Regime dinamico sinusoidale ed equazioni differenziali
Salve a tutti, come da titolo, vorrei sapere se è possibile risolvere i circuiti dinamici in regime sinusoidale usando solo le equazioni differenziali. Io so che per trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale del circuito, devo usare i fasori applicati al circuito originale che è appunto in regime sinusoidale. Risolvendo con i fasori, troverò una soluzione particolare. Questo lo devo fare perché il termine noto dell'equazione differenziale è appunto una funzione seno o coseno o somma di entrambi. Però queste equazioni differenziali, sono comunque risolvibili con la formula generale.
Infatti, data
[tex]y'(t) + a(t)y(t)=f(t)[/tex]
La sua soluzione è
[tex]y(t)= e^{-A(t)}\left [ c + \int \left (f(t)e^{A(t)} \right )dt \right ][/tex]
Dove
[tex]A(t)=\int \left (a(t) \right )dt[/tex]
Risolvendo per parti (applicato due volte) l'integrale
[tex]\int \left (f(t)e^{A(t)} \right )dt[/tex]
ci si riconduce ad un'equazione di integrali e si trova il valore dell'integrale cercato.
Però ho visto che le soluzioni che ottengo così, non corrispondono a quelle che trovo con il metodo dei fasori.
ESEMPIO
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * R1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
MC 90 70 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 95 70 4 3 0 0 0 * L
TY 95 75 4 3 0 0 0 * 0,002H
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * R2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * R3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * R4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
MC 100 95 3 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 95 100 4 3 0 0 0 * Vg(t)
TY 95 105 4 3 0 0 0 * 2sen(1000t-45°)
LI 90 95 95 95 0
MC 125 95 1 0 750
FCJ
TY 120 85 4 3 0 0 0 * K
TY 115 105 4 3 0 0 0 *
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
MC 85 35 3 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 80 20 4 3 0 0 0 * ig
TY 90 20 4 3 0 0 0 * 1A
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * i1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * i3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 90 60 1 0 074
FCJ
TY 95 60 4 3 0 0 0 * iL
TY 80 75 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * i4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * i2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
TY 0 120 4 3 0 0 0 * Sapendo che l'interruttore K chiude a t=0 e che in detto istante la rete è a regime
TY 0 125 4 3 0 0 0 * calcolare l'andamento temporale di iL(t) e di iR4(t) per t≥0[/fcd]
I fasori sono:
[tex]\overline{Z_R} = 1\Omega[/tex] valido per tutte e quattro le resistenze
[tex]\overline{Z_L} = j2\Omega[/tex]
[tex]\overline{I_g} = 1A[/tex]
[tex]\overline{V_g} = (-1,4 - j1,4)V[/tex]
Iniziamo
Studio per [tex]t=0^-[/tex]
Il generatore di tensione è spento, allora ho un regime stazionario, questo implica
[tex]V_L=L\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t}= 0V[/tex]
Ossia [tex]i_L=costante[/tex], quindi l'induttore
L si comporta come un corto circuito. Il mio circuito è:
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * R1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * R2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * R3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * R4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
LI 90 95 95 95 0
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
MC 85 35 3 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 80 20 4 3 0 0 0 * ig
TY 90 20 4 3 0 0 0 * 1A
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * i1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * i3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 90 60 1 0 074
FCJ
TY 95 60 4 3 0 0 0 * iL
