[RISOLTO] Trasformata di Laplace
ciao a tutti,
Potete aiutarmi a risolvere questo esercizietto di teoria dei circuiti?
"Calcolare la trasformata di Laplace della seguante funzione (cliccare sul link)"
Grazie.
Potete aiutarmi a risolvere questo esercizietto di teoria dei circuiti?
"Calcolare la trasformata di Laplace della seguante funzione (cliccare sul link)"
Grazie.
Risposte
"hastings":
ciao a tutti,
Potete aiutarmi a risolvere questo esercizietto di teoria dei circuiti?
"Calcolare la trasformata di Laplace della seguante funzione (cliccare sul link)"
Grazie.
ok, dov'è che ti blocchi?
Dunque, credo che la figura(grafico?spettro nel dominio t?) della funzione si possa scomporre in: triangolo rett verso sinistra, quadrato, triangolo rett. verso destra. Quindi faccio la trasformata di Laplace di ognuno?
Qual è la trasformata di Laplace di un triangolo? E di un quadrato?
Io per ora conosco solo alcune trasformate e antitrasf:
$\mathcal{L}[u_{-1}(t)]=1/s $
$\mathcal{L}[u_{0}(t)]=1 $
$\mathcal{L^{-1}}[1/(s+ \alpha)]=e^{-\alpha / t} \text{ } u_{-1}(t) $
(con $u_0(t)$ funzione impulso e $u_{-1}(t)$ funzione gradino)
ma ho la sensazione che non c'entrino nulla. Eppure quasi sicuramente capiterà all'esame. E non so come procedere.
Qual è la trasformata di Laplace di un triangolo? E di un quadrato?
Io per ora conosco solo alcune trasformate e antitrasf:
$\mathcal{L}[u_{-1}(t)]=1/s $
$\mathcal{L}[u_{0}(t)]=1 $
$\mathcal{L^{-1}}[1/(s+ \alpha)]=e^{-\alpha / t} \text{ } u_{-1}(t) $
(con $u_0(t)$ funzione impulso e $u_{-1}(t)$ funzione gradino)
ma ho la sensazione che non c'entrino nulla. Eppure quasi sicuramente capiterà all'esame. E non so come procedere.
"hastings":
Dunque, credo che la figura(grafico?spettro nel dominio t?)
segnale nel dominio del tempo.
La trasformata di Laplace ti fornirà il segnale nello spazio trasformato che non è proprio lo spettro. Questo lo ottieni con la trasformata di Fourier.
"hastings":
della funzione si possa scomporre in: triangolo rett verso sinistra, quadrato, triangolo rett. verso destra. Quindi faccio la trasformata di Laplace di ognuno?
Non proprio. L'idea di risolverlo in 3 parti va bene, ma non in questo modo. Ed è anche più semplice, devi solo applicare la definizione di trasformata di Laplace.
Che cosa devi fare? Trasformare la funzione che hai riportato in rosso, chiamiamoloa f(x)
dunque $L[$f(x)$]$$= int_(-oo)^(+oo)e^(-st)$f(x)$dt$
ora devi esprimere f(x) nei tre intervalli cioè per
$1
Ora per la linearità dell'integrale puoi scomporre l'integrale di partenza in tre integrali i cui estremi di integrazione non sono più $-oo$ e $+ oo$ bensi
$int_(1)^(2)+int_(2)^(4)+int_(4)^(5)$
Quindi diventa:
$\mathcal{L}[f(t)]=\int_1^2e^{-st}f_1(t)dt+\int_2^4e^{-st}f_2(t)dt+\int_4^5e^{-st}f_3(t)dt$
con $f_1(t)=2t-2$ e $f_2(t)=2$ e infine $f_3(t)=-2t+10$
Sostituendo queste ultime nella prima relazione si ha in definitiva:
$\mathcal{L}[f(t)]=\int_1^2e^{-st}(2t-2)dt+\int_2^4e^{-st}(2)dt+\int_4^5e^{-st}(-2t+10)dt=$
Lo risolvo a "pezzi" (per la propr. di linearità) però già con il primo integrale ci sono tanti calcoli...non è che ci sono delle tabelle o trucchi per spicciare i calcoli? Io ho fatto così (mi controlli i passaggi? grazie)
Svolgimento I.
