Potenza di un segnale
Salve a tutti , ho trovato un esercizio un cui si chiedeva di calcolare al potenza di questo segnale
$x(t) = \sum_{k=- infty}^infty rect((t-60kT)/(20T))*sin(2*pi*f_o(t-60KT))$ , dove T è una generica costante
Calcolandolo con la definizione generale di potenza, chiamando P=60T il periodo di x(t):
$P_x = \lim_{P \to \infty} (1/P) int_{-P/2}^{P/2} |x(t)|^2 dt $
ottengo $P_x=1/6$
Dato che questo è un segnale periodico ho provato a calcolarlo anche con la seguente formula
$ 1/P int_{-P/2}^{P/2} |x(t)|^2 dt $
Però il risultato non coincide con quello trovato in precedenza, o meglio ad 1/6 viene sommato un'altra costante.
Volevo chiedervi dove sta l'errore se in uno solo dei due procedimenti o in entrambi?
$x(t) = \sum_{k=- infty}^infty rect((t-60kT)/(20T))*sin(2*pi*f_o(t-60KT))$ , dove T è una generica costante
Calcolandolo con la definizione generale di potenza, chiamando P=60T il periodo di x(t):
$P_x = \lim_{P \to \infty} (1/P) int_{-P/2}^{P/2} |x(t)|^2 dt $
ottengo $P_x=1/6$
Dato che questo è un segnale periodico ho provato a calcolarlo anche con la seguente formula
$ 1/P int_{-P/2}^{P/2} |x(t)|^2 dt $
Però il risultato non coincide con quello trovato in precedenza, o meglio ad 1/6 viene sommato un'altra costante.
Volevo chiedervi dove sta l'errore se in uno solo dei due procedimenti o in entrambi?
Risposte
puoi postare come hai fatto a trovare $1/6$ considerando il segnale semplicemente di potenza?
Forse mi sono spiegato male, perché è attraverso la definizione di potenza che ottengo $P_x=1/6$ mentre considerando il segnale di potenza ottengo un cosa del tipo
$P_x=1/6+(sin(2*pi*f_0*P/6)/P)$
$P_x=1/6+(sin(2*pi*f_0*P/6)/P)$
Forse hai capito male la domanda che ti ho fatto... ti ho chiesto di postare i calcoli passo passo che hai eseguito per trovare $1/6$ tramite la definizione di potenza di un segnale (inteso non periodico).
Per quanto riguarda il calcolo usando la definizione di segnale periodico me risulta $1/P \int_{-P/6}^{P/6} sin^2(2\pi f_0 t) dt = 2/P \int_{0}^{P/6} (1-cos(4\pi f_0 t))/2 dt = 2/P [t/2 - (\sin(4\pi f_0 t))/(8\pi f_0)]_0^{P/6} = 2/P [P/12 - (\sin(4\pi f_0 P/6))/(8\pi f_0)] = 1/6 - 1/6 sinc(4 f_0 P/6)$.
Per quanto riguarda il calcolo usando la definizione di segnale periodico me risulta $1/P \int_{-P/6}^{P/6} sin^2(2\pi f_0 t) dt = 2/P \int_{0}^{P/6} (1-cos(4\pi f_0 t))/2 dt = 2/P [t/2 - (\sin(4\pi f_0 t))/(8\pi f_0)]_0^{P/6} = 2/P [P/12 - (\sin(4\pi f_0 P/6))/(8\pi f_0)] = 1/6 - 1/6 sinc(4 f_0 P/6)$.
I calcoli sono:
$P_x=\lim_{P \to \infty} 1/P \int_{-P/2}^{P/2} (sin(2*pi*f_0+t))^2 dt=$
$=\lim_{P \to \infty} 1/P \int_{-P/6}^{P/6} 1/2 dt - 1/P \int_{0}^{P/6} cos(4*pi*f_0*t) dt$
$=\lim_{P \to \infty} P/(6P) -1/P*sin(4*pi*f_0*(P/6))=1/6$
Dove il secondo termine del limite tende a zero per il teorema del confronto(o carabinieri).