TY 80 75 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * i4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * i2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
LI 90 65 90 80 0[/fcd]
[tex]i_4= 0 A[/tex]
[tex]-i_g+i_1+i_2=0[/tex]
[tex]-i_1+i_3+i_L=0[/tex]
[tex]i_g=i_3[/tex]
[tex]i_1R_1=i_2R_2[/tex] quindi [tex]i_1=i_2[/tex]
Sostituendo trovo
[tex]i_1=0,5A[/tex]
[tex]i_2=0,5A[/tex]
[tex]i_3=1A[/tex]
[tex]i_L=-0,5A[/tex]
Studio per [tex]t>0[/tex] A questo punto ho deciso di applicare Thévenin una volta sull'induttore L ed un'altra sul resistore [tex]R_4[/tex]
Iniziamo con l'induttore L e calcoliamo la [tex]Z_{th}[/tex] (impedenza equivalente di Thévenin)
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * Z1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * Z2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * Z3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * Z4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
LI 90 95 95 95 0
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * I1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * I3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * I4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * I2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
LI 95 95 125 95 0
MC 90 70 0 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 95 70 4 3 0 0 0 * i
TY 100 70 4 3 0 0 0 * 1A
TY 85 55 4 3 0 0 0 * +
TY 85 80 4 3 0 0 0 * -
TY 90 55 4 3 0 0 0 * a
TY 90 80 4 3 0 0 0 * b[/fcd]
[tex]Z_th=\frac{\overline{V_{ab}}}{i}[/tex]
[tex]\overline{V_{ab}}= \overline{I_2}Z_2 - \overline{I_1}Z_1[/tex]
[tex]\overline{I_3} = \overline{I_4}[/tex]
[tex]\overline{I_1} = \overline{I_3} - 1[/tex]
[tex]\overline{I_1} = -\overline{I_2}[/tex] allora [tex]\overline{I_2}= \overline{I_3} +1[/tex]
[tex]-\overline{I_2}+1- \overline{I_4}=0[/tex]
[tex]\overline{I_1}Z_1 + \overline{I_3}Z_3 +\overline{I_4}Z_4 -\overline{I_2}Z_2=0[/tex]
Sostituendo trovo
[tex]\overline{I_3}=0,5A[/tex]
[tex]\overline{I_2}=0,5A[/tex]
[tex]\overline{I_1}=-0,5A[/tex]
[tex]\overline{V_{ab}}=1V[/tex]
[tex]Z_{th}=1 \Omega[/tex]
Calcolo la tensione equivalente [tex]E_0[/tex]
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * Z1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * Z2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * R3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * Z4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
MC 100 95 3 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 95 100 4 3 0 0 0 * Vg
TY 95 105 4 3 0 0 0 * (-1,4-j1,4)V
LI 90 95 95 95 0
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
MC 85 35 3 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 80 20 4 3 0 0 0 * Ig
TY 90 20 4 3 0 0 0 * 1A
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * I1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * I3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * I4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * I2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
LI 125 95 110 95 0
TY 85 60 4 3 0 0 0 * +
TY 85 80 4 3 0 0 0 * -
TY 90 70 4 3 0 0 0 * E0[/fcd]
[tex]\overline{E_0}=\overline{I_2}Z_2- \overline{I_1}Z_1[/tex]
[tex]\overline{I_g}+\overline{I_4}-\overline{I_3}=0[/tex] allora [tex]\overline{I_4}= \overline{I_3}-\overline{I_g}[/tex]
[tex]\overline{I_3}= \overline{I_1}[/tex]
[tex]\overline{I_2}= \overline{I_g}- \overline{I_1}= \overline{I_g}- \overline{I_3}[/tex]
[tex]\overline{I_1}Z_1+\overline{I_3}Z_3+\overline{I_4}Z_4-\overline{I_2}Z_2=\overline{V_g}[/tex]
Sostituendo trovo
[tex]\overline{I_3}=(0,16-j0,37)A=\overline{I_1}[/tex]
[tex]\overline{I_2}=(0,8+j0,37)A[/tex]
[tex]\overline{E_0}=(0,64+j0,74)V[/tex] allora [tex]E_0(t)= cos(1000t + 49^{\circ})V[/tex]
Adesso ho
[fcd][FIDOCAD]
MC 65 60 0 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 50 60 4 3 0 0 0 * E0
TY 15 70 4 3 0 0 0 * cos(1000t + 49°)
LI 65 55 65 40 0
LI 65 40 85 40 0
