[RISOLTO, Elettrotecnica] Risoluzione rete lineare del secondo ordine
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per arrivare alla soluzione dell'esercizio che scriverò qui sotto. Premetto che questo esercizio l'ho svolto e risolto utilizzando la trasformata di Laplace, senza problemi. I guai sono cominciati quando ho cercato di risolverlo nel dominio del tempo; riporterò il mio svolgimento, sperando che qualcuno di voi sia così gentile da aiutarmi a venirne a capo.
Il circuito è il seguente
dove le condizioni iniziali relative alle grandezze caratteristiche di induttore e condensatore sono
$ { ( i_L(0^-)=0A),( v_C(0^-)=1V ):} $ . Viene richiesto l'andamento della potenza istantanea erogata dal generatore di corrente per $ t \geq 0 $
Il mio approccio consiste nell'impiego del "Circuito resistivo associato", ovvero un circuito equivalente nel quale i condensatori e gli induttori sono stati sostituiti da generatori indipendenti. Il circuito così ottenuto può essere poi risolto con il principio di sovrapposizione degli effetti. La situazione diventa
Nello schema 1 $ { ( i_{C1}= \frac{I_g}{2}),( v_{L1}= v_{R4}= -I_g ):} $
Nello schema 2 $ { ( i_{C2}=- \frac{v_C}{R_1 + R_2}= - \frac{v_C}{2} ),( v_{L2}= 0):} $
Nello schema 3 $ { ( i_{C3}= 0),( v_{L3}= -(R_4+R_5)i_L=-2i_L):} $
Sommando tutto ed utilizzando le relazioni caratteristiche dei componenti, ho le due equazioni differenziali del primo ordine
$ { ( v'_C + \frac{v_C}{2} + \frac{I_g}{2} =0 ),( i'_L +2i_L + I_g = 0):} $ .
Sono corrette queste equazioni? Arrivati a questo punto, come procedo? In generale, dovrei risolvere ciascuna delle due equazioni differenziali oppure unirle e generare un'unica equazione differenziale del secondo ordine (in questo caso non mi sembra possibile questa seconda strada). Una delle mie perplessità è come trattare il generatore di corrente, il quale è descritto da una funzione gradino unitario (Heaviside function).
Nota: Il risultato dell'esercizio, usando la trasformata di Laplace, è $ P_{g} (t)= (\frac{5}{2} + \frac{e^{-2t}}{2})u(t) $
Il circuito è il seguente
dove le condizioni iniziali relative alle grandezze caratteristiche di induttore e condensatore sono
$ { ( i_L(0^-)=0A),( v_C(0^-)=1V ):} $ . Viene richiesto l'andamento della potenza istantanea erogata dal generatore di corrente per $ t \geq 0 $
Il mio approccio consiste nell'impiego del "Circuito resistivo associato", ovvero un circuito equivalente nel quale i condensatori e gli induttori sono stati sostituiti da generatori indipendenti. Il circuito così ottenuto può essere poi risolto con il principio di sovrapposizione degli effetti. La situazione diventa
Nello schema 1 $ { ( i_{C1}= \frac{I_g}{2}),( v_{L1}= v_{R4}= -I_g ):} $
Nello schema 2 $ { ( i_{C2}=- \frac{v_C}{R_1 + R_2}= - \frac{v_C}{2} ),( v_{L2}= 0):} $
Nello schema 3 $ { ( i_{C3}= 0),( v_{L3}= -(R_4+R_5)i_L=-2i_L):} $
Sommando tutto ed utilizzando le relazioni caratteristiche dei componenti, ho le due equazioni differenziali del primo ordine
$ { ( v'_C + \frac{v_C}{2} + \frac{I_g}{2} =0 ),( i'_L +2i_L + I_g = 0):} $ .
Sono corrette queste equazioni? Arrivati a questo punto, come procedo? In generale, dovrei risolvere ciascuna delle due equazioni differenziali oppure unirle e generare un'unica equazione differenziale del secondo ordine (in questo caso non mi sembra possibile questa seconda strada). Una delle mie perplessità è come trattare il generatore di corrente, il quale è descritto da una funzione gradino unitario (Heaviside function).
Nota: Il risultato dell'esercizio, usando la trasformata di Laplace, è $ P_{g} (t)= (\frac{5}{2} + \frac{e^{-2t}}{2})u(t) $
Risposte
Nello schema 1, $v_{L1}=+1\cdot I_g$
Il generatore di corrente Ig, come vedi dalle due equazioni differenziali del primo ordine che hai ottenuto, "separa" l'evoluzione della parte destra della rete da quella della parte sinistra, di conseguenza quelle due equazioni differenziali ti permettono di ottenere separatamente l'evoluzione temporale della $i_L(t)$ e della $v_C(t)$, dalle quali potrai poi ricavare la tensione ai morsetti del GIC e di conseguenza la funzione del tempo per la potenza erogata dallo stesso.