$\int_1^2e^{-st}(2t-2)dt= 2\int_1^2 t e^{-st}dt - 2\int_1^2 e^{-st}dt=$
$2[-t/s e^{-st}-1/s^2 e^{-st}]_1^2 -2[-1/s \text{ } e^{st}]_1^2=$
$ 2[-2/s e^{-2s}\text{ }-1/s^2 e^{-2s}\text{ }+1/se^{-s}\text{ }+1/s^2 e^{-s}] -2[-1/se^{-2s}\text{ }+1/se^{-s}]=$
$ = -4/se^{-2s} \text{ }-2/s^2e^{-2s} \text{ }+2/se^{-s} \text{ }+2/s^2e^{-s} \text{ }+2/se^{-2s} \text{ }-2/s e^{-s}=$
$ -4/se^{-2s} \text{ }-2/s^2e^{-2s}\text{ }+2/s^2e^{-s} \text{ }+2/se^{-2s}$
Fin qui erano giusti i passaggi?
Anche se il prof è sadico, non credo darebbe una cosa così lunga come domande scritte di teoria. Perciò spero proprio che ci sia un modo per dimezzare il tempo di risoluzione di questo problema.
$\mathcal{L}[f(t)]=\int_1^2e^{-st}f_1(t)dt+\int_2^4e^{-st}f_2(t)dt+\int_4^5e^{-st}f_3(t)dt$
con $f_1(t)=2t-2$ e $f_2(t)=2$ e infine $f_3(t)=-2t+10$
Sostituendo queste ultime nella prima relazione si ha in definitiva:
$\mathcal{L}[f(t)]=\int_1^2e^{-st}(2t-2)dt+\int_2^4e^{-st}(2)dt+\int_4^5e^{-st}(-2t+10)dt=$
Lo risolvo a "pezzi" (per la propr. di linearità) però già con il primo integrale ci sono tanti calcoli...non è che ci sono delle tabelle o trucchi per spicciare i calcoli? Io ho fatto così (mi controlli i passaggi? grazie)
Svolgimento I.
$\int_1^2e^{-st}(2t-2)dt= 2\int_1^2 t e^{-st}dt - 2\int_1^2 e^{-st}dt=$
$2[-t/s e^{-st}-1/s^2 e^{-st}]_1^2 -2[-1/s \text{ } e^{st}]_1^2=$
$ 2[-2/s e^{-2s}\text{ }-1/s^2 e^{-2s}\text{ }+1/se^{-s}\text{ }+1/s^2 e^{-s}] -2[-1/se^{-2s}\text{ }+1/se^{-s}]=$
$ = -4/se^{-2s} \text{ }-2/s^2e^{-2s} \text{ }+2/se^{-s} \text{ }+2/s^2e^{-s} \text{ }+2/se^{-2s} \text{ }-2/s e^{-s}=$
$ -4/se^{-2s} \text{ }-2/s^2e^{-2s}\text{ }+2/s^2e^{-s} \text{ }+2/se^{-2s}$
Fin qui erano giusti i passaggi?
Anche se il prof è sadico, non credo darebbe una cosa così lunga come domande scritte di teoria. Perciò spero proprio che ci sia un modo per dimezzare il tempo di risoluzione di questo problema.
il procedimento è ok, come vedi i calcoli sono molto semplici solo un pò lunghi e tediosi.
Penso ci sia qualche errore di calcolo ma devo corntrollare i passaggi, ora vedo.
Ah vedo che l'altra volta ho detto una cavolata l'integrale è tra zero e $+oo$ e non da $-oo$, scusa.
Certo, ci sono le regole per le trasformazioni immediate, per esempio $L[cos(omegat)]=s/(s^2+omega^2)$...
Non sono del tutto sicuro, ma il problema di questo esercizio è che la funzione è definita a tratti per cui l'integrale di Laplace per ogni pezzo vale solo da un certo punto ad un altro e non da 0 a $+oo$. E perciò se applicassi le regole di trasformazione immediata otterresti una funzione di s $f(s)$ in cui non è presente la t e perciò non puoi sostituire gli estremi.
Penso ci sia qualche errore di calcolo ma devo corntrollare i passaggi, ora vedo.
