Problema con il calcolo di momenti di inerzia
Salve a tutti. Sono nuovo del forum. Sono uno studente di ingegneria (anche appassionato di matematica) e mi trovo ad affrontare l'esame di Meccanica Razionale.
Avrei bisogno di un aiuto sul calcolo di momenti di inerzia di corpi.
In particolare avrei bisogno di un aiuto sul calcolo dei momenti di inerzia di aste, dischi, anelli, ecc. quando la densità non è costante (Es. p=ay, p=ay^2)
In questi casi la formula che io applico per calcolarmi il momento di inerzia nel baricentro, non mi da il risultato giusto, mentre se lo calcolo rispetto a un punto qualsiasi e poi lo trasposto con Huygens nel baricentro mi torna. La formula che io applico è:
Ixg= \( \int_a^b y^2\ \text{d} m = \int_a^b ay^3\ \text{d}y \)
questo nel caso che p=ay e io abbia un'asta AB lunga l, disposta per esempio sull'asse y. Dove a=distanza da G ad A e b= distanza da G a B.
Sapreste dirmi se è un errore di formula o calcolo?
Grazie in anticipo.
Avrei bisogno di un aiuto sul calcolo di momenti di inerzia di corpi.
In particolare avrei bisogno di un aiuto sul calcolo dei momenti di inerzia di aste, dischi, anelli, ecc. quando la densità non è costante (Es. p=ay, p=ay^2)
In questi casi la formula che io applico per calcolarmi il momento di inerzia nel baricentro, non mi da il risultato giusto, mentre se lo calcolo rispetto a un punto qualsiasi e poi lo trasposto con Huygens nel baricentro mi torna. La formula che io applico è:
Ixg= \( \int_a^b y^2\ \text{d} m = \int_a^b ay^3\ \text{d}y \)
questo nel caso che p=ay e io abbia un'asta AB lunga l, disposta per esempio sull'asse y. Dove a=distanza da G ad A e b= distanza da G a B.
Sapreste dirmi se è un errore di formula o calcolo?
Grazie in anticipo.
Risposte
Fammi capire : hai un'asta lunga $L$ , sull'asse $y$ , e l'origine delle coordinate è nel centro di massa , quindi l'asse $x$ taglia in due parti uguali l'asta, giusto?
Tu vuoi che la densità sia zero nell'origine $a$ dell'asta , e sia massima nell'estremo $b$ , essendo l'estremo $a$ quello con ordinata negativa $-L/2$ , e l'estremo $b$ quello con ordinata positiva $+L/2$ , giusto?
Allora non puoi scrivere la densità così : $\rho = ky $ (ho messo $k$ per distinguere il coefficiente dall'estremo $a$ dell'asta) , perché per valori negativi della $y$ avresti una densità negativa.
Devi esprimere la densità così : $\rho = k(y + L/2) $ , sicché per $y = -L/2 $ essa è nulla e per $y = + L/2$ essa è massima, pari a $kL$ . Chiaro ?
Allora : $dm = \rho*dy = k(y+L/2) dy $ , e pertanto : $dI = y^2 dm = y^2 k(y+L/2) dy $
Adesso integra $dI$ da $-L/2$ a $ +L/2$ , e dimmi se ti torna.
Tu vuoi che la densità sia zero nell'origine $a$ dell'asta , e sia massima nell'estremo $b$ , essendo l'estremo $a$ quello con ordinata negativa $-L/2$ , e l'estremo $b$ quello con ordinata positiva $+L/2$ , giusto?
Allora non puoi scrivere la densità così : $\rho = ky $ (ho messo $k$ per distinguere il coefficiente dall'estremo $a$ dell'asta) , perché per valori negativi della $y$ avresti una densità negativa.
Devi esprimere la densità così : $\rho = k(y + L/2) $ , sicché per $y = -L/2 $ essa è nulla e per $y = + L/2$ essa è massima, pari a $kL$ . Chiaro ?
Allora : $dm = \rho*dy = k(y+L/2) dy $ , e pertanto : $dI = y^2 dm = y^2 k(y+L/2) dy $
Adesso integra $dI$ da $-L/2$ a $ +L/2$ , e dimmi se ti torna.
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