$P_x=\lim_{P \to \infty} 1/P \int_{-P/2}^{P/2} (sin(2*pi*f_0+t))^2 dt=$
$=\lim_{P \to \infty} 1/P \int_{-P/6}^{P/6} 1/2 dt - 1/P \int_{0}^{P/6} cos(4*pi*f_0*t) dt$
$=\lim_{P \to \infty} P/(6P) -1/P*sin(4*pi*f_0*(P/6))=1/6$
Dove il secondo termine del limite tende a zero per il teorema del confronto(o carabinieri).
come fai a dire che $\sum_{k=- infty}^infty rect((t-60kT)/(20T))*sin(2*pi*f_o(t-60KT)) = sin(2\pi f_0 t)$ ? sostanzialmente è questo che stai asserendo con i conti che tu hai fatto... per come mi sono immaginato io il segnale, sono un pezzo di sinusoide larghi $P/3$ (a causa del rect che finestra) ripetuti con periodo $P$... quindi nn sono una sinusoide completa...
Io ho scritto quella funzione integranda perché per il calcolo di $P_x$ ho dovuto integrare tra $-P/2$ e $P/2$ dato che poi il segnale si trova solo tra $-P/6$ e $P/6$
per via del rect.
Quindi mettendo $K=0$ ottieni $rect(t/20)*sin(2*pi*f_0*t)$ che hai fini dell'integrale tra $-P/6$ e $P/6$ è equivalente a $sin(2*pi*f_0*t)$ a meno di un'elevamento al quadrato.
per via del rect.
Quindi mettendo $K=0$ ottieni $rect(t/20)*sin(2*pi*f_0*t)$ che hai fini dell'integrale tra $-P/6$ e $P/6$ è equivalente a $sin(2*pi*f_0*t)$ a meno di un'elevamento al quadrato.
dovresti scrivere per evitare questi errorri $\lim_{A -> \infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} |x(t)|^2 dt$, $A$ è la dimensione della finestra sul quale integri e che vuoi portare a dimensione infinita.... $P$ invece rimane finito poichè è il periodo del segnale!
Nel calcolo della potenza, si considera una versione finestrata del segnale (dunque dovrebbe avere energia) e studi il limite dell'energia del segnale finestrato normalizzata alla dimensione della finestra, con la dimensione della finestra che si spinge all'infinito.
Nel calcolo della potenza, si considera una versione finestrata del segnale (dunque dovrebbe avere energia) e studi il limite dell'energia del segnale finestrato normalizzata alla dimensione della finestra, con la dimensione della finestra che si spinge all'infinito.
ok....quello che dici te credo che sia quello che abbiamo fatto e che ti ho postato sopra(torna 1/6)....quando arriviamo alla fine viene una costante $ -sin(2*pi*f_0*t) $ da calcolare tra $ -P/6 $ e $ P/6 $
se $ P \to \infty $ la parte con il seno, poichè divisa per P, se ne va a zero e ciò che rimane è 1/6....o no?
se $ P \to \infty $ la parte con il seno, poichè divisa per P, se ne va a zero e ciò che rimane è 1/6....o no?
NO perchè quel $P$ che usi tu è il periodo del segnale e non va all'infinito! È per questo motivo che dovresti usare lettere diverse!
$\lim_{A->+\infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} \sum_{k=- infty}^infty rect((t-kP)/(P/3))*sin^2(2*pi*f_o(t-kP)) dt $
a questo punto bisogna studiare cosa succede e non è semplicissimo... ma sicuramente nn si può fare la conclusione che hai fatto tu.