MC 90 40 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 85 25 4 3 0 0 0 * Rth
TY 85 30 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 100 40 125 40 0
LI 125 40 125 50 0
LI 125 50 125 60 0
MC 125 60 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 130 60 4 3 0 0 0 * L
TY 130 65 4 3 0 0 0 * 0,002H
LI 125 70 125 90 0
LI 125 90 65 90 0
LI 65 90 65 70 0
MC 105 40 0 0 074
FCJ
TY 105 30 4 3 0 0 0 * ith
TY 115 50 4 3 0 0 0 *
MC 125 50 1 0 074
FCJ
TY 130 50 4 3 0 0 0 * iL
TY 115 65 4 3 0 0 0 *[/fcd]
[tex]i_{Th}=i_L[/tex]
[tex]R_{Th}=Z_{Th}[/tex]
L'equazione differenziale del circuito equivalente è:
[tex]\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + i_L\frac{R_{Th}}{L} = \frac{E_0}{L}[/tex]
[tex]\tau=\frac{L}{R_{Th}}= 0,002ms[/tex]
[tex]i_L(t)=ce^{-\frac{t}{\tau }} + i_P(t)[/tex]
[tex]i_P(t)[/tex] è una soluzione particolare che trovo applicando il metodo dei fasori al circuito originale per [tex]t>0[/tex]
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * Z1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * Z2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * R3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * Z4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
MC 100 95 3 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 95 100 4 3 0 0 0 * Vg
TY 95 105 4 3 0 0 0 * (-1,4-j1,4)V
LI 90 95 95 95 0
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
MC 85 35 3 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 80 20 4 3 0 0 0 * Ig
TY 90 20 4 3 0 0 0 * 1A
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * I1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * I3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * I4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * I2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
LI 125 95 110 95 0
MC 90 70 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 95 70 4 3 0 0 0 * ZL
TY 95 75 4 3 0 0 0 * j2Ω
MC 90 60 1 0 074
FCJ
TY 95 60 4 3 0 0 0 * IL
TY 80 70 4 3 0 0 0 *[/fcd]
[tex]-\overline{I_1}+\overline{I_L}+\overline{I_3}=0[/tex]
[tex]\overline{I_2}+\overline{I_1}-\overline{I_g}=0[/tex]
[tex]-\overline{I_3}+\overline{I_4}+\overline{I_g}=0[/tex]
[tex]\overline{I_3}Z_3+\overline{I_4}Z_4-\overline{V_g}-\overline{I_L}Z_L=0[/tex]
[tex]\overline{I_1}Z_1+\overline{I_L}Z_L-\overline{I_2}Z_2=0[/tex]
Sostituendo trovo
[tex]\overline{I_1}= (0,4-j0,3)A[/tex]
[tex]\overline{I_L}=(0,3-j0,09)A[/tex]
allora [tex]i_P(t)=0,3cos(1000t-18,4^{\circ})[/tex]
Dalla condizione iniziale trovo [tex]c=-0,8[/tex]
Quindi
[tex]i_L(t)=-0,8e^{-\frac{t}{\tau }} + 0,3cos(1000t-18,4^{\circ})[/tex]
Se invece provo a risolvere l'equazione differenziale
[tex]\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + i_L\frac{R_{Th}}{L} = \frac{E_0}{L}[/tex]
con le formule generali invece,trovo:
[tex]i_L(t)= e^{-500t} \left ( c +\int e^{500t}(500cos(1000t+49^{\circ}))dt \right )[/tex]
Chiamo l'integrale [tex]I[/tex] e risolvo per parti.
[tex]I= 250*10^3*e^{500t}(cos(1000t+49^{\circ})) + 250*10^6\int e^{500}(sen(1000t+49^{\circ}))dt=[/tex]
[tex]=250*10^3*e^{500t}(cos(1000t+49^{\circ})) + 250*10^6*[500e^{500t}sen(1000t+49^{\circ})[/tex][tex]-\int500e^{500}1000(cos(100t+49^{\circ}))dt[/tex]
allora [tex]I=0,5e^{500t}sen(1000t+49^{\circ})[/tex] Il termine con il coseno è piccolissimo, dell'ordine di [tex]10^{-8}[/tex] quindi lo trascuro
Allora, imponendo le condizioni iniziali, trovo
[tex]i_L(t)=-0,9e^{-500t}+0,5sen(1000t+49^{\circ})[/tex]
Cosa sbaglio? Grazie
Infatti, data
[tex]y'(t) + a(t)y(t)=f(t)[/tex]
La sua soluzione è
[tex]y(t)= e^{-A(t)}\left [ c + \int \left (f(t)e^{A(t)} \right )dt \right ][/tex]
Dove
[tex]A(t)=\int \left (a(t) \right )dt[/tex]
Risolvendo per parti (applicato due volte) l'integrale
[tex]\int \left (f(t)e^{A(t)} \right )dt[/tex]
ci si riconduce ad un'equazione di integrali e si trova il valore dell'integrale cercato.
