Potenziale sul bordo di un disco

[L4dy222]

Buongiorno,
mi sono imbattuta in questo problema e non sono molto sicura di come risolverlo:

E dato un sottile disco di raggio r0 = 0.121 m sul quale `e presente una densità superficiale uniforme di
carica elettrica σ = 1.44 nC/m2. Determinare il potenziale elettrico, in volt, sul bordo del disco.

ringrazio in anticipo chiunque sia in grado di fornirmi una soluzione

[ingres]

Ciao L4dy222, benvenuta nel Forum

Cosa hai già provato come tentativo di soluzione?
Il testo ti fornisce una soluzione?

[RenzoDF]

Nell'attesa di una tua risposta alle domande di ingres, il mio consiglio è quello di sommare i contributi elementari relativi alle superfici infinitesime del disco associate agli archi individuati dall'intersezione con una generica circonferenza di raggio $0

[RenzoDF]

Visto che forse non sono stato abbastanza chiaro, ti posto la geometria per la soluzione proposta



lasciando a te i dettagli analitici del calcolo.

[L4dy222]

"ingres":Ciao L4dy222, benvenuta nel Forum

Cosa hai già provato come tentativo di soluzione?
Il testo ti fornisce una soluzione?

Ciao, graziee
Inizialmente io avevo pensato di provare a trattarlo come il potenziale sul bordo di un cilindro di spessore infinitesimo, ma sono poi rimasta bloccata nell'espressione di quest'ultimo.
Il testo mi fornisce solo 6 possibili risposte numeriche, ma niente per quanto riguarda le formule necessarie per arrivarci
su questo forum ho trovato in precedenza un esercizio vagamente simile ma la soluzione fornita mi è sembrata troppo complessa considerato il livello degli altri esercizi presenti sul testo da cui ho tratto questo

ecco il link cui avevano fatto riferimento in quel post di cui parlavo : http://www.mare.ee/indrek/ephi/efield_r ... charge.pdf

[L4dy222]

"RenzoDF":Visto che forse non sono stato abbastanza chiaro, ti posto la geometria per la solzione proposta


lasciando a te i dettagli analitici del calcolo.

grazie per la risposta!
Questi sono i calcoli che ho provato a fare seguendo questo ragionamento ma non mi torna (nel senso che il risultato non coincide con nessuno di quelli proposti sul testo) quindi penso di aver sbagliato qualcosa
dS=$\int_0^(2r_0) int_0^(theta_0) r dr d theta$
dV=k $\(dq)/r$ =k $\sigma (ds)/r$
V=k $\sigma$ $\int_0^(2r_0) (ds)/r$ = $\sigma r/(8epsilon)$
$\theta_0$=$\pi/4$
k= $\1/(4 pi epsilon)$

è la prima volta che scrivo formule quindi mi scuso per eventuali errori

[ingres]

@Renzo: soluzione bella ed elegante !!

A questo punto facciamo 31 e metto qui il risultato finale (spero di non aver sbagliato qualche calcolo)

Se la densità superficiale è applicata solo ad una faccia del disco (qui il testo non è chiaro) risulta

$V = (r_0*sigma)/(pi*epsilon_0)$

altrimenti il doppio.

[RenzoDF]

@ ingres: Come sempre, non sbagli nulla

Ora speriamo che L4dy222, provi a postare la soluzione.

[L4dy222]

"ingres":@Renzo: soluzione bella ed elegante !!

A questo punto facciamo 31 e metto qui il risultato finale (spero di non aver sbagliato qualche calcolo)

Se la densità superficiale è applicata solo ad una faccia del disco (qui il testo non è chiaro) risulta

$V = (r_0*sigma)/(pi*epsilon_0)$

altrimenti il doppio.

con questa formula il risultato torna uguale a una delle soluzioni numeriche proposte!!
Per caso mi sapresti indicare cosa ho sbagliato nella mia risoluzione? devo ammettere che forse non ho capito bene il suggerimento di @Renzo

[ingres]

L'angolo non è fisso ma varia con r. Risulta in particolare

$theta = arcos(r/(2*r_0))$

Quindi $dq = 2*r*theta*sigma*dr$ nel caso di una sola faccia carica e l'integrale diventa

$V = int_0^(2r_0) 1/(4*pi*epsilon_0) (dq)/r = sigma/(2*pi*epsilon_0)*int_0^(2r_0) arcos(r/(2*r_0)) dr$

che integrato fornisce il risultato cercato.

[RenzoDF]

Si può anche partire dalla determinazione della corda $r$ via angolo al centro

$r=2\ r_0 \sin((\pi-2\theta)/2)=2\ r_0\cos\theta$

$\text{d}r=-2\ r_0\sin\theta\ \text{d}\theta $

$L=2\ \theta\ r$

$\text{d}q=\sigma \ L \ \text{d}r$

$\text{d}V=k \ (\text{d}q) /r$

$V=\int_{\pi/2}^{0} \text{d}V \ \text{d}\theta $

$V=-\frac{\sigma\ r_0}{\pi \ \epsilon_0}\int_{\pi/2}^{0} \theta \sin\theta \ \text{d}\theta=\frac{\sigma \ r_0} {\pi \ \epsilon_0}$

@ ingres

\arccos(\theta)

$\arccos(\theta)$

[ingres]

@Renzo

Credo che sia effettivamente più giusto arccos(x), ma comunque arcos(x) vada bene lo stesso. Wolfram accetta arcos(x) senza problemi, mentre arccos(x) lo da come scritto sbagliato, poi però esegue il calcolo lo stesso.

[RenzoDF]

Io seguo sempre le scelte[nota]E ad ogni modo quasi universalmente è usato arccos e non arcos.[/nota] di Zwillinger o di Abramowitz e Stegun

https://mathworld.wolfram.com/InverseCosine.html

che come vedi è anche le scelta di LaTeX, e il mio era un consiglio in questo senso.

L'app online alla quale fai riferimento usa WolframAlpha che interpreta correttamente anche input scorretti; per esempio

arcco(x) o arccosen(x) sono entrambe accettate.

[L4dy222]

"ingres":L'angolo non è fisso ma varia con r. Risulta in particolare

$theta = arcos(r/(2*r_0))$

Quindi $dq = 2*r*theta*sigma*dr$ nel caso di una sola faccia carica e l'integrale diventa

$V = int_0^(2r_0) 1/(4*pi*epsilon_0) (dq)/r = sigma/(2*pi*epsilon_0)*int_0^(2r_0) arcos(r/(2*r_0)) dr$

che integrato fornisce il risultato cercato.

grazie mille!! effettivamente non mi tornava molto l'angolo ma non capivo bene come renderlo funzione del raggio. grazie davvero a tutti e due!!