Il generatore di corrente Ig, come vedi dalle due equazioni differenziali del primo ordine che hai ottenuto, "separa" l'evoluzione della parte destra della rete da quella della parte sinistra, di conseguenza quelle due equazioni differenziali ti permettono di ottenere separatamente l'evoluzione temporale della $i_L(t)$ e della $v_C(t)$, dalle quali potrai poi ricavare la tensione ai morsetti del GIC e di conseguenza la funzione del tempo per la potenza erogata dallo stesso.
Grazie per avermi fatto notare l'errore di segno.
Quindi l'unico modo di procedere è risolvere entrambe le equazioni così come sono? Il termine del generatore dovrebbe portare una soluzione particolare in ciascuna equazione, giusto? Continua però a sfuggirmi come maneggiare il generatore: ci sono varie definizioni della funzione gradino unitario, tipo
$ u(t)={ ( 0, t<0 ),( \frac{1}{2}, t=0 ),( 1, t>0 ):} $ oppure $ u(t)={ ( 0, t<0 ),( 1, t\geq0 ):} $ . Cosa dovrei fare, considerarla come una semplice costante da 0 in poi?
Quindi l'unico modo di procedere è risolvere entrambe le equazioni così come sono? Il termine del generatore dovrebbe portare una soluzione particolare in ciascuna equazione, giusto? Continua però a sfuggirmi come maneggiare il generatore: ci sono varie definizioni della funzione gradino unitario, tipo
$ u(t)={ ( 0, t<0 ),( \frac{1}{2}, t=0 ),( 1, t>0 ):} $ oppure $ u(t)={ ( 0, t<0 ),( 1, t\geq0 ):} $ . Cosa dovrei fare, considerarla come una semplice costante da 0 in poi?
Il generatore di corrente interviene per t>0 e quindi, note le evoluzioni per t>0 della iL(t) e della vC(t), lo puoi considerare costante
$Ig (t)=1 \text{A}$
Sostanzialmente, determinati i due autovalori $\lambda_1$ e $\lambda_2$, visto che le funzioni le possiamo scrivere come
$i_L(t)=k_1 e^{\lambda_1 t}+k_2$
$v_C(t)=k_3 e^{\lambda_2 t}+k_4$
le quattro costanti potranno essere determinate dai valori iniziali per t=0 e da quelli a regime
$i_L(\infty)\quad$ e $\quad v_C(\infty)$
Per la tensione ai morsetti del GIC basterà poi semplicemente una KVL.
$Ig (t)=1 \text{A}$
Sostanzialmente, determinati i due autovalori $\lambda_1$ e $\lambda_2$, visto che le funzioni le possiamo scrivere come
$i_L(t)=k_1 e^{\lambda_1 t}+k_2$
$v_C(t)=k_3 e^{\lambda_2 t}+k_4$
le quattro costanti potranno essere determinate dai valori iniziali per t=0 e da quelli a regime
$i_L(\infty)\quad$ e $\quad v_C(\infty)$
Per la tensione ai morsetti del GIC basterà poi semplicemente una KVL.
Ti ringrazio Renzo, sembra di essere vicini alla fine. Ci sono solo alcuni punti che non mi sono del tutto chiari.
Usando le LKT alla maglia sinistra, abbiamo che
$ v_{R2}=v_C+v_{R1} = v_C + i_C = 2- \frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2} $ dato che i resistori sono tutti da 1 ohm e resistore e condensatore sono in serie. Tuttavia ho che con la LKC a nodo tra il condensatore e R3 $ i_{R2}=i_C+i_{R2} = 1- \frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2} $ , dato che la corrente che scorre in R3 dovrebbe essere proprio quella erogata dal generatore. Com'è possibile?
Inoltre, il termine esponenziale $ \frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2} $ rimane. E' presente qualche errore?
Usando le LKT alla maglia sinistra, abbiamo che
$ v_{R2}=v_C+v_{R1} = v_C + i_C = 2- \frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2} $ dato che i resistori sono tutti da 1 ohm e resistore e condensatore sono in serie. Tuttavia ho che con la LKC a nodo tra il condensatore e R3 $ i_{R2}=i_C+i_{R2} = 1- \frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2} $ , dato che la corrente che scorre in R3 dovrebbe essere proprio quella erogata dal generatore. Com'è possibile?
