Realizzazione filtro
E' data la seguente Funzione di Trasferimento del quarto ordine, in cui $\alpha$ è un parametro liberamente scelto che soddisfa la condizione $\alpha>0$:
$H(z)=1/(1-\alpha^2z^(-4))$
1) Si dia lo schema di un filtro a scelta che realizza H(z)
Ho disegnato il più semplice, ovvero:
Risolvendolo mi pare torni la funzione di trasferimento, perciò dovrebbe essere corretto no?
$H(z)=1/(1-\alpha^2z^(-4))$
1) Si dia lo schema di un filtro a scelta che realizza H(z)
Ho disegnato il più semplice, ovvero:
Risolvendolo mi pare torni la funzione di trasferimento, perciò dovrebbe essere corretto no?
Risposte
2) Si calcoli l'intervallo dei valori di $\alpha$ per cui il filtro è stabile.
Moltiplico numeratore e denominatore per $z^4$ ottenendo $H(z)=z^4/(z^4-\alpha^2)$ e cerco le radici del denominatore, ovvero i poli. Il denominatore si azzera per $z=+-sqrt(\alpha)$.
Per avere stabilità è necessario che i poli siano all'interno della circonferenza di raggio unitario, ovvero che $|+-sqrt(\alpha)|<1$.
Risolvendo ottengo $0<\alpha<1$. E' corretto? Ovvero l'intervallo dei valori di $\alpha$ per cui il filtro è stabile è $]0, 1[$?
Moltiplico numeratore e denominatore per $z^4$ ottenendo $H(z)=z^4/(z^4-\alpha^2)$ e cerco le radici del denominatore, ovvero i poli. Il denominatore si azzera per $z=+-sqrt(\alpha)$.
Per avere stabilità è necessario che i poli siano all'interno della circonferenza di raggio unitario, ovvero che $|+-sqrt(\alpha)|<1$.
Risolvendo ottengo $0<\alpha<1$. E' corretto? Ovvero l'intervallo dei valori di $\alpha$ per cui il filtro è stabile è $]0, 1[$?
I poli di $H(z)$ sono $+- alpha$, $+- j alpha$.
"elgiovo":
I poli di $H(z)$ sono $+- alpha$, $+- j alpha$.
Visto che ho sbagliato, mi puoi spiegare come li hai trovati e qual'è l'intervallo in cui il filtro è stabile?
Grazie.
Prima di tutto occhio al numero di soluzioni: un'equazione di quarto grado non può averne solo due (semplici).
Considera la fattorizzazione $z^4-alpha^4=(z-alpha)(z+alpha)(z^2+alpha^2)$, che si ottiene facilmente osservando che $+-alpha$ annullano certamente il denominatore.
L'intervallo di asintotica stabilità è $[0,1[$. Se $alpha=1$ si ottiene un filtro IIR, ma comunque la risposta all'impulso è limitata nel tempo, quindi per la stabilità semplice si può considerare anche $alpha=1$.
Considera la fattorizzazione $z^4-alpha^4=(z-alpha)(z+alpha)(z^2+alpha^2)$, che si ottiene facilmente osservando che $+-alpha$ annullano certamente il denominatore.
L'intervallo di asintotica stabilità è $[0,1[$. Se $alpha=1$ si ottiene un filtro IIR, ma comunque la risposta all'impulso è limitata nel tempo, quindi per la stabilità semplice si può considerare anche $alpha=1$.
Ok è chiaro, concludo con le ultime due domande:
3) Si dia lo schema di realizzazione di $H(z)$ che fa uso di una cascata (serie) di filtri del secondo ordine.
In linea di massima esiste un metodo per passare dal primo filtro schematizzato ad un altra forma? Come filtro del secondo ordine prendo $H(z)=1/(1-alphaz^(-2))$?
4) Si abbozzi il modulo della risposta in frequenza del filtro al variare di $alpha$ nell'intervallo di stabilità.
Come è meglio procedere? Valutare gli zeri e i poli sulla circonferenza di raggio unitario oppure calcolarsi il modulo e studiare questo?
3) Si dia lo schema di realizzazione di $H(z)$ che fa uso di una cascata (serie) di filtri del secondo ordine.
In linea di massima esiste un metodo per passare dal primo filtro schematizzato ad un altra forma? Come filtro del secondo ordine prendo $H(z)=1/(1-alphaz^(-2))$?
4) Si abbozzi il modulo della risposta in frequenza del filtro al variare di $alpha$ nell'intervallo di stabilità.
Come è meglio procedere? Valutare gli zeri e i poli sulla circonferenza di raggio unitario oppure calcolarsi il modulo e studiare questo?
Come filtri del secondo ordine puoi prendere $H_1(z)=z^2/(z^2-alpha^2)$ e $H_2(z)=z^2/(z^2+alpha^2)$.
Per la risposta in frequenza direi di studiare modulo e fase di $H(e^(j omega))=1/(1-alpha^2e^(-4j omega))$.
Per la risposta in frequenza direi di studiare modulo e fase di $H(e^(j omega))=1/(1-alpha^2e^(-4j omega))$.
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