[RISOLTO, Elettrotecnica] Perplessità su rete del terzo ordine
Ciao a tutti. Mi spiace di essere di nuovo qui, così presto, a chiedere aiuto ma spero di poter ricevere qualche chiarimento in merito all'esercizio che andrò ad inserire.
Come prima strada, ho scelto di svolgere l'alalisi della rete nel dominio di Laplace. La situazione diventa
considerando le condizioni iniziali. Per risolvere la rete, conviene usare il metodo delle maglie; per formare le maglie, prendo un albero del grafo della rete ed aggiungo un lato alla volta
Dunque ho le LKT $ { ( V_{C_1} - V_p = V_g ),( V_{C_1} + V_L - V_{C-2} = V_V ),( V_R + V_{C_2} = V_g - V_V):} $ , dove ho adottato la convenzione dell'utilizzatore per il generatore pilotato. Scritto in forma matriciale, il sistema di equazioni diventa
$ [ ( 1/s , -1/s , -1 ),( 1/s , -\frac{s^2 +2}{s} , -1/s ),( 0 , 1/s , \frac{s+1}{s} ) ] * [ ( m_1 ),( m_2 ),( m_3 ) ] = [ ( 2/s ),( 1/s ),( 1/s ) ] $
Poiché, ragionando in termini di impedenze ho $ { ( Z_{C_1}=Z_{C_2}= \frac{1}{s}),( Z_L = s ):} $ . Fin qui non credo ci sia nulla di anomalo, il problema è che continuando ottengo un risultato diverso da quello offerto dall'autore dell'esercizio. Come mai? La scelta del verso delle correnti che attraversano i componenti dovrebbe essere arbitraria, così come quella del verso delle correnti di maglia. Se è stato scelto un verso "sbagliato", alla fine si ottiene una corrente negativa ma non dovrebbe essere stravolto completamente il risultato. O sbaglio?
La corrente che attraversa il resistore, nel dominio di Laplace, dovrebbe essere $ I_R (s)= \frac{1}{s+1} $ , mentre quello che viene fuori dal sistema riportato poc'anzi è qualcosa del tipo $ I_R (s)= \frac{s}{s^2 + s+2} $ Qual è il problema?
Non avendo avuto fortuna con il metodo delle correnti di maglia, ho provato a svolgere l'esercizio nel dominio del tempo con l'impiego del circuito resistivo associato. Qui però le cose non sono andate molto meglio. Spiego i miei dubbi in questo caso: usando la sovrapposizione degli effetti, ho che agisce un generatore per volta (condensatori ed induttori sono stati sostituiti da generatori indipendenti).
Se prendiamo, ad esempio, il caso in cui agisca solo il generatore V_g
quanto valgono le correnti che attraversano i condensatori? Se la tensione ai capi del resistore è nulla, il generatore pilotato dovrebbe comportarsi come un cortocircuito, no? Allora nel resistore non dovrebbe proprio passare corrente, giusto?
Come prima strada, ho scelto di svolgere l'alalisi della rete nel dominio di Laplace. La situazione diventa
considerando le condizioni iniziali. Per risolvere la rete, conviene usare il metodo delle maglie; per formare le maglie, prendo un albero del grafo della rete ed aggiungo un lato alla volta
Dunque ho le LKT $ { ( V_{C_1} - V_p = V_g ),( V_{C_1} + V_L - V_{C-2} = V_V ),( V_R + V_{C_2} = V_g - V_V):} $ , dove ho adottato la convenzione dell'utilizzatore per il generatore pilotato. Scritto in forma matriciale, il sistema di equazioni diventa
$ [ ( 1/s , -1/s , -1 ),( 1/s , -\frac{s^2 +2}{s} , -1/s ),( 0 , 1/s , \frac{s+1}{s} ) ] * [ ( m_1 ),( m_2 ),( m_3 ) ] = [ ( 2/s ),( 1/s ),( 1/s ) ] $
Poiché, ragionando in termini di impedenze ho $ { ( Z_{C_1}=Z_{C_2}= \frac{1}{s}),( Z_L = s ):} $ . Fin qui non credo ci sia nulla di anomalo, il problema è che continuando ottengo un risultato diverso da quello offerto dall'autore dell'esercizio. Come mai? La scelta del verso delle correnti che attraversano i componenti dovrebbe essere arbitraria, così come quella del verso delle correnti di maglia. Se è stato scelto un verso "sbagliato", alla fine si ottiene una corrente negativa ma non dovrebbe essere stravolto completamente il risultato. O sbaglio?
La corrente che attraversa il resistore, nel dominio di Laplace, dovrebbe essere $ I_R (s)= \frac{1}{s+1} $ , mentre quello che viene fuori dal sistema riportato poc'anzi è qualcosa del tipo $ I_R (s)= \frac{s}{s^2 + s+2} $ Qual è il problema?
Non avendo avuto fortuna con il metodo delle correnti di maglia, ho provato a svolgere l'esercizio nel dominio del tempo con l'impiego del circuito resistivo associato. Qui però le cose non sono andate molto meglio. Spiego i miei dubbi in questo caso: usando la sovrapposizione degli effetti, ho che agisce un generatore per volta (condensatori ed induttori sono stati sostituiti da generatori indipendenti).
Se prendiamo, ad esempio, il caso in cui agisca solo il generatore V_g
quanto valgono le correnti che attraversano i condensatori? Se la tensione ai capi del resistore è nulla, il generatore pilotato dovrebbe comportarsi come un cortocircuito, no? Allora nel resistore non dovrebbe proprio passare corrente, giusto?
Risposte
"xh144fata":
... Non tenermi sulle spine
La semplificazione mi sembra di avertela già data, no?
"xh144fata":
... In questo caso, abbiamo dei generatori che dividono ancora una volta la rete in due. Quando possiamo dire che uno o più generatori rendono una rete scomponibile in più sottoreti? ...
Ovviamente dipende da come sono connessi e dalla loro tensione, in questo caso per esempio è immediato notare come i due GIT, essendo uguali ed opposti, annullino la tensione fra i nodi destro e sinistro; detti nodi possono essere quindi connessi e i due GIT sostituiti da un unico GIT. Avrai quindi un semplice circuito nel quale il generatore "vede" il resistore R in serie al parallelo fra L e C e di conseguenza sarà semplicissimo ricavare la funzione di trasferimento.
"xh144fata":
... Inoltre, se la rete viene spezzata da dei generatori è sempre degenere? ...
Qui di degenere non c'è nulla. Quando una rete viene "spezzata" in due (anche se in questo caso le due parti sono collegate dalle connessioni con la tensione pilota), l'essere o il non essere degenere sarà relativo alle singole parti.
In questo caso per esempio, applicando la regola già indicata, non è degenere ne l'una ne l'altra e quindi entrambe sono di ordine 2.
"xh144fata":
... Come mai non ti convince? L'esercizio è stato preso dalla solita raccolta e coincide con la soluzione proposta dall'autore. Guardando sempre le LKT, ho che le tensioni ai capi di C2 e L2 sono uguali in modulo ma di segno opposto. ...
Il segno dipende dalle convenzioni scelte, e quella vC(s) non mi convince per quello che ti ho già detto, ovvero che siamo in presenza di una semplice serie fra R e il parallelo LC.
"xh144fata":
... Il circuito che ho riportato l'ho "disegnato" su circuitlab, quindi le scelte particolari dell'unità di misura o sui collegamenti non sono dovute a preferenze mie
Ok, ma spero che tu sapresti disegnarlo correttamente, no?
"RenzoDF":
Ovviamente dipende da come sono connessi e dalla loro tensione, in questo caso per esempio è immediato notare come i due GIT, essendo uguali ed opposti, annullino la tensione fra i nodi destro e sinistro; detti nodi possono essere quindi connessi e i due GIT sostituiti da un unico GIT. Avrai quindi un semplice circuito nel quale il generatore "vede" il resistore R in serie al parallelo fra L e C e di conseguenza sarà semplicissimo ricavare la funzione di trasferimento.
Di nuovo grazie per la completezza delle tue spiegazioni
"RenzoDF":
Qui di degenere non c'è nulla. Quando una rete viene "spezzata" in due (anche se in questo caso le due parti sono collegate dalle connessioni con la tensione pilota), l'essere o il non essere degenere sarà relativo alle singole parti.
In questo caso per esempio, applicando la regola già indicata, non è degenere ne l'una ne l'altra e quindi entrambe sono di ordine 2.
Colpa mia, da quando mi hai fatto conoscere queste benedette reti degeneri, appena vedo più elementi dinamici vado in allarme
"RenzoDF":
Il segno dipende dalle convenzioni scelte, e quella vC(s) non mi convince per quello che ti ho già detto, ovvero che siamo in presenza di una semplice serie fra R e il parallelo LC.
Utilizzando lo stesso metodo dell'autore (potenziali nodali), sono arrivato allo stesso suo risultato. Proverò con un altro approccio.
"RenzoDF":Beh, dipende. Se intendi il disegno con un software di simulazione, ho solo un po' di familiarità con PSpice. E' una delle cose su cui devo lavorare
Ok, ma spero che tu sapresti disegnarlo correttamente, no?
"xh144fata":
... Utilizzando lo stesso metodo dell'autore (potenziali nodali), sono arrivato allo stesso suo risultato. Proverò con un altro approccio.
Lascia stare, errore mio
, continuavo a pensare alla funzione di trasferimento [nota]In quanto sono abituato a ricavare per prima cosa gli autovalori.[/nota], ovvero alla sola risposta forzata, dimenticandomi dell'evoluzione libera della sottorete, ovvero del contributo delle condizioni iniziali. 
Riassumendo: per la soluzione, dopo aver rimosso dalla rete la sua inutile parte superiore e, come già detto, connesso il nodo destro a quello sinistro, il circuito da studiare è semplicemente costituito da un GIT (Vg), collegato alla serie di R con il parallelo fra L e C ma, in parallelo al condensatore dobbiamo considerare anche il generatore di corrente che rappresenta la sua condizione iniziale, visto che \(v_C(0)\ne 0 \ \) [nota]Non dobbiamo invece considerare il generatore di tensione in serie a L, in quanto la \(i_L(0)=0\).[/nota].
A questo punto, da questa rete supersemplificata, per ottenere \(V_C(s)\), vista la presenza di un solo nodo, possiamo applicare Millman e scrivere direttamente
$V_C(s)=(-1/s+1)/(1+1/s+s)=(s-1)/(s^2+s+1)$
Non serve nessun altro calcolo; semplice no?
"xh144fata":
... mi piacerebbe sapere se c'è un approccio che possa rendere più agevole il raggiungimento della soluzione.
Più agevole di così si muore, non credi?
"xh144fata":
... Se intendi il disegno con un software di simulazione, ...
No, intendevo chiederti come lo avresti disegnato tu, con carta e penna.
"RenzoDF":
Lascia stare, errore mio
Di solito l'analisi di una rete la inizi calcolando la funzione di trasferimento?
"RenzoDF":
Riassumendo: per la soluzione, dopo aver rimosso dalla rete la sua inutile parte superiore e, come già detto, connesso il nodo destro a quello sinistro, il circuito da studiare è semplicemente costituito da un GIT (Vg) [...]
Non serve nessun altro calcolo; semplice no?
No, messa in questi termini no. Grazie per la chiarezza
"RenzoDF":
No, intendevo chiederti come lo avresti disegnato tu, con carta e penna.
Con carta e penna l'avrei disegnato così
Ho solo un ultimo dubbio, dopodiché chiudo. Non voglio abusare ulteriormente della tua pazienza
Quando, nel dominio del tempo, vado a studiare il circuito arrivo all'equazione $ v_{C_1}'' + v_{c_1}' + v_{C_1} = V_g' rarr v_{C_1}'' + v_{c_1}' + v_{C_1} = 0 $ Che ha l'aspetto di quella giusta, tuttavia dev'esserci qualcosa che non va. Le equazioni di primo grado da cui parto sono $ { ( i_{c_1} = - v_{C_1} - V_g - i_{L_1} ),( v_{L_1} = v_{C_1} ):} $ e pertanto le condizioni iniziali necessarie per l'equazione di ordine 2 dovrebbero essere $ { ( v_{C_1} (0^-) = 1),( v'_{C_1} (0^+) = i_{C_1} (0^+) = -v_{C_1}(0^+) - V_g =-2 ):} $ . Ovviamente i conti non tornano. Dov'è che sbaglio esattamente?
"xh144fata":
... Di solito l'analisi di una rete la inizi calcolando la funzione di trasferimento? ...
Dipende; il mio scopo generalmente è andare a determinare gli autovalori (in quanto spesso sono portato a risolvere nel dominio del tempo), per far questo ci sono diverse modalità e il discorso sarebbe lungo.
Per questa rete li posso per esempio determinare dalle radici del denominatore della funzione di trasferimento, ma anche semplicemente uguagliando a zero l'impedenza "vista" dal generatore.
Determinati gli autovalori, in questo caso due, complessi coniugati, avrei potuto scrivere i modi di evoluzione della rete, scrivendo la risposta come combinazione lineare degli stessi, per poi ricavarmi le due costanti dalle condizioni iniziali; in questo caso dalla vC(0+) e dalla iC(0+).
Io ti consiglierei di provare anche questo metodo risolutivo, per andare ad ottenere la vC(t).
"xh144fata":
... No, messa in questi termini no. Grazie per la chiarezza
Io sarei proprio curioso di sapere quale sia stata la metodologia risolutiva ufficiale, non vorrei che il testo sia andato ad utilizzare il metodo dei potenziali nodali, considerando tutti e tre i nodi, perché avrebbe fatto una gran sciocchezza.
"xh144fata":
... Ho solo un ultimo dubbio, ...Quando, nel dominio del tempo, vado a studiare il circuito arrivo all'equazione $ v_{C_1}'' + v_{c_1}' + v_{C_1} = V_g' rarr v_{C_1}'' + v_{c_1}' + v_{C_1} = 0 $ Che ha l'aspetto di quella giusta,... Ovviamente i conti non tornano. Dov'è che sbaglio esattamente?
Vedo che mi hai anticipato seguendo il consiglio che qui ti stavo dando ma, perché "i conti non tornano"?
"RenzoDF":Della funzione di trasferimento, al momento, so poco a parte la definizione. Era uno degli strumenti che avevo in programma di andare a studiare, dato che pare se ne faccia largo uso.
Io ti consiglierei di provare anche questo metodo risolutivo, per andare ad ottenere la vC(t).
"RenzoDF":
Io sarei proprio curioso di sapere quale sia stata la metodologia risolutiva ufficiale, non vorrei che il testo sia andato ad utilizzare il metodo dei potenziali nodali, considerando tutti e tre i nodi, perché avrebbe fatto una gran sciocchezza.
L'autore ha raggruppato le impedenze sul ramo superiore, risolvendo il circuito
"RenzoDF":Sto cercando di svolgere le analisi sia nel dominio del tempo che in quello di Laplace per ogni esercizio, dovendo fare pratica in entrambi i casi. Quello che non mi fa tornare i conti sono le soluzioni iniziali
Vedo che mi hai anticipato seguendo il consiglio che qui ti stavo dando ma, perché "i conti non tornano"?
"xh144fata":
Quando, nel dominio del tempo, vado a studiare il circuito arrivo all'equazione $ v_{C_1}'' + v_{c_1}' + v_{C_1} = V_g' rarr v_{C_1}'' + v_{c_1}' + v_{C_1} = 0 $ Che ha l'aspetto di quella giusta, tuttavia dev'esserci qualcosa che non va. Le equazioni di primo grado da cui parto sono $ { ( i_{c_1} = - v_{C_1} - V_g - i_{L_1} ),( v_{L_1} = v_{C_1} ):} $ e pertanto le condizioni iniziali necessarie per l'equazione di ordine 2 dovrebbero essere $ { ( v_{C_1} (0^-) = 1),( v'_{C_1} (0^+) = i_{C_1} (0^+) = -v_{C_1}(0^+) - V_g =-2 ):} $ . Ovviamente i conti non tornano. Dov'è che sbaglio esattamente?
"xh144fata":
... L'autore ha raggruppato le impedenze sul ramo superiore, risolvendo il circuito ...
Incredibile; quella si chiama complicazione degli affari semplici.
... e quindi ci saranno stati parecchi passaggi (inutili) per arrivare alla Vc(s), quando bastava la semplice relazione che ti ho scritto, ottenuta dalla semplice "ispezione della rete" ... e hanno pure introdotto due inutili variabili Ix e Iy, tanto per complicare ancor più le cose.
"RenzoDF":
Incredibile; quella si chiama complicazione degli affari semplici.
Beh, considera che la raccolta di esercizi è rivolta a degli studenti. Presumibilmente, lo scopo dell'autore è quello di far acquisire allo studente una certa sicurezza nell'utilizzo dei metodi di analisi "che funzionano sempre". La tua "ispezione" della rete sicuramente si baserà sull'esperienza che hai accumulato nel tempo, oltre che ad una certa elasticità mentale che non ci si può aspettare da chi è alle prime armi.
Giusto per completare il metodo nel dominio del tempo, andando anche a rispondere alla tua ultima domanda, partendo, per esempio, dalle due equazioni differenziali del primo ordine da te indicate, in alternativa alla determinazione dell'equazione del secondo ordine (in questo caso un passaggio semplice, ma spesso non è così), ricavo la matrice dinamica del sistema
\( A=\begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
\ \ \ 1 & \ \ 0
\end{bmatrix}\)
ottengo i due autovalori [nota]Che come detto potrebbero anche essere ottenuti da una funzione di trasferimento, per esempio andando ad uguagliare a zero l'impedenza vista dal generatore e, generalizzando, spenti i generatori indipendenti, e "tagliata" in due la rete, uguagliando a zero la somma delle due impedenze "viste" a destra e a sinistra del taglio.[/nota] $\lambda_i$ dalla
\( \text{det}(\lambda I-A)=0\)
scrivo la soluzione come
$v_C(t)=k_1 e^{\lambda_1 t}+ k_2 e^{\lambda_1 t}$
ovvero
$v_C(t)=e^{-t/2}(k_1 \cos(\sqrt{3}/2 t)+ k_2 \sin(\sqrt{3}/2 t))$
e determino le due costanti $k_i$ dalle due condizioni iniziali, da te correttamente indicate
$v_C(0^+)=1\quad ,i_C(0^+)=-2$
\( A=\begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
\ \ \ 1 & \ \ 0
\end{bmatrix}\)
ottengo i due autovalori [nota]Che come detto potrebbero anche essere ottenuti da una funzione di trasferimento, per esempio andando ad uguagliare a zero l'impedenza vista dal generatore e, generalizzando, spenti i generatori indipendenti, e "tagliata" in due la rete, uguagliando a zero la somma delle due impedenze "viste" a destra e a sinistra del taglio.[/nota] $\lambda_i$ dalla
\( \text{det}(\lambda I-A)=0\)
scrivo la soluzione come
$v_C(t)=k_1 e^{\lambda_1 t}+ k_2 e^{\lambda_1 t}$
ovvero
$v_C(t)=e^{-t/2}(k_1 \cos(\sqrt{3}/2 t)+ k_2 \sin(\sqrt{3}/2 t))$
e determino le due costanti $k_i$ dalle due condizioni iniziali, da te correttamente indicate
$v_C(0^+)=1\quad ,i_C(0^+)=-2$
"RenzoDF":Siamo completamente d'accordo, è proprio quello che ottenevo io. L'errore che facevo era nel calcolo numerico di $ v_{C_1} (t) $ . Mi spiego meglio. Usando Laplace, il risultato (dopo la conversione) è $ v_{C_1} (t) =2e^{-\frac{t}{2}} cos(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{pi}{3}) $ , mentre nel dominio del tempo ho $ v_{C_1} (t) =e^{-\frac{t}{2}} [cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) - \sqrt{3}sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)] $ . Ho fatto confusione nel controllare se i due risultati coincidessero
Giusto per completare il metodo nel dominio del tempo[...]
Per quanto riguarda l'uso della funzione di trasferimento, grazie per aver menzionato la possibilità, però devo andarmela a studiare per bene per poterti seguire. A tal proposito, sto leggendo il libro "Linear circuit transfer functions" di Christophe P. Basso (nel quale si parla anche delle reti degeneri).
Grazie mille per il tuo prezioso aiuto, Renzo
"xh144fata":
... A tal proposito, sto leggendo il libro "Linear circuit transfer functions" di Christophe P. Basso (nel quale si parla anche delle reti degeneri).
Christophe, con il quale anni fa ho avuto diversi contatti via rete è davvero un Grande, come i suoi testi, una persona gentilissima e disponibilissima.
"RenzoDF":Ho scoperto questo testo un po' per caso. Proprio l'autore, attivo su un forum scientifico, faceva riferimento al suo libro nel rispondere ad una domanda. La tua opinione positiva mi fa ben sperare
Christophe, con il quale anni fa ho avuto diversi contatti via rete è davvero un Grande, come i suoi testi, una persona gentilissima e disponibilissima.
Su quel testo avrai anche la possibilità di arricchire il tuo arsenale risolutivo con un teorema a me particolarmente caro, ovvero l'Extra Element Theorem.
"RenzoDF":
Su quel testo avrai anche la possibilità di arricchire il tuo arsenale risolutivo con un teorema a me particolarmente caro, ovvero l'Extra Element Theorem.
Ne ho sentito parlare la prima volta dal tuo omonimo su ElectroYou, quando consigliava un libro proprio su questo teorema
ti capita di usarlo molto?
"xh144fata":
... ti capita di usarlo molto?
Beh, ultimamente non uso molto nessun metodo, ma diciamo che a volte, conoscere l'EET, è come avere un asso nella manica.
"RenzoDF":
Beh, ultimamente non uso molto nessun metodo, ma diciamo che a volte, conoscere l'EET, è come avere un asso nella manica.
Se è così, appena avrò la possibilità, cercherò di studiarlo come si deve
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