$\lim_{A->+\infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} \sum_{k=- infty}^infty rect((t-kP)/(P/3))*sin^2(2*pi*f_o(t-kP)) dt $
a questo punto bisogna studiare cosa succede e non è semplicissimo... ma sicuramente nn si può fare la conclusione che hai fatto tu.
ho provato a studiare quel limite e torna con l'altra formula... provo a postare i passaggi
in una finestra larga $A$ ci saranno al più $2N+1$ periodi, almeno parzialmente contemplati nell'integrale, dunque... è come studiare
$\lim_{A->+\infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} \sum_{k=- N}^N rect((t-kP)/(P/3))*sin^2(2*pi*f_o(t-kP)) dt $
per i valori di $k \in [-N+1,N-1]$ si hanno periodi del segnale completi nella finestra di integrazione, dunque si avrà un contributo dell'integrale pari a $(2N-1)\int_{-P/6}^{P/6} sin^2(2\pi f_0 t) dt = (2N-1)(P/6 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0))$
per quanto riguarda i valori di $k=\pm N$ invece il contributo dell'integrale è lo stesso per parità della funzione integranda ed è pari a $2\int_{-P/6+N*P}^{A/2} sin^2(2\pi f_0 (t-N*P)) dt = A/2 -(sin(4\pi f_0 (A/2 - N*P)))/(4\pi f_0) + P/6 - N*P - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0)$
il problema è determinare $N$ in funzione di $A$, considerando $A=h*P$ con $h \in \mathbb{N}$ si ha che $N=h/2$
$\lim_{h -> \infty} 1/(h*P) [(h-1)(P/6 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0)) + h*P/2 -(sin(4\pi f_0 (h*P/2 - h*P/2)))/(4\pi f_0) + P/6 - h*P/2 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0)] = \lim_{h -> \infty} 1/(h*P) [(P/6 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0))] = 1/6 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0 P) = 1/6 - 1/6 sinc(4 f_0 P/6)$
o anche considerando direttamente $N=[A/(2P)]$, al limite di $A->\infty$ si ottiene lo stesso risultato, o considerare che al limite $N*P \approx A/2$
in una finestra larga $A$ ci saranno al più $2N+1$ periodi, almeno parzialmente contemplati nell'integrale, dunque... è come studiare
$\lim_{A->+\infty} 1/A \int_{-A/2}^{A/2} \sum_{k=- N}^N rect((t-kP)/(P/3))*sin^2(2*pi*f_o(t-kP)) dt $
per i valori di $k \in [-N+1,N-1]$ si hanno periodi del segnale completi nella finestra di integrazione, dunque si avrà un contributo dell'integrale pari a $(2N-1)\int_{-P/6}^{P/6} sin^2(2\pi f_0 t) dt = (2N-1)(P/6 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0))$
per quanto riguarda i valori di $k=\pm N$ invece il contributo dell'integrale è lo stesso per parità della funzione integranda ed è pari a $2\int_{-P/6+N*P}^{A/2} sin^2(2\pi f_0 (t-N*P)) dt = A/2 -(sin(4\pi f_0 (A/2 - N*P)))/(4\pi f_0) + P/6 - N*P - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0)$
il problema è determinare $N$ in funzione di $A$, considerando $A=h*P$ con $h \in \mathbb{N}$ si ha che $N=h/2$
$\lim_{h -> \infty} 1/(h*P) [(h-1)(P/6 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0)) + h*P/2 -(sin(4\pi f_0 (h*P/2 - h*P/2)))/(4\pi f_0) + P/6 - h*P/2 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0)] = \lim_{h -> \infty} 1/(h*P) [(P/6 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0))] = 1/6 - (sin(4\pi f_0 P/6))/(4\pi f_0 P) = 1/6 - 1/6 sinc(4 f_0 P/6)$
o anche considerando direttamente $N=[A/(2P)]$, al limite di $A->\infty$ si ottiene lo stesso risultato, o considerare che al limite $N*P \approx A/2$
grazie mille, adesso ho capito dove sbagliavo
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