Re: [Esercizio Controllo automatico]

[CelioClelia]

Buongiorno .
Non riesco a capire un passaggio di un esercizio preso a caso su la linearizzazione di un sistema.

Per esempio :
Da questo sistema non linearizzato

$dot(x_1) =-2x_1 +( sin^2(x_1)+1)x_2 +2u $

A questo sistema linearizzato:

$Delta dot(x_1) = -2Delta x_1 + Delta x_2 + 2Delta u $

Se mi aiutate a capire questo passaggio , vi ringrazio molto.

[RenzoDF]

Come ti ho già chiesto nel tuo precedente thread: come si sviluppa il seno intorno all'origine?

[CelioClelia]

Grazie RenzoDF.

Ho postato per due volte lo stesso esercizio , credendo che non veniva postato.
Mi scuso.
Tornando all'esercizio :

rispondo alla tua domanda il sen(0) = 0 .
percio'

$ Deltax_1 = -2x_1+(sin^2(x_1)+1)x_2+2u$

$ Deltax_1 =-2x_1+x_2sin^2(x_1)+x_2+2u$
derivata di $ x_2sin^2(x_1)=-sin(x_1)cos(x_1)x_2$

in 0 si annulla

quindi:

$ Deltax_1 = -2Deltax_1 +Deltax_2 + 2Deltau $

Potrebbe andar bene come ragionamento ?

[RenzoDF]

Soprassedendo su quella "strana" derivata, ti ho solo chiesto come si può approssimare il seno di x1, intorno all'origine, ovvero per $x_1=\Delta x_1$ molto "piccolo", e di conseguenza che peso viene ad avere rispetto a quell'uno al quale va a sommarsi.
Ovviamente puoi anche passare dalle derivate parziali, ma devi farlo correttamente.

[CelioClelia]

Hai ragione . la derivata di $ sin^2(x) $ é :

$ sin^2(x)= 2 cos(x) sin(x) $

Il $ sin(0)$ annulla la $ x_2 $perciò posso dire che ci siamo.
I conti tornano.