Network Design Principles - Queueing Modelling
Ciao a tutti, chiedo il vostro aiuto nel determinare i parametri in gioco in questo esempio svolto.
Si tratta di modellizzare i sistemi a coda, quindi si parla di tassi di arrivo, tassi di servizio, catene di Markov, ecc.
I parametri che cerco sono $\lambda$ (arrival rate) e $\mu$ (service rate), che, in questo esempio, non sto riuscendo ad individuare. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie
"A trading company is installing a new 300-line PBX to replace its old existing over-crowded one. The new PBX will have a group of two-way external circuits and the outgoing and incoming calls will be split equally among
them. It has been observed from past experience that each internal telephone usually generated (call or receive) 20 minutes of voice traffic during a typical busy day. How many external circuits are required to ensure a blocking probability of 0.02?"
Solution
"In order for the new PBX to handle the peak load during a typical busy hour, we assume that the busy hour traffic level constitutes about 14% of a busy day’s traffic.
Hence the total traffic presented to the PBX:
$300 xx 20 xx 14% -: 60
= 14 erlangs$"
l'esempio continua usando la formula di Erlang-B per calcolare la blocking probability, ma ciò che non capisco è quella moltiplicazione:
credo sia il carico di traffico nell'ora di picco a cui è sottoposto il sistema,
300 linee per 20 minuti (traffico giornaliero) per 14% (traffico nell'ora di picco), e quel /60?
Si tratta di modellizzare i sistemi a coda, quindi si parla di tassi di arrivo, tassi di servizio, catene di Markov, ecc.
I parametri che cerco sono $\lambda$ (arrival rate) e $\mu$ (service rate), che, in questo esempio, non sto riuscendo ad individuare. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie
"A trading company is installing a new 300-line PBX to replace its old existing over-crowded one. The new PBX will have a group of two-way external circuits and the outgoing and incoming calls will be split equally among
them. It has been observed from past experience that each internal telephone usually generated (call or receive) 20 minutes of voice traffic during a typical busy day. How many external circuits are required to ensure a blocking probability of 0.02?"
Solution
"In order for the new PBX to handle the peak load during a typical busy hour, we assume that the busy hour traffic level constitutes about 14% of a busy day’s traffic.
Hence the total traffic presented to the PBX:
$300 xx 20 xx 14% -: 60
= 14 erlangs$"
l'esempio continua usando la formula di Erlang-B per calcolare la blocking probability, ma ciò che non capisco è quella moltiplicazione:
credo sia il carico di traffico nell'ora di picco a cui è sottoposto il sistema,
300 linee per 20 minuti (traffico giornaliero) per 14% (traffico nell'ora di picco), e quel /60?
Risposte
"MrMojoRisin89":
e quel /60?
Per convertire i minuti in ore?
Giusto 
Quindi sarebbe $\lambda = 300xx14%-:60$ e $\bar x = 1/mu = 20$ ?
Quindi sarebbe $\lambda = 300xx14%-:60$ e $\bar x = 1/mu = 20$ ?
"MrMojoRisin89":
Giusto
Quindi sarebbe $\lambda = 300xx14%-:60$
E non $300 * 14% * 20/60$?
ma allora $\mu$ quanto varrebbe? (sto partendo dalla definizione di intensità di traffico, espressa in erlangs: $\alpha = \lambda \bar x = \lambda \mu$)
"MrMojoRisin89":
ma allora $\mu$ quanto varrebbe? (sto partendo dalla definizione di intensità di traffico, espressa in erlangs: $\alpha = \lambda \bar x = \lambda \mu$)
Non ne so nulla. Ma il traffico in Erlang su una linea è la frazione del tempo che la linea è occupata. Quindi se è occupata per 20 minuti al giorno, ma 14% di questi minuti sono nella busy hour, in quell'ora la linea è occupata una frazione $(0,14*20)/60$ del tempo, no? E hai 300 linee.
Chiarissimo. Provo a spiegare da dove nasce la mia confusione.
Si definisce utilizzazione ($\rho$) il rapporto, come giustamente hai detto, del tempo che un server è occupato sul totale del tempo disponibile:
$\rho = (text{Time a server is busy}) / (text{Time available}) = (\lambda T//m xx 1//\mu) / T = \lambda/(m\mu)$
dove $\lambda$ è il tasso di arrivi, $\mu$ è il tasso di servizio (che è il reciproco di $\bar x$, tempo di servizio), $m$ è il numero di server paralleli, $T$ è l'intervallo di tempo in questione.
Esprime una misura di quanto la risorsa sia occupata.
Si definisce inoltre intensità di traffico ($\alpha$) il prodotto tra tasso di arrivi e tempo di servizio:
$\alpha = \lambda \bar x = \lambda / \mu$
Esprime una misura del traffico totale di arrivo al sistema visto come un tutt'uno.
Entrambe sono quantità adimensionali espresse in erlangs, e sono strettamente correlate.
Le definizioni sono prese da qui, capitolo 2.5, pagina 56.