Ah vedo che l'altra volta ho detto una cavolata l'integrale è tra zero e $+oo$ e non da $-oo$, scusa.
Certo, ci sono le regole per le trasformazioni immediate, per esempio $L[cos(omegat)]=s/(s^2+omega^2)$...
Non sono del tutto sicuro, ma il problema di questo esercizio è che la funzione è definita a tratti per cui l'integrale di Laplace per ogni pezzo vale solo da un certo punto ad un altro e non da 0 a $+oo$. E perciò se applicassi le regole di trasformazione immediata otterresti una funzione di s $f(s)$ in cui non è presente la t e perciò non puoi sostituire gli estremi.
ok i calcoli sono corretti... 
ci ho pensato un pò, per velocizzare i calcoli potresti provare ad applicare le proprità della convoluzione. Per esempio l'integrale:
$int_(1)^(2)(2t-2)e^(-st)$ puoi vederlo come - l'integrale da $-oo$ a $+oo$ tra una porta di durata totale pari a 1 e centrata in 1.5 e la funzione -2(t-1).. che altro non è che l'integrale di convoluzione tra la porta e la funzioe 2t
Per cui la trasf di Laplace è semplicemente il prodotto delle singole trasformate.
$int_(1)^(2)(2t-2)e^(-st)$ puoi vederlo come - l'integrale da $-oo$ a $+oo$ tra una porta di durata totale pari a 1 e centrata in 1.5 e la funzione -2(t-1).. che altro non è che l'integrale di convoluzione tra la porta e la funzioe 2t
Per cui la trasf di Laplace è semplicemente il prodotto delle singole trasformate.
Per ora prendo in considerazione solo il primo integrale:
$\int_1^2 (2t-2)e^{-st}dt$
In forma equivalente:
$\mathcal{L}[ (2t-2)e^{-st}]=\int (2t-2)e^{-st}dt$ (consideriamo l'integrale indefinito, per ora)
Quindi secondo quanto dici tu:
$\mathcal{L}[ (2t-2)e^{-st}]=\mathcal{L}[ 2te^{-st}]+\mathcal{L}[-2e^{-st}]= $
Purtroppo non so quale sia la trasformata di : $mathcal{L}[ e^{-st}]$
$\int_1^2 (2t-2)e^{-st}dt$
In forma equivalente:
$\mathcal{L}[ (2t-2)e^{-st}]=\int (2t-2)e^{-st}dt$ (consideriamo l'integrale indefinito, per ora)
Quindi secondo quanto dici tu:
$\mathcal{L}[ (2t-2)e^{-st}]=\mathcal{L}[ 2te^{-st}]+\mathcal{L}[-2e^{-st}]= $
Purtroppo non so quale sia la trasformata di : $mathcal{L}[ e^{-st}]$
Aspetta ho detto una balla...
Quando faccio la funzione di Laplace, nell'argomento non deve comparire la variabile "s" di Laplace.
Quindi sono punto e a capo.
Dovrei fare la trasformata dei due segnali "triangolari" e poi quello quadrato.
segnale quadrato: f(t)=2
$\mathcal{L}[2]=2 \mathcal{L}[1]=2/s$
è giusta la trasformata?
Tentativamente dovrei fare la stessa cosa con i "pezzi" triangolari...
triangolo rett. sinistro
$f(t)=2t-2 \text{ } 1 \leq t \leq 2$
$ \mathcal{L}[2t-2 ]= \mathcal{L}[2t] - \mathcal{L}[2]=2/s^2-2/s$ (ho sfruttato la propr. della linearità)
triangolo rett. destro
$f(t)=-2t+10 \text{ } 4 \leq t \leq 5$
$ \mathcal{L}[-2t+10]= \mathcal{L}[-2t] + \mathcal{L}[10]=-2/s^2 +10/s$ (ho sfruttato la propr. della linearità)
Quindi ricapitolando:
$\mathcal{L}[f(t)]={(\mathcal{L}[2t-2]=2/s^2-2/s, \text{ } 1 \leq t \leq 2 ),(\mathcal{L}[2]=2/s, \text{ } 2 \leq t \leq 4),(\mathcal{L}[-2t+10]=-2/s^2+10/s, \text{ } 4 \leq t \leq 5):} $
P.S.: Da qualche parte su Internet ho trovato una tabella con le più comuni trasformate di Laplace da cui ho estrapolato che
$\mathcal{L}[ 1]= 1/s $
e
$\mathcal{L}[ t ]= 1/s^2 $
Dopodiché ho applicato in varie occasioni la proprietà di Linearità di cui gode la Trasformata di Laplace (grazie di avermelo ricordato!).
