Nyquist e fase partenza
Ciao a tutti.
Ho un problema con i diagrammi polari di Nyquist, in particolare con la fase di partenza nel caso di modulo infinito.
Ho capito che per individuare il quadrante di partenza basta valutare il segno della parte reale e di quella immaginaria, ma non capisco bene in che direzione partire. Mi spiego meglio, supponiamo di avere una funzione
$ G(s)=k/(s^3*(s+1)^2) $
per w->0 il modulo è infinito e fase -3pi/2. la parte reale e quella immaginaria sono entrambi positive (suppongo k>0) quindi parto dal primo quadrante. Ora quel -3pi/2 come mi indica la direzione? Nella mia mente malata quell'angolo indicherebbe di andare partendo da un punto nel primo quadrante in alto a destra verso l'alto a sinistra ma così non è.... come traduco quella fase nella direzione che esatta?
Ho un problema con i diagrammi polari di Nyquist, in particolare con la fase di partenza nel caso di modulo infinito.
Ho capito che per individuare il quadrante di partenza basta valutare il segno della parte reale e di quella immaginaria, ma non capisco bene in che direzione partire. Mi spiego meglio, supponiamo di avere una funzione
$ G(s)=k/(s^3*(s+1)^2) $
per w->0 il modulo è infinito e fase -3pi/2. la parte reale e quella immaginaria sono entrambi positive (suppongo k>0) quindi parto dal primo quadrante. Ora quel -3pi/2 come mi indica la direzione? Nella mia mente malata quell'angolo indicherebbe di andare partendo da un punto nel primo quadrante in alto a destra verso l'alto a sinistra ma così non è.... come traduco quella fase nella direzione che esatta?
Risposte
La direzione la puoi determinare dall'andamento della fase nel diagramma di Bode. Guardando la funzione si nota come la fase cominci a decrescere intorno alla pulsazione [tex]\omega=0.1 \text{ rad/s}[/tex]. Ti sei disegnato i diagrammi di Bode? Sono di grande aiuto.
Non utilizzo i diagrammi di bode perchè all'esame se mi metto a fare anche quello sono fregato, figurati quanto tempo ci perderei. Se cmq non hai un'altra dritta mi spiegheresti meglio come utilizzarli? Nel senso, mi dici che la fase nell'intorno di 0 decresce, quindi come dorei tradurlo nella direzione di partenza?
Non utilizzo i diagrammi di bode perchè all'esame se mi metto a fare anche quello sono fregato, figurati quanto tempo ci perderei. Se cmq non hai un'altra dritta mi spiegheresti meglio come utilizzarli? Nel senso, mi dici che la fase nell'intorno di 0 decresce, quindi come dorei tradurlo nella direzione di partenza?
Non utilizzo i diagrammi di bode perchè all'esame se mi metto a fare anche quello sono fregato, figurati quanto tempo ci perderei. Se comunque non hai un'altra dritta mi spiegheresti meglio come utilizzarli? Nel senso, mi dici che la fase nell'intorno di 0 decresce, quindi come dovrei tradurlo nella direzione di partenza?
Ok se non intendi disegnarli spero che quantomeno tu sappia come si faccia. Se si, la risposta è immediata. Infatti, un polo triplo nell'origine ti fa partire con una fase pari a [tex]-\frac{3\pi}{2}[/tex] ([tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] per ogni polo); il polo in [tex]\omega=1[/tex] comincia ad avere influenza a partire da [tex]\omega=0.1[/tex], ovvero una decade prima e termina il suo effetto una decade dopo, in corrispondenza della pulsazione [tex]\omega=10[/tex]. L'effetto è di un ritardo doppio (perchè il polo è doppio) a quello di uno singolo ovvero ritarda di 180°. La fase finale dovrebbe venire [tex]-\frac{5\pi}{2}[/tex]. Sul diagramma di Nyquist questo si traduce in uno spostamento 1°-4° quadrante (la fase diventa sempre più negativa).
Se lo vuoi dimostrare matematicamente allora:
[tex]G(j\omega)=\frac{k}{(j\omega)^3(1+j\omega)^2}[/tex]
[tex]ph\{G(j\omega)\}=-\frac{3\pi}{2}-2\arctan(\omega)}[/tex]
Da quest'ultima relazione, sostituendo i vari valori ad [tex]\omega[/tex], puoi facilmente capire tutte le considerazioni che ho fatto.
Se lo vuoi dimostrare matematicamente allora:
[tex]G(j\omega)=\frac{k}{(j\omega)^3(1+j\omega)^2}[/tex]
[tex]ph\{G(j\omega)\}=-\frac{3\pi}{2}-2\arctan(\omega)}[/tex]
Da quest'ultima relazione, sostituendo i vari valori ad [tex]\omega[/tex], puoi facilmente capire tutte le considerazioni che ho fatto.
Ok perfetto, ora mi è più chiaro l'utilizzo di Bode per i diagrammi di Nyquist.
Giusto per capire se il tuto mi è chiaro, se per assurdo la fase aumentasse, lo spostamento avverrebbe nella direzione del secondo quadrante?
Giusto per capire se il tuto mi è chiaro, se per assurdo la fase aumentasse, lo spostamento avverrebbe nella direzione del secondo quadrante?
Si.
ok grazie mille.
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