Però ho visto che le soluzioni che ottengo così, non corrispondono a quelle che trovo con il metodo dei fasori.
ESEMPIO
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * R1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
MC 90 70 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 95 70 4 3 0 0 0 * L
TY 95 75 4 3 0 0 0 * 0,002H
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * R2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * R3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * R4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
MC 100 95 3 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 95 100 4 3 0 0 0 * Vg(t)
TY 95 105 4 3 0 0 0 * 2sen(1000t-45°)
LI 90 95 95 95 0
MC 125 95 1 0 750
FCJ
TY 120 85 4 3 0 0 0 * K
TY 115 105 4 3 0 0 0 *
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
MC 85 35 3 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 80 20 4 3 0 0 0 * ig
TY 90 20 4 3 0 0 0 * 1A
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * i1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * i3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 90 60 1 0 074
FCJ
TY 95 60 4 3 0 0 0 * iL
TY 80 75 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * i4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * i2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
TY 0 120 4 3 0 0 0 * Sapendo che l'interruttore K chiude a t=0 e che in detto istante la rete è a regime
TY 0 125 4 3 0 0 0 * calcolare l'andamento temporale di iL(t) e di iR4(t) per t≥0[/fcd]
I fasori sono:
[tex]\overline{Z_R} = 1\Omega[/tex] valido per tutte e quattro le resistenze
[tex]\overline{Z_L} = j2\Omega[/tex]
[tex]\overline{I_g} = 1A[/tex]
[tex]\overline{V_g} = (-1,4 - j1,4)V[/tex]
Iniziamo
Studio per [tex]t=0^-[/tex]
Il generatore di tensione è spento, allora ho un regime stazionario, questo implica
[tex]V_L=L\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t}= 0V[/tex]
Ossia [tex]i_L=costante[/tex], quindi l'induttore
L si comporta come un corto circuito. Il mio circuito è:
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * R1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * R2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * R3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * R4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
LI 90 95 95 95 0
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
MC 85 35 3 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 80 20 4 3 0 0 0 * ig
TY 90 20 4 3 0 0 0 * 1A
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * i1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * i3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 90 60 1 0 074
FCJ
TY 95 60 4 3 0 0 0 * iL
TY 80 75 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * i4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * i2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
LI 90 65 90 80 0[/fcd]
[tex]i_4= 0 A[/tex]
[tex]-i_g+i_1+i_2=0[/tex]
[tex]-i_1+i_3+i_L=0[/tex]
[tex]i_g=i_3[/tex]
[tex]i_1R_1=i_2R_2[/tex] quindi [tex]i_1=i_2[/tex]
Sostituendo trovo
[tex]i_1=0,5A[/tex]
[tex]i_2=0,5A[/tex]
[tex]i_3=1A[/tex]
[tex]i_L=-0,5A[/tex]
Studio per [tex]t>0[/tex] A questo punto ho deciso di applicare Thévenin una volta sull'induttore L ed un'altra sul resistore [tex]R_4[/tex]
Iniziamo con l'induttore L e calcoliamo la [tex]Z_{th}[/tex] (impedenza equivalente di Thévenin)
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * Z1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * Z2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * Z3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * Z4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