Che dici, è passabile come spiegazione e svolgimento di un eventuale esercizio d'esame? Ed è pure più veloce.
"hastings":
$\mathcal{L}[ (2t-2)e^{-st}]=\mathcal{L}[ 2te^{-st}]+\mathcal{L}[-2e^{-st}]= $
Quando faccio la funzione di Laplace, nell'argomento non deve comparire la variabile "s" di Laplace.
Quindi sono punto e a capo.
Dovrei fare la trasformata dei due segnali "triangolari" e poi quello quadrato.
segnale quadrato: f(t)=2
$\mathcal{L}[2]=2 \mathcal{L}[1]=2/s$
è giusta la trasformata?
Tentativamente dovrei fare la stessa cosa con i "pezzi" triangolari...
triangolo rett. sinistro
$f(t)=2t-2 \text{ } 1 \leq t \leq 2$
$ \mathcal{L}[2t-2 ]= \mathcal{L}[2t] - \mathcal{L}[2]=2/s^2-2/s$ (ho sfruttato la propr. della linearità)
triangolo rett. destro
$f(t)=-2t+10 \text{ } 4 \leq t \leq 5$
$ \mathcal{L}[-2t+10]= \mathcal{L}[-2t] + \mathcal{L}[10]=-2/s^2 +10/s$ (ho sfruttato la propr. della linearità)
Quindi ricapitolando:
$\mathcal{L}[f(t)]={(\mathcal{L}[2t-2]=2/s^2-2/s, \text{ } 1 \leq t \leq 2 ),(\mathcal{L}[2]=2/s, \text{ } 2 \leq t \leq 4),(\mathcal{L}[-2t+10]=-2/s^2+10/s, \text{ } 4 \leq t \leq 5):} $
P.S.: Da qualche parte su Internet ho trovato una tabella con le più comuni trasformate di Laplace da cui ho estrapolato che
$\mathcal{L}[ 1]= 1/s $
e
$\mathcal{L}[ t ]= 1/s^2 $
Dopodiché ho applicato in varie occasioni la proprietà di Linearità di cui gode la Trasformata di Laplace (grazie di avermelo ricordato!).
Che dici, è passabile come spiegazione e svolgimento di un eventuale esercizio d'esame? Ed è pure più veloce.
"hastings":
Per ora prendo in considerazione solo il primo integrale:
$\int_1^2 (2t-2)e^{-st}dt$
In forma equivalente:
$\mathcal{L}[ (2t-2)e^{-st}]$
No, non è così; ma viene:
$\int_1^2 (2t-2)e^{-st}dt=int_(0)^(+oo)(2t-2)Pi(t-1.5)e^(-st)dt$ ora qui la trasformata non è come l'hai scritta tu $\mathcal{L}[ (2t-2)e^{-st}]$. Il pezzo $e^(-st)$ non devi metterlo. Dunque $int_(0)^(+oo)(2t-2)Pi(t-1.5)e^(-st)dt=\mathcal{L}[(2t-2)*Pi(t-1.5)]$
Ecco a questo punto pensavo si riuscisse a vedere il prodotto delle due funzioni $2t-2$ e $Pi(t-1.5)$ come una convulozione per questo avevo "girato" la funzione $2t-2$ scrivendola $-[2-2t]=-2[1-t]$. In realtà però occorrerebbe scrive la funzione $f(t)=2t-2$ come una funzione di $tau-t$ o $t-tau$ (a seconda della variabile di integrazione). Ma penso che non sia possibile.
Avevo capito che c'era un errore :
[/quote]
Però come ho scritto precedentemente non andava bene?
"hastings":
Aspetta ho detto una balla...
[quote="hastings"]$\mathcal{L}[ (2t-2)e^{-st}]=\mathcal{L}[ 2te^{-st}]+\mathcal{L}[-2e^{-st}]= $
[/quote]
Però come ho scritto precedentemente non andava bene?