Inoltre, il termine esponenziale $ \frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2} $ rimane. E' presente qualche errore?
Non riesco a capire i tuoi calcoli; per determinare la tensione vg ai morsetti del generatore di corrente, col positivo a sinistra, visto che vogliamo determinare la potenza erogata, come dicevo, basta scrivere una sola KVL, ovvero, partendo dal suo morsetto destro
\(v_g (t)=R_5 \cdot i_L(t)+v_L(t)+R_3\cdot I_g(t)+v_C(t)+R_1\cdot i_C(t)\)
\(v_g (t)=1 \cdot \frac{1}{2}(1-e^{-2t})+e^{-2t}+1\cdot 1+1+1\cdot 0=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}e^{-2t}\)
e infine
\(p_g (t)=I_g(t)\cdot v_g(t)\)
\(v_g (t)=R_5 \cdot i_L(t)+v_L(t)+R_3\cdot I_g(t)+v_C(t)+R_1\cdot i_C(t)\)
\(v_g (t)=1 \cdot \frac{1}{2}(1-e^{-2t})+e^{-2t}+1\cdot 1+1+1\cdot 0=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}e^{-2t}\)
e infine
\(p_g (t)=I_g(t)\cdot v_g(t)\)
Perdonami, però non ti seguo. Capisco quale maglia hai scelto per ricavare la tensione ai capi del generatore, tuttavia non mi trovo con i tuoi valori di tensione e corrente del condensatore. Da una delle equazioni differenziali su cui eravamo d'accordo ho ricavato che $ v_{C} (t)= 2-e^{-\frac{t}{2}} $ e quindi la corrente è $ i_{C} (t)= \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} $ . Di conseguenza ho il problema a cui facevo riferimento prima. Tu cosa dici?
Da quella relazione
$v_C(\infty)= 2 \ \text{V}$
ti sembra possibile?
Non l'ho mai detto di essere d'accordo, quelle equazioni non le avevo controllate.
$v_C(\infty)= 2 \ \text{V}$
ti sembra possibile?
"xh144fata":
...Da una delle equazioni differenziali su cui eravamo d'accordo ...
Non l'ho mai detto di essere d'accordo, quelle equazioni non le avevo controllate.
"RenzoDF":
Non l'ho mai detto di essere d'accordo, quelle equazioni non le avevo controllate.
Touché
"RenzoDF":
Da quella relazione
$ v_C(\infty)= 2 \ \text{V} $
ti sembra possibile?
Certamente. Aspettando un tempo sufficientemente lungo, il termine esponenziale cessa di esistere e rimane solo la costante.
"RenzoDF":
\( v_g (t)=R_5 \cdot i_L(t)+v_L(t)+R_3\cdot I_g(t)+v_C(t)+R_1\cdot i_C(t) \)
\( v_g (t)=1 \cdot \frac{1}{2}(1-e^{-2t})+e^{-2t}+1\cdot 1+1+1\cdot 0=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}e^{-2t} \)
Se interpreto bene questa espressione, tu scrivi la tensione ai capi del generatore come se le grandezze dell'induttore siano in evoluzione, mentre quelle del condensatore siano a regime. Ciò che non capisco è in base a quale criterio. E' forse perché il risultato da me riportato è scritto in quel modo? Se non avessi avuto alcuna soluzione, come avresti scritto $ V_{g} (t) $ ?
P.s. Grazie della pazienza
"xh144fata":
... Certamente. Aspettando un tempo sufficientemente lungo, il termine esponenziale cessa di esistere e rimane solo la costante ...
Io invece, direi che non sia possibile che valga 2 volt in quanto, semplicemente osservando la rete, noto che a regime, la tensione ai morsetti del condensatore sarà
$v_C(\infty)=1 \text{V}$
Come già detto, sono partito dalla
$v_C(t)=k_3 e^{\lambda_2 t}+k_4$
ricavando le costanti ki dalle condizioni iniziali e a regime
$v_C(0)=1\quad $ e $v_C(\infty)=1$
ovvero dalla coppia di relazioni
$v_C(0)=k_3 +k_4=1$
$v_C(\infty)=k_4=1$
ne segue che
$k_4=1$
$k_3=0$
e quindi
$v_C(t)=1$
Riguardo alla tua soluzione per $vC(t)$ ti chiedo: tu l'hai controllata quell'equazione differenziale
--------------------------
PS: In questo caso particolare poi, non era necessario andare ad usare il circuito resistivo associato per ricavare le due equazioni differenziali in quanto, quei due autovalori potevano essere direttamente ottenuti dalle due costanti di tempo, ovvero
$\lambda_1=-1/\tau_1=-R_d /L$
$\lambda_2=-1/\tau_2=-1/(R_s C)$
dove $R_d=2 \ \Omega\quad$ e $\quad R_s=2 \ \Omega\quad$ sono le resistenze equivalenti "viste" rispettivamente dall'induttore e dal condensatore.
