[Progettazione Meccanica] Linea elastica albero
Salve, sono uno studente di ingegneria meccanica, e devo progettare un albero, in particolare sto studiando la linea elastica per poi verificare frecce e rotazioni massime; questo è lo schema cinematico:
d1 = 70,08 mm, d2 = 133,79 mm, lA1 = 324,93 mm
i momenti flettenti nei diversi tratti sono:
M(fAB) = A12r1 - R12s
M(f,BC)= - YC(d2 - s)
M(f,CD)=0
le equazioni differenziali della linea elastica sono:
v_AB^'' (s)= - M(s)AB/(EJ) = (R12s - A12r1)/(EJ)
v_BC^'' (s)= - M(s)BC/(EJ) = ( - YCs + YCd2)/(EJ)
v_CD^'' (s)= - M(s)CD/(EJ) = 0
Il campo di spostamento viene calcolato integrando due volte le equazione differenziali:
vAB(s) = 1/(EJ) [1/6 R12s^3 - 1/2 A12r1s^2 + c1s + c4]
vBC(s) = 1/(EJ) [ - 1/6 YCs^3 + 1/2 YCd2s^2 + c2s + c5]
vCD(s) = 1/(EJ) [c3s + c6]
Si determina poi il campo di rotazioni della generica sezione della trave, derivando il campo di spostamenti ottenuto secondo la formula φ(s)=-dv(s)/ds:
φAB(s) = 1/(EJ) [ - 1/2 R12s^2 + A12r1s - c1]
φBC(s) = 1/(EJ) [1/2 YCs^2 - YCd2s - c2]
φCD(s) = 1/(EJ) [ - c3]
I valori delle 6 costanti si determinano imponendo le condizione al contorno, sapendo che in corrispondenza dei vincoli la deflessione deve essere nulla e la rotazione a destra e a sinistra devono essere uguali:
vAB(d1) = 0
vBC(d1) = 0
vBC(d2) = 0
vCD(d2) = 0
φAB(d1) = φBC(d1)
φBC(d2) = φCD(d2)
Il sistema consiste in 6 equazione con 6 incognite, quindi è risolvibile: è possibile utilizzare l’editor del foglio di calcolo Excel e scrivere la matrice associata del sistema di equazione lineare e risolvere il sistema tramite il metodo di Cramer. Data la complessità del sistema, si attribuiscono alle costanti dei valori numerici:
c1 = - 6529957,074 Nmm^2
c2 = - 16263416,83 Nmm^2
c3 = 1329796,96 Nmm^2
c4 = 379323444,8 Nmm^3
c5 = 606706674,5 Nmm^3
c6 = - 177919845,9 Nmm^3
Le frecce che vorrei valutare sono quelle nella sezione A e nella sezione D; sapendo che E = 206010 N/mm^2 e che i diametri nelle sezioni valgono:
D(sezione A) = 76,46 mm [momento d'inerzia JA = 1677672,066 mm^4]
D(sezione B) = 60 mm [momento d'inerzia JB = 636172,5124 mm^4]
D(sezione C) = 60 mm [momento d'inerzia JC = 636172,5124 mm^4]
D(sezione D) = 54 mm [momento d'inerzia JD = 417392,7854 mm^4]
Le frecce agli estremi valgono quindi:
f(AB) = vAB(0) = 1/(EJA) [c4] = 0,001097525 mm
f(CD) = vAB(lA3) = 1/(EJD) [c3lA3 + c6] = 0,002955923 mm
Sembra che la freccia sia maggiore nella sezione D; tuttavia utilizzando più di un software che disegna automaticamente la linea elastica (autocad mechanical, tfool) ho notato che inserendo gli stessi parametri risulta che la f(AB) è molto maggiore rispetto alla f(CD) rispettivamente la prima intorno allo 0,003 mm e il secondo intorno allo 0,001 mm, cioè il grafico è quasi invertito!!! Ho notato però che se la considero i diametri uguali, i grafici coincidono con i miei risultati. E' quindi un problema di applicazione dei diversi diametri che ottengo sull'albero? Oppure ho sbagliato qualcosa durante il procedimento?