"hastings":
Quindi ricapitolando:
$\mathcal{L}[f(t)]={(\mathcal{L}[2t-2]=2/s^2-2/s, \text{ } 1 \leq t \leq 2 ),(\mathcal{L}[2]=2/s, \text{ } 2 \leq t \leq 4),(\mathcal{L}[-2t+10]=-2/s^2+10/s, \text{ } 4 \leq t \leq 5):} $
P.S.: Da qualche parte su Internet ho trovato una tabella con le più comuni trasformate di Laplace da cui ho estrapolato che
$\mathcal{L}[ 1]= 1/s $
e
$\mathcal{L}[ t ]= 1/s^2 $
Dopodiché ho applicato in varie occasioni la proprietà di Linearità di cui gode la Trasformata di Laplace...
"hastings":Questo non è il segnale rettangolare, ma è un segnale costante che vale 2. Quello rettangolare va specificato che è diverso da zero solo in un certo intervallo.
Dovrei fare la trasformata dei due segnali "triangolari" e poi quello quadrato.
segnale quadrato: f(t)=2
Pertanto, quando poi fai:
"hastings":hai fatto la trasformata di una funzione costante (che è giusta come trasformata, viene $2/s$) ma non è la trasformata di un rettangolo! Perché? Perché non tieni conto del fatto che, mentre la funzione $f(t)=2$ vale $2 AA t in R$, la funzione $Pi(t-1.5)$ vale $2$ soltanto $ AA t in [1;2]$
$\mathcal{L}[2]=2 \mathcal{L}[1]=2/s$
è giusta la trasformata?
"hastings":Così facendo commetti lo stesso errore, è vero che hai specificato $1 \leq t \leq 2$ ma non ne hai tenuto conto nell'operazione di trasformazione di Laplace... Ancora una volta, fai la trasformata di tutta la retta $2t-2 $ senza limitarla in $(1;2)$. Cioè fai la trasformata di tutta la retta e non semplicemente del segmento (o triangolo rettangolo, come dici tu).
Tentativamente dovrei fare la stessa cosa con i "pezzi" triangolari...
triangolo rett. sinistro
$f(t)=2t-2 \text{ } 1 \leq t \leq 2$
$ \mathcal{L}[2t-2 ]= \mathcal{L}[2t] - \mathcal{L}[2]=2/s^2-2/s$ (ho sfruttato la propr. della linearità)
"hastings":...stesso discorso
triangolo rett. destro
"hastings":no non va bene!
Quindi ricapitolando:
$\mathcal{L}[f(t)]={(\mathcal{L}[2t-2]=2/s^2-2/s, \text{ } 1 \leq t \leq 2 ),(\mathcal{L}[2]=2/s, \text{ } 2 \leq t \leq 4),(\mathcal{L}[-2t+10]=-2/s^2+10/s, \text{ } 4 \leq t \leq 5):} $
"hastings":si le relazioni sono giuste, ma non sono le trasformate di un rettangolo o di un triangolo.
P.S.: Da qualche parte su Internet ho trovato una tabella con le più comuni trasformate di Laplace da cui ho estrapolato che
$\mathcal{L}[ 1]= 1/s $
e
$\mathcal{L}[ t ]= 1/s^2 $
Una precisazione sul rettangolo, dato che hai parlato di triangolo rettangolo. Nella teoria dei segnali non si parla di triangolo rettangolo. Se qualche volta hai sentito dire "triangolo" o "funzione triangolare" ci si riferiva più che altro a questa:
$Lambda(t)=1-|t|$
se $|t|<=1$; $0$ altrove
"hastings":Ti invito a riflettere sulla linearità, non solo della trasformata di Laplace, ma in generale, dato che molti studenti non sanno cosa significhi!
Dopodiché ho applicato in varie occasioni la proprietà di Linearità di cui gode la Trasformata di Laplace (grazie di avermelo ricordato!).
