Ricavare un segnale dai coefficienti di Fourier

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4 apr 2012, 18:43

Si scriva l'espressione nel dominio del tempo del segnale $\displaystyle x(t) $ reale periodico con pulsazione fondamentale $\displaystyle \omega_0=3 $ che ha come coefficienti della serie trigonometrica di Fourier:

$\displaystyle a_0=2 $
$\displaystyle a_1=0 $
$\displaystyle a_2=0.3 $
$\displaystyle a_3=2 $
$\displaystyle b_1=b_2=b_3=0 $

Questo è l'esercizio e non so bene come risolverlo. Ho iniziato così:

$\displaystyle S_f[x(t)]=a_0+\sum_{n=1}^3{[a_n cos(\omega_0nt)+b_n sin(\omega_0nt)]} $

scrivo i valori di frequenza periodo e pulsazione quindi:

$\displaystyle f_0=\frac{3}{2\pi} $

$\displaystyle T_0=\frac{2}{3}\pi $

$\displaystyle \omega_0=3 $

quindi i coefficienti di Fourier hanno espressione:

$\displaystyle a_0=\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t) dt} $

$\displaystyle a_n=\frac{3}{2\pi}\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t)cos(3nt) dt} $

$\displaystyle b_n=\frac{3}{2\pi}\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t)sen(3nt) dt} $

quindi applicando le condizioni,

per quanto riguarda il coefficiente $\displaystyle a_0 $ ho:

$\displaystyle \int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t) dt}=2 $

per quanto riguarda i coefficienti $\displaystyle a_1 , a_2 , a_3 $ ho:

$\displaystyle \frac{3}{2\pi}\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t)cos(3t) dt}=0 $

$\displaystyle \frac{3}{2\pi}\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t)cos(6t) dt}=0.3 $

$\displaystyle \frac{3}{2\pi}\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t)cos(9t) dt}=2 $

e per i coefficienti $\displaystyle b_1 , b_2 , b_3 $ ho:

$\displaystyle \frac{3}{2\pi}\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t)sen(3t) dt}=0 $

$\displaystyle \frac{3}{2\pi}\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t)sen(6t) dt}=0 $

$\displaystyle \frac{3}{2\pi}\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}{x(t)sen(9t) dt}=0 $

Come procedere per trovare $\displaystyle x(t) $?!