LI 90 95 95 95 0
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * I1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * I3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * I4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * I2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
LI 95 95 125 95 0
MC 90 70 0 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 95 70 4 3 0 0 0 * i
TY 100 70 4 3 0 0 0 * 1A
TY 85 55 4 3 0 0 0 * +
TY 85 80 4 3 0 0 0 * -
TY 90 55 4 3 0 0 0 * a
TY 90 80 4 3 0 0 0 * b[/fcd]
[tex]Z_th=\frac{\overline{V_{ab}}}{i}[/tex]
[tex]\overline{V_{ab}}= \overline{I_2}Z_2 - \overline{I_1}Z_1[/tex]
[tex]\overline{I_3} = \overline{I_4}[/tex]
[tex]\overline{I_1} = \overline{I_3} - 1[/tex]
[tex]\overline{I_1} = -\overline{I_2}[/tex] allora [tex]\overline{I_2}= \overline{I_3} +1[/tex]
[tex]-\overline{I_2}+1- \overline{I_4}=0[/tex]
[tex]\overline{I_1}Z_1 + \overline{I_3}Z_3 +\overline{I_4}Z_4 -\overline{I_2}Z_2=0[/tex]
Sostituendo trovo
[tex]\overline{I_3}=0,5A[/tex]
[tex]\overline{I_2}=0,5A[/tex]
[tex]\overline{I_1}=-0,5A[/tex]
[tex]\overline{V_{ab}}=1V[/tex]
[tex]Z_{th}=1 \Omega[/tex]
Calcolo la tensione equivalente [tex]E_0[/tex]
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * Z1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * Z2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * R3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * Z4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
MC 100 95 3 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 95 100 4 3 0 0 0 * Vg
TY 95 105 4 3 0 0 0 * (-1,4-j1,4)V
LI 90 95 95 95 0
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
MC 85 35 3 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 80 20 4 3 0 0 0 * Ig
TY 90 20 4 3 0 0 0 * 1A
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * I1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * I3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * I4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * I2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
LI 125 95 110 95 0
TY 85 60 4 3 0 0 0 * +
TY 85 80 4 3 0 0 0 * -
TY 90 70 4 3 0 0 0 * E0[/fcd]
[tex]\overline{E_0}=\overline{I_2}Z_2- \overline{I_1}Z_1[/tex]
[tex]\overline{I_g}+\overline{I_4}-\overline{I_3}=0[/tex] allora [tex]\overline{I_4}= \overline{I_3}-\overline{I_g}[/tex]
[tex]\overline{I_3}= \overline{I_1}[/tex]
[tex]\overline{I_2}= \overline{I_g}- \overline{I_1}= \overline{I_g}- \overline{I_3}[/tex]
[tex]\overline{I_1}Z_1+\overline{I_3}Z_3+\overline{I_4}Z_4-\overline{I_2}Z_2=\overline{V_g}[/tex]
Sostituendo trovo
[tex]\overline{I_3}=(0,16-j0,37)A=\overline{I_1}[/tex]
[tex]\overline{I_2}=(0,8+j0,37)A[/tex]
[tex]\overline{E_0}=(0,64+j0,74)V[/tex] allora [tex]E_0(t)= cos(1000t + 49^{\circ})V[/tex]
Adesso ho
[fcd][FIDOCAD]
MC 65 60 0 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 50 60 4 3 0 0 0 * E0
TY 15 70 4 3 0 0 0 * cos(1000t + 49°)
LI 65 55 65 40 0
LI 65 40 85 40 0
MC 90 40 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 85 25 4 3 0 0 0 * Rth
TY 85 30 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 100 40 125 40 0
LI 125 40 125 50 0
LI 125 50 125 60 0
MC 125 60 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 130 60 4 3 0 0 0 * L
TY 130 65 4 3 0 0 0 * 0,002H
LI 125 70 125 90 0
LI 125 90 65 90 0
LI 65 90 65 70 0
MC 105 40 0 0 074
FCJ
TY 105 30 4 3 0 0 0 * ith
TY 115 50 4 3 0 0 0 *
MC 125 50 1 0 074
FCJ
TY 130 50 4 3 0 0 0 * iL