Ne hanno solo una vaga idea e spesso associano la linearità ad una retta che d'altronde è errato. Non sto dicendo che tu non lo sai, però diciamo che era una cosa che non dovevo farti notare io
Ti dico questo perché la linearità della trasf di L. è una cosa evidente ed immediata in quanto discende dal fatto che la trasformata di Laplace (e poi come vedrai quella di Fourier) è definita come un integrale, il quale è un operatore LINEARE. Ecco ora immagina di dover rispondere a cos'è la linearità?
"hastings":no, è errato. Ma se il prof non vi ha fatto fare le trasformazioni fondamentali vuol dire che devi svolgere gli integrali di Laplace passo passo
Che dici, è passabile come spiegazione e svolgimento di un eventuale esercizio d'esame? Ed è pure più veloce.
"raff5184":
Ma se il prof non vi ha fatto fare le trasformazioni fondamentali vuol dire che devi svolgere gli integrali di Laplace passo passo
A questo punto ho una gran confusione in testa.
Quali sono gli integrali di cui parli? Son questi?
$\mathcal{L}[f(t)]=\int_1^2f_1(t) e^{-st}dt+\int_2^4f_2(t) e^{-st}dt+\int_4^5f_3(t) e^{-st}dt= \text{ \dots}$
Quindi mi tocca per forza risolvere ognuno di questi integrali? Solo per risolvere il primo integrale ci ho messo 40'! (Sì, in effetti devo rispolverare integrali e derivate...)
"hastings":
[quote="raff5184"] Ma se il prof non vi ha fatto fare le trasformazioni fondamentali vuol dire che devi svolgere gli integrali di Laplace passo passo
A questo punto ho una gran confusione in testa.
Quali sono gli integrali di cui parli? Son questi?
$\mathcal{L}[f(t)]=\int_1^2f_1(t) e^{-st}dt+\int_2^4f_2(t) e^{-st}dt+\int_4^5f_3(t) e^{-st}dt= \text{ \dots}$
Quindi mi tocca per forza risolvere ognuno di questi integrali? Solo per risolvere il primo integrale ci ho messo 40'! (Sì, in effetti devo rispolverare integrali e derivate...)[/quote]
si, intendevo questo, che devi risolverli cosi.
Scusa hai detto che l'esmae è teoria dei circuiti. Ma è l'equivalente di elettrotecnica p è diverso?
"hastings":
A questo punto ho una gran confusione in testa.
dimmi pure cosa non ti è chiaro, o se vuoi ti faccio una sorta di riassunto del topic
Innanzitutto ringrazio Raff5184 per il grandissimo aiuto che offre, anche a me che ho recentemente bisogno dello stesso aiuto di hastings e ho trovato qui dei validissimi chiarimenti 
Senza voler interferire o distogliere l'attenzione dal problema di hasting, volevo solo chiedere una cosa inerente (e che forse può aiutare ancora di più) :
Devo risolvere una equazione differenziale di secondo ordine con Laplace, la cui f(t) è cosi definita :
Come si vede non è una somma di gradini questa volta, ma c'è la funzione seno.
Seguendo lo stesso ragionamento, l'equivalente $F(s)$ è la somma di $int_{0}^{pi/2} e^(-st) dt + int_{pi/2}^{+oo} sint * e^(-st) dt$ giusto? Il secondo integrale come si risolve? Devo farlo per parti?
Ps = ho postato in questo topic perchè credo sia molto inerente il mio quesito
Edit : risolto il problema dell Math Tag
Senza voler interferire o distogliere l'attenzione dal problema di hasting, volevo solo chiedere una cosa inerente (e che forse può aiutare ancora di più) :
Devo risolvere una equazione differenziale di secondo ordine con Laplace, la cui f(t) è cosi definita :
Come si vede non è una somma di gradini questa volta, ma c'è la funzione seno.
Seguendo lo stesso ragionamento, l'equivalente $F(s)$ è la somma di $int_{0}^{pi/2} e^(-st) dt + int_{pi/2}^{+oo} sint * e^(-st) dt$ giusto? Il secondo integrale come si risolve? Devo farlo per parti?
Ps = ho postato in questo topic perchè credo sia molto inerente il mio quesito
Edit : risolto il problema dell Math Tag
"raff5184":
Scusa hai detto che l'esmae è teoria dei circuiti. Ma è l'equivalente di elettrotecnica p è diverso?
