Ricavare formula entropia gas ideale

[del_ta]

Ciao tutti, su un eserciziario ho trovato delle formule per trovare la ds per un gas ideale. Qualcuno mi può spiegare da dove sono state ricavate?
Le formule sono queste $ ds=cv(dT)/T+R(dv)/v $ e $ ds=cp(dT)/T-R(dp)/p $

[donald_zeka]

$ds=(deltaq)/T$

$du=deltaq-deltal$

[del_ta]

"Vulplasir":$ds=(deltaq)/T$

$du=deltaq-deltal$

potresti ricavarmi ad esempio la formula con cv? perchè proprio non riesco! Grazie intanto!

[mdonatie]

ricordando che $H=H(T,p)$ e $U=U(T,V)$, descritte dalla relazione
$dU=\deltaQ-pdV$
$dH=dU+d(pV)$
partendo dai bilanci di materia, trascurando energia cinetica e potenziale del sistema...
$dU=\deltaQ+\deltaL_m+\sum_(i=1)^(N)\hatH_idM_i-\sum_(i=N+1)^(N+M)\hatH_idM_i-pdV$

$dS=(\deltaQ)/T+dS_g +\sum_(i=1)^(N)\hatS_idM_i-\sum_(i=N+1)^(N+M)\hatS_idM_i$

generalizzando ad un sistema stazionario, all' equilibrio e privo di organi meccanici...

$dU=\deltaQ-pdV$
$dS=\deltaQ/T$

allora per la seconda equazione $\deltaQ=TdS$, quindi...

$dU=TdS-pdV$
e se aggiungiamo il termine $d(pV)$...
$dU+d(pV)=TdS-pdV+d(pV)$ $rarr$ $dH=TdS+Vdp$

poiché $S$ e $U$ sono funzioni di stato del sistema, possiamo differenziare come
$dS=((\partialS)/(\partialT))_VdT+((\partialS)/(\partialV))_TdV$
$dU=T[((\partialS)/(\partialT))_VdT+((\partialS)/(\partialV))_TdV]-pdV$
riarrangiando...
$dU=T((\partialS)/(\partialT))_VdT+[T((\partialS)/(\partialV))_T-p]dV$

dopodiché effettuando delle considerazioni sulle altre funzioni di stato e utilizzando il teorema di Schwartz per trovare delle uguaglianze si ricava che $((\partialS)/(\partialV))_T=((\partialp)/(\partialT))_V$
quindi il differenziale di energia interna si può riscrivere come
$dU=T((\partialS)/(\partialT))_VdT+[T((\partialp)/(\partialT))_V-p]_TdV$

ecco, abbiamo finito

ora riconducendo questo differenziale sviluppato con il differenziale $dU=((\partialU)/(\partialT))_VdT+((\partialU)/(\partialV))_TdV$

possiamo asserire che:
$((\partialU)/(\partialT))_V=T((\partialS)/(\partialT))_V$ e $((\partialU)/(\partialV))_T=[T((\partialp)/(\partialT))_V-p]_T$

dove il termine differenziale $((\partialU)/(\partialT))_V=c_V$ non è altro che la definizione del calore specifico a volume costante.

Quindi possiamo scrivere nel caso dei gas perfetti (eliminando il differenziale parziale, poiché il secondo termine è identicamente nullo)
$c_V=T(dS)/(dT)$ $rarr$ $(c_VdT)/T=dS$

lo stesso procedimento viene considerato per determinare il calore specifico a pressione costante attraverso il differenziale di entalpia.

[donald_zeka]

Ovviamente non c'è bisogno di tutto quel poema scritto da mdonatie, che non c'entra nulla con la domanda, ma la cosa è abbastanza semplice:

$ds=(deltaq)/T=(du+deltal)/T=(c_vdT+Pdv)/T=c_v(dT)/T+P/Tdv=c_v(dT)/T+R(dv)/v$

L'altra formula si ricava da $c_p-c_v=R$

[mdonatie]

Perché non centra nulla?
ho solo dimostrato da dove usciva il calore specifico facendo riferimento alle definizioni e alle ipotesi.
Se ritieni giusto dettagliare una risposta senza ipotesi e definizioni, ok.
Però non sminuire la mia risposta, volevo solamente essere utile.

[donald_zeka]

Penso che l'utente con "ricavare la formula con $c_v$" intendesse ricavare quella formula che ho scritto io, non ricavare da dove uscisse il calore specifico, per questo ho detto che non centra nulla

[del_ta]

Grazie mille ragazzi! Gentilissimi!