d1 = 70,08 mm, d2 = 133,79 mm, lA1 = 324,93 mm
i momenti flettenti nei diversi tratti sono:
M(fAB) = A12r1 - R12s
M(f,BC)= - YC(d2 - s)
M(f,CD)=0
le equazioni differenziali della linea elastica sono:
v_AB^'' (s)= - M(s)AB/(EJ) = (R12s - A12r1)/(EJ)
v_BC^'' (s)= - M(s)BC/(EJ) = ( - YCs + YCd2)/(EJ)
v_CD^'' (s)= - M(s)CD/(EJ) = 0
Il campo di spostamento viene calcolato integrando due volte le equazione differenziali:
vAB(s) = 1/(EJ) [1/6 R12s^3 - 1/2 A12r1s^2 + c1s + c4]
vBC(s) = 1/(EJ) [ - 1/6 YCs^3 + 1/2 YCd2s^2 + c2s + c5]
vCD(s) = 1/(EJ) [c3s + c6]
Si determina poi il campo di rotazioni della generica sezione della trave, derivando il campo di spostamenti ottenuto secondo la formula φ(s)=-dv(s)/ds:
φAB(s) = 1/(EJ) [ - 1/2 R12s^2 + A12r1s - c1]
φBC(s) = 1/(EJ) [1/2 YCs^2 - YCd2s - c2]
φCD(s) = 1/(EJ) [ - c3]
I valori delle 6 costanti si determinano imponendo le condizione al contorno, sapendo che in corrispondenza dei vincoli la deflessione deve essere nulla e la rotazione a destra e a sinistra devono essere uguali:
vAB(d1) = 0
vBC(d1) = 0
vBC(d2) = 0
vCD(d2) = 0
φAB(d1) = φBC(d1)
φBC(d2) = φCD(d2)
Il sistema consiste in 6 equazione con 6 incognite, quindi è risolvibile: è possibile utilizzare l’editor del foglio di calcolo Excel e scrivere la matrice associata del sistema di equazione lineare e risolvere il sistema tramite il metodo di Cramer. Data la complessità del sistema, si attribuiscono alle costanti dei valori numerici:
c1 = - 6529957,074 Nmm^2
c2 = - 16263416,83 Nmm^2
c3 = 1329796,96 Nmm^2
c4 = 379323444,8 Nmm^3
c5 = 606706674,5 Nmm^3
c6 = - 177919845,9 Nmm^3
Le frecce che vorrei valutare sono quelle nella sezione A e nella sezione D; sapendo che E = 206010 N/mm^2 e che i diametri nelle sezioni valgono:
D(sezione A) = 76,46 mm [momento d'inerzia JA = 1677672,066 mm^4]
D(sezione B) = 60 mm [momento d'inerzia JB = 636172,5124 mm^4]
D(sezione C) = 60 mm [momento d'inerzia JC = 636172,5124 mm^4]
D(sezione D) = 54 mm [momento d'inerzia JD = 417392,7854 mm^4]
Le frecce agli estremi valgono quindi:
f(AB) = vAB(0) = 1/(EJA) [c4] = 0,001097525 mm
f(CD) = vAB(lA3) = 1/(EJD) [c3lA3 + c6] = 0,002955923 mm
Sembra che la freccia sia maggiore nella sezione D; tuttavia utilizzando più di un software che disegna automaticamente la linea elastica (autocad mechanical, tfool) ho notato che inserendo gli stessi parametri risulta che la f(AB) è molto maggiore rispetto alla f(CD) rispettivamente la prima intorno allo 0,003 mm e il secondo intorno allo 0,001 mm, cioè il grafico è quasi invertito!!! Ho notato però che se la considero i diametri uguali, i grafici coincidono con i miei risultati. E' quindi un problema di applicazione dei diversi diametri che ottengo sull'albero? Oppure ho sbagliato qualcosa durante il procedimento?
Risposte
Ciao. Ti devo chiedere di riscrivere le formule con l'apposito editor (perché così è difficoltoso leggerle).
Trovi una guida nel box rosa in alto.
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