Ricerca dei punti di emergenza/convergenza di un sistema
Ciao a tutti!
Sto studiando la ricerca del luogo delle radici e mi è sorto un dubbio.
Sappiamo che per cercare i punti di emergenza e convergenza del luogo, cioè quei punti in cui due rami si dividono o si uniscono sull'asse reale, dobbiamo calcolare gli $s$ tale che:
$\frac{dG(s)}{ds} = 0$
Però potrebbe capitare che il polinomio derivato non sia divisibile. Ad esempio:
$s^3 + 2s^2+s+1=0$
In questi casi come trovo le soluzioni dell'equazione?
Grazie
Giulio
Sto studiando la ricerca del luogo delle radici e mi è sorto un dubbio.
Sappiamo che per cercare i punti di emergenza e convergenza del luogo, cioè quei punti in cui due rami si dividono o si uniscono sull'asse reale, dobbiamo calcolare gli $s$ tale che:
$\frac{dG(s)}{ds} = 0$
Però potrebbe capitare che il polinomio derivato non sia divisibile. Ad esempio:
$s^3 + 2s^2+s+1=0$
In questi casi come trovo le soluzioni dell'equazione?
Grazie
Giulio
Risposte
ruffini?
Ma nè con $+1$ nè con $-1$, che sono i due divisori del termine noto, riesco a trovare una soluzione...
Premetto che sono molto arrugginito con il luogo delle radici!
Se uno lascia stare la fonte, in teoria una equazione di 3° grado può essere risolta con il metodo del cardano. Però è poco pratico e solitamente si cercano altri stratagemmi.
In particolare, questo problema che poni, è preso dal testo di un esercizio o lo stavi chiedendo per curiosità?
Se uno lascia stare la fonte, in teoria una equazione di 3° grado può essere risolta con il metodo del cardano. Però è poco pratico e solitamente si cercano altri stratagemmi.
In particolare, questo problema che poni, è preso dal testo di un esercizio o lo stavi chiedendo per curiosità?
No, per curiosità...
Comunque per altre fonti ho trovato che in questi casi bisogna fare la taratura del luogo, scegliendo dei poli $\overline{s}$ di prova tra i punti del luogo che stanno sull'asse reale e ricavando i valori del guadagno $K$ corrispondenti (tramite la formula $K=-\frac{1}{|G(\overline{s})|})$. Per i $K$ che sono maggiori o minori locali $\overline{s}$ sarà un punto di emergenza o convergenza....che ne pensi?
Comunque per altre fonti ho trovato che in questi casi bisogna fare la taratura del luogo, scegliendo dei poli $\overline{s}$ di prova tra i punti del luogo che stanno sull'asse reale e ricavando i valori del guadagno $K$ corrispondenti (tramite la formula $K=-\frac{1}{|G(\overline{s})|})$. Per i $K$ che sono maggiori o minori locali $\overline{s}$ sarà un punto di emergenza o convergenza....che ne pensi?
mmm, sì interessante! Ad intuito torna, non me la avevano insegnata questa tecnica.
Altrimenti, come facciamo spesso noi ingegneri, si passa ai metodi numerici
Altrimenti, come facciamo spesso noi ingegneri, si passa ai metodi numerici
E dato che sto studiando ingegneria, quali sarebbero questi metodi numerici?
Comunque ho sbagliato. La formula di $K$ è $K=\frac{1}{|G(s)|}$ perchè si estrae il modulo (e quindi $K$ non può essere negativo).
Comunque ho sbagliato. La formula di $K$ è $K=\frac{1}{|G(s)|}$ perchè si estrae il modulo (e quindi $K$ non può essere negativo).
I metodi numerici sono algoritmi che cercano una soluzione approssimata. Finché si studia, per fare uno scritto, ovviamente ci danno da fare dei casi risolvibili analiticamente in forma chiusa... ma nella realtà si risolve ben poco in forma chiusa.
Di conseguenza ci sono algoritmi ad-hoc per vari tipi di problemi, che vengono studiati o accennati negli esami di analisi e calcolo numerico.
Nel tuo caso tipicamente si userebbero gli algoritmi di ricerca degli zeri. Questo è implementato in matlab dal comando "roots"[/code]
Di conseguenza ci sono algoritmi ad-hoc per vari tipi di problemi, che vengono studiati o accennati negli esami di analisi e calcolo numerico.
Nel tuo caso tipicamente si userebbero gli algoritmi di ricerca degli zeri. Questo è implementato in matlab dal comando "roots"[/code]
ottimo! buono a sapersi
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