Reti Logiche - Teoremi e proprietà (algebra booleana)

[giorgione1]

Un saluto a tutti i frequentatori.

Mi sto imbattendo in un esercizio di semplificazione di un'espressione booleana:

$(a+b)(\bar a+c)=$

Sicuramente si applicherà il teorema d'assorbimento, però in che modo e soprattutto qual è il risultato???

Anticipatamente ringrazio chiunque volesse aiutarmi.

[RenzoDF]

Prova intanto a sviluppare quel prodotto logico.

[giorgione1]

$(a+b)(\bar a+c)=0+ac+\bar a b+bc$

...e qui non so più che pesci prendere...

[RenzoDF]

"giorgione":...e qui non so più che pesci prendere...

Ora, visti i due primi termini in $a$ e $\bar a$, dovresti cercare di scomporre anche l'ultimo termine nelle sue due parti relative ad $a$ e $\bar a$.

Si tratta di un teorema importante, ma nel suddetto modo, ricavandoti la sua dimostrazione, poi non te lo dimentichi più.

[giorgione1]

scusami, ma non ho capito. Come termine in fondo io ho $\bar a b+bc$ al massimo potrei mettere in evidenza la b, ma poi non ne esco...

[RenzoDF]

Intendevo dire che il termine $bc$, come qualsiasi altro "insieme" presente in un'equazione logica lo puoi sempre considerare come intersezione di se stesso con l'insieme universo $1=(a+\bar a)$

$ ac+\bar a b+bc=ac+\bar a b+bc(a+\bar a)$

relazione che sviluppata porterà ad un "assorbimento" dei due termini finali in quelli iniziali: ovvero nient'altro che una dimostrazione del il "teorema del consenso" (che qualora noto poteva ovviamente essere applicato direttamente ).

[giorgione1]

Quindi se non ho capito male dovrebbe rimanerci solo $bc$? Perchè metto in evidenza $a$ ed $\bar a$ ed "elimino" gli altri elementi (assorbimento)?

[RenzoDF]

"giorgione":Quindi se non ho capito male dovrebbe rimanerci solo $bc$? Perchè metto in evidenza $a$ ed $\bar a$ ed "elimino" gli altri elementi ...

No, mettendo in evidenza $a$ e $\bar a$ avrai

$a(c+bc)+\bar a(b+bc)$

e quindi è $c$ che "assorbe" $bc$ e similmente è $b$ che assorbe $bc$, non il viceversa; ne segue che rimarremo con

$ac+\bar a b$

semplificazione che, come dicevo, poteva essere immediata ricordando subito il teorema del consenso

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_consenso

[giorgione1]

Cavolo è vero, con il teorema dell'assorbimento ottengo quanto da te scritto che effettivamente era il risultato riportato, ma non sapevo come arrivarci. Grande!!!!

Ti ringrazio Renzo. In questi giorni sto lavorando su questa tipologia di esercizi spero di non avere ancora bisogno

ciao e grazie ancora

[giorgione1]

Arieccomi!!!

In questo caso mi sembra un po' troppo "scontato" il risultato: potrei avere conferma?

$(a+(b \bar a\bar b))(\bar[\bara+\bar b])$

Nelle seconde parentesi $(b \bar a\bar b))$ c'è b e b negato che vanno ad annullare il tutto (inversione), nell'ultima parentesi la doppia negazione si annulla (involuzione), espando e mi ritrovo con

$a(a+b)$ che per assorbimento mi diventa $a$

Ho preso qualche granchio?

[RenzoDF]

"giorgione":... Ho preso qualche granchio?

Direi proprio di si; ok per la prima semplificazione, ma per la seconda, l'involuzione la puoi applicare solo dopo aver usato De Morgan.

[giorgione1]

Mamma mia, è vero Renzo!!! Devo prima utilizzare De Morgan $(\bar[\bara+\bar b])$ e mi diventa $ab$, riprendendo tutta l'espressione ho $(a)(ab)$ ed in base al teorema d'idempotenza il risultato finale è $ab$

Giusto???

[RenzoDF]

Giusto!

[giorgione1]

ok