TY 115 65 4 3 0 0 0 *[/fcd]
[tex]i_{Th}=i_L[/tex]
[tex]R_{Th}=Z_{Th}[/tex]
L'equazione differenziale del circuito equivalente è:
[tex]\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + i_L\frac{R_{Th}}{L} = \frac{E_0}{L}[/tex]
[tex]\tau=\frac{L}{R_{Th}}= 0,002ms[/tex]
[tex]i_L(t)=ce^{-\frac{t}{\tau }} + i_P(t)[/tex]
[tex]i_P(t)[/tex] è una soluzione particolare che trovo applicando il metodo dei fasori al circuito originale per [tex]t>0[/tex]
[fcd][FIDOCAD]
LI 45 35 45 55 0
LI 45 55 60 55 0
LI 45 55 45 70 0
MC 65 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 65 60 4 3 0 0 0 * Z1
TY 75 60 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 75 55 90 55 0
LI 90 55 90 65 0
LI 90 80 90 95 0
LI 90 95 45 95 0
MC 45 70 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 35 70 4 3 0 0 0 * Z2
TY 35 75 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 45 95 45 80 0
LI 90 55 105 55 0
MC 110 55 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 110 45 4 3 0 0 0 * R3
TY 120 45 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 120 55 135 55 0
LI 135 55 135 70 0
MC 135 75 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 140 75 4 3 0 0 0 * Z4
TY 140 80 4 3 0 0 0 * 1Ω
LI 135 85 135 95 0
LI 135 95 130 95 0
MC 100 95 3 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 95 100 4 3 0 0 0 * Vg
TY 95 105 4 3 0 0 0 * (-1,4-j1,4)V
LI 90 95 95 95 0
LI 130 95 125 95 0
LI 135 55 135 35 0
LI 135 35 105 35 0
MC 85 35 3 0 ey_libraries.genidc0
FCJ
TY 80 20 4 3 0 0 0 * Ig
TY 90 20 4 3 0 0 0 * 1A
LI 105 35 95 35 0
LI 45 35 80 35 0
MC 50 55 0 0 074
FCJ
TY 50 45 4 3 0 0 0 * I1
TY 60 65 4 3 0 0 0 *
MC 95 55 0 0 074
FCJ
TY 95 45 4 3 0 0 0 * I3
TY 105 65 4 3 0 0 0 *
MC 135 65 1 0 074
FCJ
TY 140 65 4 3 0 0 0 * I4
TY 125 75 4 3 0 0 0 *
MC 45 60 1 0 074
FCJ
TY 35 55 4 3 0 0 0 * I2
TY 35 70 4 3 0 0 0 *
LI 125 95 110 95 0
MC 90 70 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 95 70 4 3 0 0 0 * ZL
TY 95 75 4 3 0 0 0 * j2Ω
MC 90 60 1 0 074
FCJ
TY 95 60 4 3 0 0 0 * IL
TY 80 70 4 3 0 0 0 *[/fcd]
[tex]-\overline{I_1}+\overline{I_L}+\overline{I_3}=0[/tex]
[tex]\overline{I_2}+\overline{I_1}-\overline{I_g}=0[/tex]
[tex]-\overline{I_3}+\overline{I_4}+\overline{I_g}=0[/tex]
[tex]\overline{I_3}Z_3+\overline{I_4}Z_4-\overline{V_g}-\overline{I_L}Z_L=0[/tex]
[tex]\overline{I_1}Z_1+\overline{I_L}Z_L-\overline{I_2}Z_2=0[/tex]
Sostituendo trovo
[tex]\overline{I_1}= (0,4-j0,3)A[/tex]
[tex]\overline{I_L}=(0,3-j0,09)A[/tex]
allora [tex]i_P(t)=0,3cos(1000t-18,4^{\circ})[/tex]
Dalla condizione iniziale trovo [tex]c=-0,8[/tex]
Quindi
[tex]i_L(t)=-0,8e^{-\frac{t}{\tau }} + 0,3cos(1000t-18,4^{\circ})[/tex]
Se invece provo a risolvere l'equazione differenziale
[tex]\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + i_L\frac{R_{Th}}{L} = \frac{E_0}{L}[/tex]
con le formule generali invece,trovo:
[tex]i_L(t)= e^{-500t} \left ( c +\int e^{500t}(500cos(1000t+49^{\circ}))dt \right )[/tex]
Chiamo l'integrale [tex]I[/tex] e risolvo per parti.
[tex]I= 250*10^3*e^{500t}(cos(1000t+49^{\circ})) + 250*10^6\int e^{500}(sen(1000t+49^{\circ}))dt=[/tex]
[tex]=250*10^3*e^{500t}(cos(1000t+49^{\circ})) + 250*10^6*[500e^{500t}sen(1000t+49^{\circ})[/tex][tex]-\int500e^{500}1000(cos(100t+49^{\circ}))dt[/tex]
allora [tex]I=0,5e^{500t}sen(1000t+49^{\circ})[/tex] Il termine con il coseno è piccolissimo, dell'ordine di [tex]10^{-8}[/tex] quindi lo trascuro
Allora, imponendo le condizioni iniziali, trovo
[tex]i_L(t)=-0,9e^{-500t}+0,5sen(1000t+49^{\circ})[/tex]
Cosa sbaglio? Grazie
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