Sì, "teoria dei circuiti" $\approx$ "elettrotecnica" se non altro perché compare nel titolo del libro consigliato. Questo non preclude naturalmente la conoscenza e l'utilizzo di derivate ed integrali per risolvere questo:
$F(s)={(\int_1^2 (2t-2)e^{-st}dt, \text{ se } 1 \leq t \leq 2),(\int_2^4 (2)e^{-st}dt, \text{ se }2 \leq t \leq 4), (\int_4^5 (-2t +10 )e^{-st}dt, \text{ se }4 \leq t \leq 5):}$
Perché è di questo che si tratta, giusto? devo risolvere "a mano" questi integrali ed è fatta... è così?
@nameless
Quell'integrale lì se non sbaglio si fa così...
Intanto 3 cose:
1) formula integraz per parti
$\int f(t) \cdot g'(t) dt= f\cdot g -\int f' \cdot g dt$ per brevità salto le formalità ( cioè non scrivo f(t) o g(t) ma semplicemente f e g)
2) seno e coseno
$f'(-\cos(t))=\sin( t )$ la derivata di "-cos(t)" è "sin(t)"
3) esponenziale
$d/dt e^{\alpha t}=\alpha e^{\alpha t}$
Procediamo: si tratta di fare due integrazioni per parti.
$\int \sin( t) e^{-st}dt $
qui
$f=e^{-st}$ e $f'=-se^{-st}$,
$g'=\sin (t)$ e $g=-\cos(t)$
quindi:
$\int \sin( t) e^{-st}dt=(-\cos(t))e^{-st}-\int(-se^{-st})(-\cost)dt=-\cos(t)e^{-st}-s\int \cos(t) e^{-st}dt$
cioè in modo più compatto
$\int \sin( t) e^{-st}dt=-\cos(t)e^{-st}-s\int \cos(t) e^{-st}dt$ (1)
Al secondo membro compare un altro integrale che risolviamo di nuovo per parti:
$\int \cos( t) e^{-st}dt $
stavolta
$f=e^{-st}$ e $g'=\cos (t)$, da cui
$f'=-se^{-st}$ e $g=\sin(t)$
$\int e^{-st} cos(t )dt= e^{-st}sin(t) +s \int sin(t)e^{-st}dt$ e sostituiamo nella (1):
$\int \sin( t) e^{-st}dt=-\cos(t)e^{-st}-s[e^{-st}sin(t) +s \int sin(t)e^{-st} dt]$ ,
$\int \sin( t) e^{-st}dt= -\cos(t)e^{-st}-se^{-st}sin(t) -s^2 \int sin(t) e^{-st} dt$ .
Portiamo a 1mo membro, l'integrale che compare a secondo membro e raccogliamo:
$(1+s^2)[\int \sin(t) e^{-st}dt]= -\cos(t)e^{-st}-se^{-st}sin(t)$
da cui finalmente:
$\int \sin(t) e^{-st}dt = -(e^{-st}[\cos(t)+s (\sin(t) )])/(1+s^2)$
Ora che conosci l'integrale indefinito puoi calcolarti il suo valore in un certo intervallo...
Errata corrige: un errore di segno nell'integraz per parti, la seconda volta.
"nameless":
Seguendo lo stesso ragionamento, l'equivalente $F(s)$ è la somma di $int_{0}^{pi/2} e^(-st) dt + int_{pi/2}^{+oo} sint * e^(-st) dt$ giusto? Il secondo integrale come si risolve? Devo farlo per parti?
Quell'integrale lì se non sbaglio si fa così...
Intanto 3 cose:
1) formula integraz per parti
$\int f(t) \cdot g'(t) dt= f\cdot g -\int f' \cdot g dt$ per brevità salto le formalità ( cioè non scrivo f(t) o g(t) ma semplicemente f e g)
2) seno e coseno
$f'(-\cos(t))=\sin( t )$ la derivata di "-cos(t)" è "sin(t)"
3) esponenziale
$d/dt e^{\alpha t}=\alpha e^{\alpha t}$
Procediamo: si tratta di fare due integrazioni per parti.
