff. Innanzitutto, per risolvere il primo punto, citando direttamente il libro di Fisica, l'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore dovrebbe essere uguale a $U_B=\frac{1}{2} \mu_0 i^2$, che nel caso del circuito in questione sarebbe uguale a $U_B=\frac{1}{2} \mu_0 i_3^2$, dove $i_3$ è la corrente che transita nel ramo in cui è contenuto il conduttore, $i_1$ è la corrente prodotta dalla f.e.m. E e $i_2$, di conseguenza, è la corrente che transita nel ramo in alto che contiene il condensatore C e il resistore R_1.
Dunque, applicando la legge dei nodi per il nodo A, che ha la stessa espressione per il nodo B, si ha
(1) $i_1=i_2+i_3$
Applicando la legge delle maglie prima alla maglia piccola che comprende E, L e R_2 e poi alla maglia grande che comprende E, C, R_1 e R_2, si ha
(2) $+E-L\frac{di_3}{dt}-i_1 R_2=0$
(3) $+E-\frac{q}{C}-i_2 R_1-i_1 R_2=0 \quad;\quad +E-\frac{i_2 t}{C}-i_2 R_1-i_1 R_2=0$
dove $q=\int_0^t i_2 dt=i_2 t$, supponendo $i_2$ costante, anche se non ne sono sicuro. A questo punto, per conoscere i valori delle tre correnti dovrei risolvere questo sistema
${(i_1=i_2+i_3),(E-L\frac{di_3}{dt}-i_1 R_2=0),(E-\frac{i_2 t}{C}-i_2 R_1-i_1 R_2=0):}$
Ora la domanda è: vi sembra possibile, o il sistema è troppo complesso? Sono giuste le premesse e quindi le equazioni da risolvere? È plausibile dover risolvere l'equazione differenziale di $i_3(t)$ nella seconda equazione? Qualcuno mi indirizzi, vi prego!
A voi
Studio Scienze Geologiche e sto affrontando diversi esercizi-tipo in preparazione dell'esame in Fisica. In un vecchia sessione d'esame, reperibile in biblioteca, ho notato un esercizio di per se semplice, mi sembra banale, dato anche che vale solo 4/30 del voto d'esame, eppure non so risolverlo. O, meglio, nonostante io creda di averlo impostato bene, mi pare che richieda fin troppo tempo e conoscenze e non sono ancora riuscito a risolverlo, correggetemi se sbaglio.
[size=200]?[/size]Esercizio - Si calcoli l'energia magnetica immagazzinata nell'induttore in condizione stazionarie supponendo non energizzato il sistema per $t=0$. Si calcoli, poi, la potenza termica sviluppata nel circuito al tempo $t=0$ inizialmente non energizzato.
È dato il seguente circuito, con i valori degli elementi circuitali espressi direttamente in figura
Innanzitutto, mi sembra che l'ultima richiesta sia poco chiara. Cioè, va bene calcolare la potenza termica sviluppata, ma assumo che
nel circuito al tempo $t=0$ inizialmente non energizzato.
significhi che il circuito a $t=0$ abbia potenza termica sviluppata nulla, o già qui mi sfugge qualcosa?
[size=200]![/size]Proposta di soluzione - Immagino (e spero) che questo esercizio si risolva tramite un sistema le cui equazioni siano semplici condizioni scaturite dalle leggi di Kirchhoff. Innanzitutto, per risolvere il primo punto, citando direttamente il libro di Fisica, l'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore dovrebbe essere uguale a $U_B=\frac{1}{2} \mu_0 i^2$, che nel caso del circuito in questione sarebbe uguale a $U_B=\frac{1}{2} \mu_0 i_3^2$, dove $i_3$ è la corrente che transita nel ramo in cui è contenuto il conduttore, $i_1$ è la corrente prodotta dalla f.e.m. E e $i_2$, di conseguenza, è la corrente che transita nel ramo in alto che contiene il condensatore C e il resistore R_1.
Dunque, applicando la legge dei nodi per il nodo A, che ha la stessa espressione per il nodo B, si ha
(1) $i_1=i_2+i_3$
Applicando la legge delle maglie prima alla maglia piccola che comprende E, L e R_2 e poi alla maglia grande che comprende E, C, R_1 e R_2, si ha
(2) $+E-L\frac{di_3}{dt}-i_1 R_2=0$
(3) $+E-\frac{q}{C}-i_2 R_1-i_1 R_2=0 \quad;\quad +E-\frac{i_2 t}{C}-i_2 R_1-i_1 R_2=0$
dove $q=\int_0^t i_2 dt=i_2 t$, supponendo $i_2$ costante, anche se non ne sono sicuro. A questo punto, per conoscere i valori delle tre correnti dovrei risolvere questo sistema
${(i_1=i_2+i_3),(E-L\frac{di_3}{dt}-i_1 R_2=0),(E-\frac{i_2 t}{C}-i_2 R_1-i_1 R_2=0):}$
Ora la domanda è: vi sembra possibile, o il sistema è troppo complesso? Sono giuste le premesse e quindi le equazioni da risolvere? È plausibile dover risolvere l'equazione differenziale di $i_3(t)$ nella seconda equazione? Qualcuno mi indirizzi, vi prego!
A voi
Risposte
UP
Falla semplice.
In condizioni stazionarie (in continua) il condensatore è un aperto e non ci passa corrente. La corrente fluisce tutta nell'induttore (che è un cortocircuito) e in \(\displaystyle R_2 \), quindi la corrente è \(\displaystyle i_{DC} = \frac{E}{R_2} \) mentre l'energia immagazzinata nell'induttore è banalmente \(\displaystyle E_L = \frac{1}{2}L i_{DC}^2 \).
Per la seconda domanda, invece, ti sta dicendo che il condensatore era scarico in \(\displaystyle t=0 \) e l'induttore non aveva campo magnetico, quindi ci sarà un "fronte" iniziale prima che tutto vada a regime. In questo fronte la situazione è opposta alla precedente: il condensatore farà da cortocircuito mentre l'induttore sarà un aperto, quindi la corrente fluirà per intero nella serie \(\displaystyle R_1 + R_2 \) e sarà pari a \(\displaystyle i_{AC}=\frac{E}{R_1+R_2} \), mentre la potenza termica dissipata sarà \(\displaystyle (R_1+R_2)i_{AC}^2 \).
In condizioni stazionarie (in continua) il condensatore è un aperto e non ci passa corrente. La corrente fluisce tutta nell'induttore (che è un cortocircuito) e in \(\displaystyle R_2 \), quindi la corrente è \(\displaystyle i_{DC} = \frac{E}{R_2} \) mentre l'energia immagazzinata nell'induttore è banalmente \(\displaystyle E_L = \frac{1}{2}L i_{DC}^2 \).
Per la seconda domanda, invece, ti sta dicendo che il condensatore era scarico in \(\displaystyle t=0 \) e l'induttore non aveva campo magnetico, quindi ci sarà un "fronte" iniziale prima che tutto vada a regime. In questo fronte la situazione è opposta alla precedente: il condensatore farà da cortocircuito mentre l'induttore sarà un aperto, quindi la corrente fluirà per intero nella serie \(\displaystyle R_1 + R_2 \) e sarà pari a \(\displaystyle i_{AC}=\frac{E}{R_1+R_2} \), mentre la potenza termica dissipata sarà \(\displaystyle (R_1+R_2)i_{AC}^2 \).
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