Andando in ordine
Sì, l'equazione differenziale era corretta, ma nell'andare a risolverla ho sbagliato ad inserire il valore del generatore (ho scritto 1 anziché $ 1/2 $ )
In realtà non è che mi fosse richiesto di usare il circuito resistivo equivalente. Dato che l'uso della trasformata di Laplace e l'approccio con il circuito resistivo equivalente sono due modi di procedere che in molti casi possono semplificare le cose, ho deciso di usarli entrambi per fare pratica.
Intendi far agire un elemento dinamico alla volta, di fatto avendo un circuito RC ed uno RL, e calcolare la resistenza vista da induttore o condensatore (come se stessimo usando Thevenin o Norton)? Dai valori di $ \lambda $ riesco a risalire alle equazioni omogenee, ma mi mancano le informazioni sul generatore per avere le equazioni complete, no?
Avrei anche potuto considerare la rete come un doppio bipolo e, scrivendo la matrice ibrida, avrei ricavato le relazioni tra le grandezze di induttore e condensatore. Anche in questo caso però non avrei avuto il contributo del generatore nelle equazioni ricavate. Cosa non vedo?
"RenzoDF":
Riguardo alla tua soluzione per $ vC(t) $ ti chiedo: tu l'hai controllata quell'equazione differenziale
Sì, l'equazione differenziale era corretta, ma nell'andare a risolverla ho sbagliato ad inserire il valore del generatore (ho scritto 1 anziché $ 1/2 $ )
"RenzoDF":
PS: In questo caso particolare poi, non era necessario andare ad usare il circuito resistivo associato per ricavare le due equazioni differenziali
In realtà non è che mi fosse richiesto di usare il circuito resistivo equivalente. Dato che l'uso della trasformata di Laplace e l'approccio con il circuito resistivo equivalente sono due modi di procedere che in molti casi possono semplificare le cose, ho deciso di usarli entrambi per fare pratica.
"RenzoDF":
quei due autovalori potevano essere direttamente ottenuti dalle due costanti di tempo, ovvero
$ \lambda_1=-1/\tau_1=-R_d /L $
$ \lambda_2=-1/\tau_2=-1/(R_s C) $
dove $ R_d=2 \ \Omega\quad $ e $ \quad R_s=2 \ \Omega\quad $ sono le resistenze equivalenti "viste" rispettivamente dall'induttore e dal condensatore.
Intendi far agire un elemento dinamico alla volta, di fatto avendo un circuito RC ed uno RL, e calcolare la resistenza vista da induttore o condensatore (come se stessimo usando Thevenin o Norton)? Dai valori di $ \lambda $ riesco a risalire alle equazioni omogenee, ma mi mancano le informazioni sul generatore per avere le equazioni complete, no?
Avrei anche potuto considerare la rete come un doppio bipolo e, scrivendo la matrice ibrida, avrei ricavato le relazioni tra le grandezze di induttore e condensatore. Anche in questo caso però non avrei avuto il contributo del generatore nelle equazioni ricavate. Cosa non vedo?
"xh144fata":
... Sì, l'equazione differenziale era corretta, ...
Direi di no, visto che hai scritto
"xh144fata":
$ v'_C + \frac{v_C}{2} + \frac{I_g}{2} =0 $ .
Invece di
$ v'_C + \frac{v_C}{2} - \frac{I_g}{2} =0 $
"xh144fata":
... ho sbagliato ad inserire il valore del generatore (ho scritto 1 anziché $ 1/2 $ )...
Perché 1/2 ? ... il GIT eroga 1 ampere.
"xh144fata":
... Intendi far agire un elemento dinamico alla volta, di fatto avendo un circuito RC ed uno RL, e calcolare la resistenza vista da induttore o condensatore ? ...
Sì, visto che il GIC spento equivale ad un circuito aperto, le due parti risultano separate e quindi basta determinare la resistenza equivalente vista da L e da C.
"xh144fata":
... ma mi mancano le informazioni sul generatore per avere le equazioni complete, no? ...
