Prodotto scalare tra funzioni
Date due funzioni $x(t) , f(t) in L^2(R)$ perchè l'integrale
$\int_{-oo}^{+oo} x(t)*f(t) dt$
può essere interpretato come prodotto scalare, ma soprattutto perchè è un indice di somiglianza tra le due funzioni?
Grazie.
$\int_{-oo}^{+oo} x(t)*f(t) dt$
può essere interpretato come prodotto scalare, ma soprattutto perchè è un indice di somiglianza tra le due funzioni?
Grazie.
Risposte
Ciao
sei in $L(R)$
pertanto quelle che hai non sono due funzioni, ma due campi campi vettoriali
quindi puoi fare il prodotto scalare
sei in $L(R)$
pertanto quelle che hai non sono due funzioni, ma due campi campi vettoriali
quindi puoi fare il prodotto scalare
e sulla somiglianza?
qualcuno potrebbe essere più chiaro? Grazie
Che assomigli ad un prodotto scalare lo puoi vedere in questo modo.
Considera due vettori di $RR^n$ diciamo $x, y$ e indichiamo con $x(i)$ e $y(i)$ l'elemento i-esimo di questi vettori se tu volessi fare $$ in questo caso per avresti per definizione di prodotto scalare che:
$ = x(0)y(0) + x(1)y(1) + ... + x(n)y(n) = sum_{i=0}^n x(i)y(i)$
Se confronti la sommatoria con l'integrale $int_{-infty}^{+infty} f(t)g(t) dt$ si assomigliano nella forma, sono ambo somme di componenti alla fin fine, solo che mentre $i$ è una variabile discreta la $t$ è una variabile continua.
Si può dimostrare che esso è effettivamente un prodotto scalare, se le 2 funzioni sono reali.
Per quanto riguarda la somiglianza, posso dirti che in generale questi prodotti scalari si usano per verificare l'indipendenza lineare delle funzioni. Forse in questo senso dovrebbe essere inteso.
Considera due vettori di $RR^n$ diciamo $x, y$ e indichiamo con $x(i)$ e $y(i)$ l'elemento i-esimo di questi vettori se tu volessi fare $
$
Se confronti la sommatoria con l'integrale $int_{-infty}^{+infty} f(t)g(t) dt$ si assomigliano nella forma, sono ambo somme di componenti alla fin fine, solo che mentre $i$ è una variabile discreta la $t$ è una variabile continua.
Si può dimostrare che esso è effettivamente un prodotto scalare, se le 2 funzioni sono reali.
Per quanto riguarda la somiglianza, posso dirti che in generale questi prodotti scalari si usano per verificare l'indipendenza lineare delle funzioni. Forse in questo senso dovrebbe essere inteso.
La domanda vera è: ricordi la definizione di prodotto scalare?
Se la ricordi, è facile verificare che l'applicazione [tex](x,f)\in L^2(\mathbb{R})\times L^2(\mathbb{R}) \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ f(t)\ \text{d} t\in \mathbb{R}[/tex] è un prodotto scalare in [tex]$L^2(\mathbb{R})$[/tex].
Se non la ricordi, valla a ripetere e poi cerca di fare la dimostrazione che ti ho indicato.
Se la ricordi, è facile verificare che l'applicazione [tex](x,f)\in L^2(\mathbb{R})\times L^2(\mathbb{R}) \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ f(t)\ \text{d} t\in \mathbb{R}[/tex] è un prodotto scalare in [tex]$L^2(\mathbb{R})$[/tex].
Se non la ricordi, valla a ripetere e poi cerca di fare la dimostrazione che ti ho indicato.
Non penso intendesse a livello formale, se gli serviva una dimostrazione penso l'avrebbe chiesto esplicitamente.
Però farla per convincersene non sarebbe male in effetti...
Però farla per convincersene non sarebbe male in effetti...
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