[Risolto] [Teoria dei sistemi] Studio andamento diagrammi di Bode
Ciao a tutti, ho un problema che non riesco a risolvere. Ho questa funzione di cui devo disegnare i diagrammi di Bode:
\(\displaystyle W(s) = \frac{-1000s+100}{s^{2}(-0.1s^{2}+0.9s+1)} \)
In forma canonica di Bode:
\(\displaystyle W(s) = 100 \frac{1-10s}{s^{2}(1+s)(1-0.1s)} \)
Premetto che ho già disegnato il diagramma di Bode dell'intera funzione.
Studio solo il modulo del binomio al numeratore ossia \(\displaystyle 1-10s \):
\(\displaystyle \tau = -10 \) quindi \(\displaystyle w = \frac{1}{|\tau|} = \frac{1}{10} = 0.1 \) che è il punto di rottura.
Ora ho \(\displaystyle 20\log_{1}(\sqrt{w^{2}\tau^{2} +1}) \)
Se \(\displaystyle w \ll 0.1 \) ho \(\displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(0.01)^{2}1^{2} +1}) \simeq 0 db \)
Se \(\displaystyle w = 0.1 \) ho \(\displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(0.1)^{2}1^{2} +1}) \simeq 0 db \)
Se \(\displaystyle w \gg 0.1 \) ho \(\displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(1^{2}1^{2} +1}) \simeq 3 db \)
Dove con \(\displaystyle \ll \) intendo una decade prima di \(\displaystyle w = 0.1 \) e con \(\displaystyle \gg \) intendo una decade dopo di \(\displaystyle w = 0.1 \)
Questo è corretto? Anche se non fosse corretto io non so cosa devo farci. Cioè per disegnare il diagramma di Bode del modulo devo solo ricordarmi che quel binomio ha pendenza \(\displaystyle +20db/dec \) a cosa mi serve tutto quello studio?
Grazie delle eventuali risposte.
\(\displaystyle W(s) = \frac{-1000s+100}{s^{2}(-0.1s^{2}+0.9s+1)} \)
In forma canonica di Bode:
\(\displaystyle W(s) = 100 \frac{1-10s}{s^{2}(1+s)(1-0.1s)} \)
Premetto che ho già disegnato il diagramma di Bode dell'intera funzione.
Studio solo il modulo del binomio al numeratore ossia \(\displaystyle 1-10s \):
\(\displaystyle \tau = -10 \) quindi \(\displaystyle w = \frac{1}{|\tau|} = \frac{1}{10} = 0.1 \) che è il punto di rottura.
Ora ho \(\displaystyle 20\log_{1}(\sqrt{w^{2}\tau^{2} +1}) \)
Se \(\displaystyle w \ll 0.1 \) ho \(\displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(0.01)^{2}1^{2} +1}) \simeq 0 db \)
Se \(\displaystyle w = 0.1 \) ho \(\displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(0.1)^{2}1^{2} +1}) \simeq 0 db \)
Se \(\displaystyle w \gg 0.1 \) ho \(\displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(1^{2}1^{2} +1}) \simeq 3 db \)
Dove con \(\displaystyle \ll \) intendo una decade prima di \(\displaystyle w = 0.1 \) e con \(\displaystyle \gg \) intendo una decade dopo di \(\displaystyle w = 0.1 \)
Questo è corretto? Anche se non fosse corretto io non so cosa devo farci. Cioè per disegnare il diagramma di Bode del modulo devo solo ricordarmi che quel binomio ha pendenza \(\displaystyle +20db/dec \) a cosa mi serve tutto quello studio?
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
In effetti c'è un errore.
Quando studi l'andamento del modulo devi farlo in funzione di $omega$ senza andare a sostituire un valore preciso
Quando studi l'andamento del modulo devi farlo in funzione di $omega$ senza andare a sostituire un valore preciso
Intanto grazie.
è vero però pensavo che sostituendo un valore preciso avrei ottenuto un risultato approssimativo ma comunque non lontano dall'andamento reale.
Quindi:
Se \( \displaystyle w \ll 0.1 \) ho \( \displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(\omega)^{2}1^{2} +1}) \simeq 0 db \) (se \(\displaystyle \omega \) è molo piccolo rispetto al punto di rottura, la radice si riduce a \(\displaystyle \sqrt{1} \) e quindi \(\displaystyle 20\log_{10}(1) \simeq 0 \) )
Se \( \displaystyle w = 0.1 \) ho \( \displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(0.1)^{2}1^{2} +1}) \simeq 0 db \) ( qui posso sostituirlo?)
Se \( \displaystyle w \gg 0.1 \) ho \( \displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(\omega^{2}1^{2} +1}) \simeq 3 db \) (..e qui? quanto può crescere \(\displaystyle \omega \) ? fino alla decade dopo? quindi fino a 1..)
Sono confuso
. Potresti correggermi per favore? Grazie mille !
Quando studi l'andamento del modulo devi farlo in funzione di \(\displaystyle \omega \) senza andare a sostituire un valore preciso.
è vero però pensavo che sostituendo un valore preciso avrei ottenuto un risultato approssimativo ma comunque non lontano dall'andamento reale.
Quindi:
Se \( \displaystyle w \ll 0.1 \) ho \( \displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(\omega)^{2}1^{2} +1}) \simeq 0 db \) (se \(\displaystyle \omega \) è molo piccolo rispetto al punto di rottura, la radice si riduce a \(\displaystyle \sqrt{1} \) e quindi \(\displaystyle 20\log_{10}(1) \simeq 0 \) )
Se \( \displaystyle w = 0.1 \) ho \( \displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(0.1)^{2}1^{2} +1}) \simeq 0 db \) ( qui posso sostituirlo?)
Se \( \displaystyle w \gg 0.1 \) ho \( \displaystyle 20\log_{10}(\sqrt{(\omega^{2}1^{2} +1}) \simeq 3 db \) (..e qui? quanto può crescere \(\displaystyle \omega \) ? fino alla decade dopo? quindi fino a 1..)
Sono confuso
. Potresti correggermi per favore? Grazie mille !
Grazie mille sono riuscito a capirlo da solo 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo