[RISOLTO] [Teoria dei sistemi] Calcolo della fase
Buonasera ho un problema nel calcolare la fase, per questo esercizio:
Determinare l'uscita in regime permanente all'ingresso \(\displaystyle u(t) = \sin(3t) \) per un sistema avente \(\displaystyle w(s) = \frac{4}{s+3} \)
Propongo il mio svolgimento fin dove mi sono bloccato.
Il regime permanente esiste quando i poli della W(s) sono tutti a parte reale < 0. Qui c'è un solo polo che è -3 ed è a parte reale < 0 , quindi il regime permanente esiste.
Il fine è quello di calcolarmi la risposta a regime permanente (Yr), in questo caso, per un ingresso periodico, quindi:
\(\displaystyle y_{r} = |w(jw)|\sin(wt + \phi(wj) ) \) per un ingresso di tipo \(\displaystyle u(t) = \sin(wt) \)
dove \(\displaystyle w(jw) \) è la w(s) calcolata in s = jw
Divido la parte reale da quella immaginaria nella w(s) dopo aver sostituito s = jw:
\(\displaystyle \frac{12}{w^{2} +9} + \frac{-4jw}{w^{2}+9} \)
Mi calcolo il modulo:
\(\displaystyle |w(jw)| = \sqrt{ (Re(w(jw)))^{2} + (Im(w(jw)))^{2} } = \sqrt{ (\frac{12}{w^{2} +9})^{2} + (\frac{-4jw}{w^{2}+9})^{2} } = \frac{4}{\sqrt{w^{2} +9}} \)
Per la fase:
\(\displaystyle \phi(wj) = \arctan( \frac{ Im(w(jw)) }{Re(w(jw))}) \) però qui mi fermo perchè mi viene una cosa complicata e del tipo \(\displaystyle -i\tanh^{-1}(\frac{w}{3}) \) che penso sia sbagliato.
Il libro purtroppo non mi dice nè quanto è il modulo nè la fase (fa solo il calcolo con w = 3). La fase però penso sia \(\displaystyle \frac{-w}{3} \)
Potreste darmi una mano per favore?
Grazie della disponibilità
Determinare l'uscita in regime permanente all'ingresso \(\displaystyle u(t) = \sin(3t) \) per un sistema avente \(\displaystyle w(s) = \frac{4}{s+3} \)
Propongo il mio svolgimento fin dove mi sono bloccato.
Il regime permanente esiste quando i poli della W(s) sono tutti a parte reale < 0. Qui c'è un solo polo che è -3 ed è a parte reale < 0 , quindi il regime permanente esiste.
Il fine è quello di calcolarmi la risposta a regime permanente (Yr), in questo caso, per un ingresso periodico, quindi:
\(\displaystyle y_{r} = |w(jw)|\sin(wt + \phi(wj) ) \) per un ingresso di tipo \(\displaystyle u(t) = \sin(wt) \)
dove \(\displaystyle w(jw) \) è la w(s) calcolata in s = jw
Divido la parte reale da quella immaginaria nella w(s) dopo aver sostituito s = jw:
\(\displaystyle \frac{12}{w^{2} +9} + \frac{-4jw}{w^{2}+9} \)
Mi calcolo il modulo:
\(\displaystyle |w(jw)| = \sqrt{ (Re(w(jw)))^{2} + (Im(w(jw)))^{2} } = \sqrt{ (\frac{12}{w^{2} +9})^{2} + (\frac{-4jw}{w^{2}+9})^{2} } = \frac{4}{\sqrt{w^{2} +9}} \)
Per la fase:
\(\displaystyle \phi(wj) = \arctan( \frac{ Im(w(jw)) }{Re(w(jw))}) \) però qui mi fermo perchè mi viene una cosa complicata e del tipo \(\displaystyle -i\tanh^{-1}(\frac{w}{3}) \) che penso sia sbagliato.
Il libro purtroppo non mi dice nè quanto è il modulo nè la fase (fa solo il calcolo con w = 3). La fase però penso sia \(\displaystyle \frac{-w}{3} \)
Potreste darmi una mano per favore?
Grazie della disponibilità
Risposte
"Escher":
Determinare l'uscita in regime permanente all'ingresso \(\displaystyle u(t) = \sin(3t) \) per un sistema avente \(\displaystyle w(s) = \frac{4}{s+3} \)
Divido la parte reale da quella immaginaria nella w(s) dopo aver sostituito s = jw:
\(\displaystyle \frac{12}{w^{2} +9} + \frac{-4jw}{w^{2}+9} \)
e da dove viene fuori tutta questa roba?
Il procedimento è molto semplice: nel tuo esempio $omega = 3(rad)/s$ dunque si ha:
$W(jomega) = W(j3) = 4/(j3+3)$
da cui:
$1)$ $|W(j3)| = 4/sqrt(18) $
$2)$ $phi_(W(j3)) = -tg^(-1) (3/3) = -pi/4$
In conclusione:
$ y_r(t)=|W(j3)|sin(wt+phi_(W(j3))) = 4/sqrt(18)sin(3t-pi/4) $
Un consiglio: prendi l'abitudine di indicare le trasformate di Laplace con le lettere maiuscole
Ti ringrazio della risposta è molto chiara.
Questo, come già saprai , è il testo dell'esercizio:
Determinare l'uscita in regime permanente all'ingresso \( \displaystyle u(t) = \sin(3t) \) per un sistema avente \( \displaystyle w(s) = \frac{4}{s+3} \)
Mentre qui ho diviso la parte reale da quella immaginaria:
\(\displaystyle w(s) = \frac{4}{s+3} \) sostituisco \(\displaystyle s = jw \) e ottengo \(\displaystyle w(jw) = \frac{4}{jw +3} \) ora moltiplico sopra e sotto per \(\displaystyle (3-jw) \) quindi \(\displaystyle \frac{4 (3-jw)}{(3+jw)(3-jw)} = \frac{12-4jw}{w^{2} +9} = \underbrace{\frac{12}{w^{2} +9}}_{Re} + \underbrace{\frac{-4jw}{w^{2}+9}}_{Im} \)
Come già detto ho capito la tua risposta e ti ringrazio
Ho capito dove sbagliavo e sono arrivato al tuo stesso risultato (che è quello corretto). Nel mio primo post ho commesso un errore di distrazione, ossia quando considero la parte immaginaria non devo considerare l'unità immaginaria j.
Quindi seguendo il mio procedimento:
Calcolo del modulo:
\( \displaystyle |W(jw)| = \sqrt{ (Re(W(jw)))^{2} + (Im(W(jw)))^{2} } = \sqrt{ (\frac{12}{w^{2} +9})^{2} + (\frac{-4w}{w^{2}+9})^{2} } = \frac{4}{\sqrt{w^{2} +9}} \)
Per la fase:
\( \displaystyle \phi(wj) = \arctan( \frac{ Im(W(jw)) }{Re(W(jw))}) = \arctan( \frac{ \frac{-4w}{w^{2} +9}}{ \frac{12}{w^{2} +9}}) = -\arctan(\frac{w}{3}) \)
Ora, andando a sostituire a \(\displaystyle w \) il polo in \(\displaystyle -3 \) ottengo:
\( \displaystyle y_{r} = |W(jw)|\sin(wt + \phi(wj) ) = \frac{4}{\sqrt{9+9}}\sin(3t-\arctan(\frac{3}{3}) = \frac{4}{3\sqrt{2}}\sin(3t-\frac{\pi}{4}) \)
Però forse è più complicato nei calcoli.
Grazie mille della disponibilità !
e da dove viene fuori tutta questa roba?
Questo, come già saprai , è il testo dell'esercizio:
Determinare l'uscita in regime permanente all'ingresso \( \displaystyle u(t) = \sin(3t) \) per un sistema avente \( \displaystyle w(s) = \frac{4}{s+3} \)
Mentre qui ho diviso la parte reale da quella immaginaria:
\(\displaystyle w(s) = \frac{4}{s+3} \) sostituisco \(\displaystyle s = jw \) e ottengo \(\displaystyle w(jw) = \frac{4}{jw +3} \) ora moltiplico sopra e sotto per \(\displaystyle (3-jw) \) quindi \(\displaystyle \frac{4 (3-jw)}{(3+jw)(3-jw)} = \frac{12-4jw}{w^{2} +9} = \underbrace{\frac{12}{w^{2} +9}}_{Re} + \underbrace{\frac{-4jw}{w^{2}+9}}_{Im} \)
Come già detto ho capito la tua risposta e ti ringrazio
Ho capito dove sbagliavo e sono arrivato al tuo stesso risultato (che è quello corretto). Nel mio primo post ho commesso un errore di distrazione, ossia quando considero la parte immaginaria non devo considerare l'unità immaginaria j.
Quindi seguendo il mio procedimento:
Calcolo del modulo:
\( \displaystyle |W(jw)| = \sqrt{ (Re(W(jw)))^{2} + (Im(W(jw)))^{2} } = \sqrt{ (\frac{12}{w^{2} +9})^{2} + (\frac{-4w}{w^{2}+9})^{2} } = \frac{4}{\sqrt{w^{2} +9}} \)
Per la fase:
\( \displaystyle \phi(wj) = \arctan( \frac{ Im(W(jw)) }{Re(W(jw))}) = \arctan( \frac{ \frac{-4w}{w^{2} +9}}{ \frac{12}{w^{2} +9}}) = -\arctan(\frac{w}{3}) \)
Ora, andando a sostituire a \(\displaystyle w \) il polo in \(\displaystyle -3 \) ottengo:
\( \displaystyle y_{r} = |W(jw)|\sin(wt + \phi(wj) ) = \frac{4}{\sqrt{9+9}}\sin(3t-\arctan(\frac{3}{3}) = \frac{4}{3\sqrt{2}}\sin(3t-\frac{\pi}{4}) \)
Però forse è più complicato nei calcoli.
Grazie mille della disponibilità !
Figurati, l'importante è che tu abbia capito come si svolge l'esercizio.
PS: se conosci le proprietà dei numeri complessi e, soprattutto, come si calcolano modulo e fase di un numero complesso in forma razionale, non hai bisogno di effettuare la razionalizzazione che comporta comunque un'elevata probabilità di errore ( specialmente quando le fdt non sono così semplici come quella che ti è stata data )
PS: se conosci le proprietà dei numeri complessi e, soprattutto, come si calcolano modulo e fase di un numero complesso in forma razionale, non hai bisogno di effettuare la razionalizzazione che comporta comunque un'elevata probabilità di errore ( specialmente quando le fdt non sono così semplici come quella che ti è stata data )
PS: se conosci le proprietà dei numeri complessi e, soprattutto, come si calcolano modulo e fase di un numero complesso in forma razionale, non hai bisogno di effettuare la razionalizzazione che comporta comunque un'elevata probabilità di errore ( specialmente quando le fdt non sono così semplici come quella che ti è stata data )
Infatti è quella la mia paura anche perchè sono solito fare errori anche stupidi.
Grazie mi ripasso le proprietà dei complessi così c'è meno rischio di sbagliare
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