$\int \sin( t) e^{-st}dt $
qui
$f=e^{-st}$ e $f'=-se^{-st}$,
$g'=\sin (t)$ e $g=-\cos(t)$
quindi:
$\int \sin( t) e^{-st}dt=(-\cos(t))e^{-st}-\int(-se^{-st})(-\cost)dt=-\cos(t)e^{-st}-s\int \cos(t) e^{-st}dt$
cioè in modo più compatto
$\int \sin( t) e^{-st}dt=-\cos(t)e^{-st}-s\int \cos(t) e^{-st}dt$ (1)
Al secondo membro compare un altro integrale che risolviamo di nuovo per parti:
$\int \cos( t) e^{-st}dt $
stavolta
$f=e^{-st}$ e $g'=\cos (t)$, da cui
$f'=-se^{-st}$ e $g=\sin(t)$
$\int e^{-st} cos(t )dt= e^{-st}sin(t) +s \int sin(t)e^{-st}dt$ e sostituiamo nella (1):
$\int \sin( t) e^{-st}dt=-\cos(t)e^{-st}-s[e^{-st}sin(t) +s \int sin(t)e^{-st} dt]$ ,
$\int \sin( t) e^{-st}dt= -\cos(t)e^{-st}-se^{-st}sin(t) -s^2 \int sin(t) e^{-st} dt$ .
Portiamo a 1mo membro, l'integrale che compare a secondo membro e raccogliamo:
$(1+s^2)[\int \sin(t) e^{-st}dt]= -\cos(t)e^{-st}-se^{-st}sin(t)$
da cui finalmente:
$\int \sin(t) e^{-st}dt = -(e^{-st}[\cos(t)+s (\sin(t) )])/(1+s^2)$
Ora che conosci l'integrale indefinito puoi calcolarti il suo valore in un certo intervallo...
Errata corrige: un errore di segno nell'integraz per parti, la seconda volta.
"hastings":
[quote="raff5184"]Scusa hai detto che l'esmae è teoria dei circuiti. Ma è l'equivalente di elettrotecnica p è diverso?
Sì, "teoria dei circuiti" $\approx$ "elettrotecnica" se non altro perché compare nel titolo del libro consigliato. Questo non preclude naturalmente la conoscenza e l'utilizzo di derivate ed integrali per risolvere questo:
$F(s)={(\int_1^2 (2t-2)e^{-st}dt, \text{ se } 1 \leq t \leq 2),(\int_2^4 (2)e^{-st}dt, \text{ se }2 \leq t \leq 4), (\int_4^5 (-2t +10 )e^{-st}dt, \text{ se }4 \leq t \leq 5):}$
Perché è di questo che si tratta, giusto? devo risolvere "a mano" questi integrali ed è fatta... è così?[/quote]
Anche il mio esame di elettrotecnica si chiamava teoria dei circuiti, ma riguardo al mio esame posso dirti che laplace, sebbene utilizzabile per risolvere i circuiti in particolare quelli in regime dinamico, non l'ho mai usato in elettrotecnica. In genere gli esercizi sono con i numeri complessi. Ci sono molti calcoli da fare ma con i numri complessi, quindi algebrici.
Ho visto delle applicazioni all'elettrotecnica ma sono per le equazioni dei regimi dinamici in cui compaiono derivate prime e seconde di correnti e tensioni e dove non ci sono proprio questi integrali con tutti questi calcoli ma si sfruttano le proprietà della trasformata di Laplace della derivata di una funzione, ossia hai qualcosa del tipo $L[(dv(t))/(dt)]$ o $L[(d^2i(t))/(dt^2)]$ e allora può essere utile laplace perché un' equazione differenziale diventa una semplice equazione algebrica.
Comunque per risponderti, si devi farli a mano anche se ci vuole tempo.
"nameless":grazie
Innanzitutto ringrazio Raff5184 per il grandissimo aiuto che offre, anche a me che ho recentemente bisogno dello stesso aiuto di hastings e ho trovato qui dei validissimi chiarimenti
"nameless":sì
Seguendo lo stesso ragionamento, l'equivalente $F(s)$ è la somma di $int_{0}^{pi/2} e^(-st) dt + int_{pi/2}^{+oo} sint * e^(-st) dt$ giusto?
"nameless":sì
Il secondo integrale come si risolve? Devo farlo per parti?
non ho controllato il procedimento di hastings riguardo al tuo problema
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo