[RISOLTO] circuito da risolvere con metodo Nodi
Il circuito si trova al seguente indirizzo:
http://www.flickr.com/photos/20995287@N07/
Voglio risolverlo con il metodo nodi. (SO CHE CON IL METODO MAGLIE VIENE SUBITO)
1)Ho preso come nodo di riferimento il nodo 4 (collegato a terra).
Questi sn i dati
$R_1=1/2; \ \ R_3=1; \ \ R_4=1/3; \ \ R_5=1; \ \ V_{g2}=2; \ \ V_{g6}=1 $
I generatori di tensione sono indip.
Le incognite sono le correnti e le tensioni di ciascun ramo, in particolare m'interessano $i_{x2}, \ \ i_{x6}$ .
2) ho chiamato gli altri nodi $e_1, \ \ e_2, \ \ e_3, \ \ e_5 $.
3) $e_3=V_{g6}$ perchè coincide con il morsetto positivo del generatore $V_{g6}$
4) $e_2-e_1=V_{g2}$ per la presenza, in quel ramo, del generatore V_g2.
5) Scrivo il seguente sistema: 5 eqz nelle 5 incognite $e_1, \ \ e_2, \ \ e_5, \ \ i_{x2}, \ \ i_{x6}$
$ [[G_1e_1 =-i_{x2}],[(G_4+G_5)e_2 -G_3e_5 - G_4e_3= i_{x2} ],[-G_4e_2+G_4e_3=i_{x6}],[(G_1+G_3+G-5)e_5 -G_3e_2-G_1e_1=0],[e_2-e_1=2]]. $
6) Sostituendo i valori noti ottengo
$[[e_2-e_1=2],[2e_1=-i_{x2}],[4e_2-e_5-3=i_{x2}],[-3e_2+3=i_{x6}],[4e_5-e2-2e_1=0]] $
Purtroppo andando a risolvere ottengo $i_{x2}=12/7$ invece di 22/15
http://www.flickr.com/photos/20995287@N07/
Voglio risolverlo con il metodo nodi. (SO CHE CON IL METODO MAGLIE VIENE SUBITO)
1)Ho preso come nodo di riferimento il nodo 4 (collegato a terra).
Questi sn i dati
$R_1=1/2; \ \ R_3=1; \ \ R_4=1/3; \ \ R_5=1; \ \ V_{g2}=2; \ \ V_{g6}=1 $
I generatori di tensione sono indip.
Le incognite sono le correnti e le tensioni di ciascun ramo, in particolare m'interessano $i_{x2}, \ \ i_{x6}$ .
2) ho chiamato gli altri nodi $e_1, \ \ e_2, \ \ e_3, \ \ e_5 $.
3) $e_3=V_{g6}$ perchè coincide con il morsetto positivo del generatore $V_{g6}$
4) $e_2-e_1=V_{g2}$ per la presenza, in quel ramo, del generatore V_g2.
5) Scrivo il seguente sistema: 5 eqz nelle 5 incognite $e_1, \ \ e_2, \ \ e_5, \ \ i_{x2}, \ \ i_{x6}$
$ [[G_1e_1 =-i_{x2}],[(G_4+G_5)e_2 -G_3e_5 - G_4e_3= i_{x2} ],[-G_4e_2+G_4e_3=i_{x6}],[(G_1+G_3+G-5)e_5 -G_3e_2-G_1e_1=0],[e_2-e_1=2]]. $
6) Sostituendo i valori noti ottengo
$[[e_2-e_1=2],[2e_1=-i_{x2}],[4e_2-e_5-3=i_{x2}],[-3e_2+3=i_{x6}],[4e_5-e2-2e_1=0]] $
Purtroppo andando a risolvere ottengo $i_{x2}=12/7$ invece di 22/15
Risposte
La scelta migliore per il riferimento è senz'altro il nodo 5, perchè è collegato direttamente a tutti i generatori indipendenti.
Ribattezzo il nodo 2 come $A$. La tensione tra il riferimento e $A$ sia $v_A$. Per trovare $v_A$ esistono due procedimenti.
1) Applicare la legge dei nodi (LKC) al nodo $A$: si ottiene
$(v_A-V_2)/R_1+v_A/R_3+(v_A-V_6)/(R_4+R_5)=0$,
da cui $v_A=19/15V$.
2) Applicare al circuito binodale l'elegante teorema di Milman, da cui
$v_A=(sum_k G_k E_k)/(sum_k G_k)=(V_2/R_1+V_6/(R_4+R_5))/(1/R_1+1/R_3+1/(R_4+R_5))=19/15V$.
Trovata $v_A$, i giochi sono fatti. Ad esempio, la corrente $i_(x2)=(V_2-v_A)/R_1=22/15A$,
mentre $i_(x6)=(V_6-v_A)/(R_4+R_5)=-1/5A$.
Ribattezzo il nodo 2 come $A$. La tensione tra il riferimento e $A$ sia $v_A$. Per trovare $v_A$ esistono due procedimenti.
1) Applicare la legge dei nodi (LKC) al nodo $A$: si ottiene
$(v_A-V_2)/R_1+v_A/R_3+(v_A-V_6)/(R_4+R_5)=0$,
da cui $v_A=19/15V$.
2) Applicare al circuito binodale l'elegante teorema di Milman, da cui
$v_A=(sum_k G_k E_k)/(sum_k G_k)=(V_2/R_1+V_6/(R_4+R_5))/(1/R_1+1/R_3+1/(R_4+R_5))=19/15V$.
Trovata $v_A$, i giochi sono fatti. Ad esempio, la corrente $i_(x2)=(V_2-v_A)/R_1=22/15A$,
mentre $i_(x6)=(V_6-v_A)/(R_4+R_5)=-1/5A$.
l'ho risolto, ma nn come dici tu anche perchè il teor di Milman non l'abbiamo neanche studiato e nn è pervisto nel corso.
però non mi pare che il nodo 5 sia connesso direttamente ai 2 generatori indip di tensione.
io facevo l'errore di aggiungere un'eqz per il nodo 3 ritrovandomi $i_{x6}$ come incognita in più.
ho riscritto le eqz di eqilibrio ai nodi (LKC) in questo modo
(nodo 1) $ (e_1-e_5)G_1+i_{x2}=0$
(nodo 2) $ (e_2-e_3)G_4+(e_2-e_5)G_3-i_{x2}=0$
(nodo 3) $ e_3=V_{g6}$
(nodo 5) $ (e_5-0)G_5+(e_5-e_2)G_3+(e_5-e_1)G_1=0$
(eqz vincolo) $ e_1-e_2=-V_{g2}$
ho sostituito i valori noti tenendo presente che $G_i=1/R_i$.
Ho risolto nelle incognite $e_1, \ e_2, \ e_3, \ e_5, \i_{x2}$
Così ho trovato $i_{x2}=22/15$ che è il risultato corretto da cui poi ho ricavato tutto il resto.
Grazie cmq per il tuo aiuto.
però non mi pare che il nodo 5 sia connesso direttamente ai 2 generatori indip di tensione.
io facevo l'errore di aggiungere un'eqz per il nodo 3 ritrovandomi $i_{x6}$ come incognita in più.
ho riscritto le eqz di eqilibrio ai nodi (LKC) in questo modo
(nodo 1) $ (e_1-e_5)G_1+i_{x2}=0$
(nodo 2) $ (e_2-e_3)G_4+(e_2-e_5)G_3-i_{x2}=0$
(nodo 3) $ e_3=V_{g6}$
(nodo 5) $ (e_5-0)G_5+(e_5-e_2)G_3+(e_5-e_1)G_1=0$
(eqz vincolo) $ e_1-e_2=-V_{g2}$
ho sostituito i valori noti tenendo presente che $G_i=1/R_i$.
Ho risolto nelle incognite $e_1, \ e_2, \ e_3, \ e_5, \i_{x2}$
Così ho trovato $i_{x2}=22/15$ che è il risultato corretto da cui poi ho ricavato tutto il resto.
Grazie cmq per il tuo aiuto.
Immaginavo che non conoscessi il teorema, infatti l'ho presentato come metodo alternativo.
Quanto ai generatori, se sono in serie con una o più resistenze puoi spostarli prima, dopo, in
mezzo a queste, perchè non cambia nulla in termini di legge della maglia (LKT).
In genere con circuiti come questo conviene trovare la tensione $v_A$ perchè come vedi
permette di risparmiare la risoluzione di sistemi lineari chilometrici in cui è facile sbagliare.
Ciao.
Quanto ai generatori, se sono in serie con una o più resistenze puoi spostarli prima, dopo, in
mezzo a queste, perchè non cambia nulla in termini di legge della maglia (LKT).
In genere con circuiti come questo conviene trovare la tensione $v_A$ perchè come vedi
permette di risparmiare la risoluzione di sistemi lineari chilometrici in cui è facile sbagliare.
Ciao.
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