No, se usi, come ti ho spiegato nel precedente messaggio, le soluzioni "a regime" determinate dallo stesso, ovvero vai a ricavare la risposta via somma dell'evoluzione transitoria con quella a regime.
"xh144fata":
... Avrei anche potuto considerare la rete come un doppio bipolo e, scrivendo la matrice ibrida, avrei ricavato le relazioni tra le grandezze di induttore e condensatore. Anche in questo caso però non avrei avuto il contributo del generatore nelle equazioni ricavate. Cosa non vedo?
Questa non l'ho capita, mi spieghi in dettaglio come andresti a procedere?
"RenzoDF":
Direi di no, visto che hai scritto
$ v'_C + \frac{v_C}{2} + \frac{I_g}{2} =0 $
Invece di
$ v'_C + \frac{v_C}{2} - \frac{I_g}{2} =0 $
Ho sbagliato ad inserire qui il segno, sul quaderno ho proprio quella che dici tu.
"RenzoDF":
Perché 1/2 ? ... il GIT eroga 1 ampere.
Il generatore eroga certamente 1 ampere, tuttavia nell'equazione ho $ \frac{I_{g}}{2} $ , mentre nei passaggi io non ho considerato la frazione (semplicemente non l'ho scritta, per cui a termine noto avevo 1).
"RenzoDF":
No, se usi, come ti ho spiegato nel precedente messaggio, le soluzioni "a regime" determinate dallo stesso, ovvero vai a ricavare la risposta via somma dell'evoluzione transitoria con quella a regime.
Ancora una volta hai ragione. Facendo i calcoli l'ennesima volta, con più attenzione, posso constatare che è così.
"RenzoDF":
Questa non l'ho capita, mi spieghi in dettaglio come andresti a procedere?
Preso il circuito resistivo associato, spengo il generatore indipendente. Uso le relazioni $ { ( i_C = h_{11}v_C + h_{12}i_L ),( v_L = h_{21}v_C + h_{22}i_L ):} $ per calcolare la matrice ibrida $ H=[ ( h_{11} , h_{12} ),( h_{21} , h_{22} ) ] $ . Se uso i valori ottenuti e sfrutto le equazioni caratteristiche, ho proprio le equazioni differenziali, che però non tengono conto del generatore. In questo caso, avrei
$ H=[ ( -\frac{1}{2} , 0),( 0, -2) ] $ e le equazioni differenziali $ { ( v'_C = -\frac{v_C}{2} ),( i'_L = -2i_L ):} $
Ha senso procedere in questo modo?
"xh144fata":
... Ha senso procedere in questo modo? ... che però non tengono conto del generatore
Sì, volendo complicare la via risolutiva
, puoi fare anche in quel modo, devi solo aggiungere i contributi del GIC, andando a ricavare la tensione e la corrente "equivalenti", relative alla sua presenza$[(i_C), (v_L)]=[ ( h_{11} , h_{12} ),( h_{21} , h_{22} ) ]\cdot [(v_C), (i_L)] +[(i_{eq}), (v_{eq})]$
"RenzoDF":
Sì, volendo complicare la via risolutiva
$ [(i_C), (v_L)]=[ ( h_{11} , h_{12} ),( h_{21} , h_{22} ) ]\cdot [(v_C), (i_L)] +[(i_{eq}), (v_{eq})] $
Ah, ed io che pensavo di fare una cosa buona
Direi allora che è il caso di continuare con questi due metodi, per il momento.
Ti ringrazio tantissimo per il tuo prezioso aiuto, Renzo
Determinare quei due contributi addizionali è comunque semplicissimo e quindi ti consiglio di completare anche quest'ultimo metodo.
"RenzoDF":
Determinare quei due contributi addizionali è comunque semplicissimo e quindi ti consiglio di completare anche quest'ultimo metodo.
Alla fine si tratta di fare gli stessi ragionamenti visti con il principio di sovrapposizione, no? Per determinare i contributi del generatore alla corrente $ i_C $ ed alla tensione $ v_L $ teniamo attivo solo $ I_g $ e spegnamo gli altri due (faccio riferimento alla rete resistiva associata). Quindi
$ i_(C,g) = \frac{R_2}{R_1 + R_2} I_g = \frac{I_g}{2} $ in quanto abbiamo un partitore di corrente nel quale vogliamo conoscere la corrente nel ramo di $ R_1 $
$ v_(L,g) = v_{R_4} = R_4 I_g = I_g $
che, inseriti nelle relazioni ottenute prima, ci restituiscono le equazioni differenziali che stavamo cercando.
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