Radici a parte reale di un polinomio

[bibus12]

Ciao avendo questo polinomio

$ s^{7} + s^{6} + s^{5} + s^{4} - s^{3} - s^{2} -s - 1 $ devo trovare il numero di radici a parte reale positiva, a parte reale negativa e a parte reale nulla. Ora , ho fatto lo schema di routh e vi sono 6 permanenze e una variazione. Da cui capisco che la radice a parte reale maggiore di zero e' uguale a 1. Me tre la somma delle radici a parte reale minore di zero e le radici a parte immaginaria minore di zero sono uguali a 6, le variazioni. Ho anche trovato le soluzioni delle due equazioni ausiliarie : $ (s^{2} + 1)(s^{4} -1)=0 e s^{2}=-1. Ora però , analizzando sempre lo schema di routh senza risolvere il polinomio , non ho idea di come trovare le radici a parte reale negative , e quelle a parte reale nulla. Potreste spiegarmi come fare? Grazie mille

[peppe.carbone.90]

Non avendo capito il contesto della tua domanda non sono sicuro che la sezione di Ingegneria sia quella più adatta. Non è che è meglio chiedere in una delle sezioni "matematiche"?

[bibus12]

Ok , allora la riposto nella sezione giusta grazie

[peppe.carbone.90]

Rettifica: mi è stato indicato che questa è la sezione giusta. Si continua qui dunque.

[elgiovo]

Una possibile idea (non mi occupo di queste cose da parecchio) può essere quella di shiftare di un $\epsilon$ l'asse verticale, con una sostituzione $s \to z - \epsilon$. Fatto ciò, puoi applicare il criterio di Routh al nuovo polinomio in $z$. Il numero di variazioni nella prima colonna sarà uguale al numero di radici che sono a destra della retta verticale $s = - \epsilon$. Vedendo cosa succede con un $\epsilon$ molto piccolo (ovviamente al limite per $\epsilon \to 0$ ti deve tornare la stessa tabella che hai calcolato) se hai $n$ radici a parte reale nulla dovresti osservare $n+1$ variazioni, dove il $+1$ è dovuto alla radice a parte reale positiva che hai già individuato.

[bibus12]

Ok domani mattina proverò a fare in questo modo ! Sinceramente pensavo che fosse più facile , e che sopratutto si potesse arrivare a conclusioni corrette anche con io mio 'semplice' diagramma di routh ma dato che non ho idea di come trovare il numero delle radici a parte reale = 0 , farò come dici tu

[elgiovo]

Siccome avevo paura di depistarti sono andato a riguardare la teoria. In sostanza, devi applicare questa regola per capire il numero di radici a parte reale positiva, negativa o nulla:

Costruisci la tabella fino a trovare una riga di soli zeri (per te è così visto che hai ricavato l'equazione ausiliaria). La parte della tabella prima della riga di soli zeri, con le sue permanenze o variazioni ti fornisce informazioni sul segno di un certo numero di radici, fra le quali nessuna immaginaria (parte reale nulla). Costruisci poi la tabella relativa all'equazione ausiliaria. Per ogni variazione di segno hai un'ulteriore radice a parte reale positiva. Se $m$ è il numero di queste ulteriori radici, le ulteriori radici a parte reale negativa sono anch'esse $m$. Ora il numero di radici a parte reale nulla lo trovi imponendo che il numero di radici sia pari al grado del polinomio ($7$ nel tuo caso).