La differenza quindi sta nel considerare i singoli server o guardare al sistema come a una scatola nera, senza preoccuparci del numero dei server.
È guardando a queste definizioni che vorrei cercare di capire quanto valgano $\lambda$ e $bar x$ (o $\mu$).
Credo che si possa considerare $\lambda = 300$ (arrivano 300 chiamate al giorno di 20 minuti l'una, anche se potrebbero arrivarne 600 da 10 minuti, ma per modellizzare va bene così) e $\bar x = 20 min$ (ogni chiamata viene processata in 20 minuti). Credi sia corretto?
Si definisce utilizzazione ($\rho$) il rapporto, come giustamente hai detto, del tempo che un server è occupato sul totale del tempo disponibile:
$\rho = (text{Time a server is busy}) / (text{Time available}) = (\lambda T//m xx 1//\mu) / T = \lambda/(m\mu)$
dove $\lambda$ è il tasso di arrivi, $\mu$ è il tasso di servizio (che è il reciproco di $\bar x$, tempo di servizio), $m$ è il numero di server paralleli, $T$ è l'intervallo di tempo in questione.
Esprime una misura di quanto la risorsa sia occupata.
Si definisce inoltre intensità di traffico ($\alpha$) il prodotto tra tasso di arrivi e tempo di servizio:
$\alpha = \lambda \bar x = \lambda / \mu$
Esprime una misura del traffico totale di arrivo al sistema visto come un tutt'uno.
Entrambe sono quantità adimensionali espresse in erlangs, e sono strettamente correlate.
Le definizioni sono prese da qui, capitolo 2.5, pagina 56.
La differenza quindi sta nel considerare i singoli server o guardare al sistema come a una scatola nera, senza preoccuparci del numero dei server.
È guardando a queste definizioni che vorrei cercare di capire quanto valgano $\lambda$ e $bar x$ (o $\mu$).
Credo che si possa considerare $\lambda = 300$ (arrivano 300 chiamate al giorno di 20 minuti l'una, anche se potrebbero arrivarne 600 da 10 minuti, ma per modellizzare va bene così) e $\bar x = 20 min$ (ogni chiamata viene processata in 20 minuti). Credi sia corretto?
"MrMojoRisin89":
È guardando a queste definizioni che vorrei cercare di capire quanto valgano $\lambda$ e $bar x$ (o $\mu$).
Credo che si possa considerare $\lambda = 300$
Ammetto che questo non è un argomento che conosco molto bene.
$\lambda$ non è $300 * 0,14 * 20/60$? Il traffico generato in qualche modo dalle tue linee interne nella busy hour?
A questo punto bisogna dimensionare la linea esterna in modo da avere la blocking probability specificata nell'esercizio. Hai qualcosa come https://www.accessengineeringlibrary.co ... /appendix1 ?
"MrMojoRisin89":
$\bar x = 20 min$ (ogni chiamata viene processata in 20 minuti). Credi sia corretto?
Se qualcuno prova a telefonare e non c'è una linea esterna disponibile, la chiamata fallisce subito. Almeno nei modelli usuali, credo. Non aspetti 20 minuti al telefono per una linea libera.
Vedi pagina 129 nel tuo documento.
300 sarebbero le chiamate andate a buon fine, quelle che interessano a noi, che in una giornata il sistema gestisce, le altre vengono considerate respinte dal sistema e non ci interessa saperne di più (credo).
Ho visto quel testo che hai linkato ma mi sembra un livello più tecnico e più avanzato, per applicazioni pratiche. Il mio libro è un'introduzione all'argomento.
Proprio la formula di $P_b$ a pagina 130 viene usata successivamente nell'esempio, e, al posto di $m\rho$ mette il valore 14. Siccome $m\rho = \lambda/\mu$, torna che 14 sia uguale al rapporto tra $\lambda$ e $\mu$, non solo a $\lambda$. Quindi, qual è $\lambda$ e quale è $\mu$?
Ho visto quel testo che hai linkato ma mi sembra un livello più tecnico e più avanzato, per applicazioni pratiche. Il mio libro è un'introduzione all'argomento.
Proprio la formula di $P_b$ a pagina 130 viene usata successivamente nell'esempio, e, al posto di $m\rho$ mette il valore 14. Siccome $m\rho = \lambda/\mu$, torna che 14 sia uguale al rapporto tra $\lambda$ e $\mu$, non solo a $\lambda$. Quindi, qual è $\lambda$ e quale è $\mu$?
"MrMojoRisin89":
300 sarebbero le chiamate andate a buon fine, quelle che interessano a noi,
Assolutamente no.
Giusto. Ogni linea genera 20 minuti di traffico voce al giorno, che è diverso da quanto avevo detto. Questi 20 minuti, quindi, non sono neanche il tempo di servizio. Va preso come traffico generato e basta, non è specificato come, non sappiamo il numero di chiamate in arrivo al giorno né quanto tempo in media duri una chiamata. È un prodotto e può essere il risultato di diverse coppie di fattori.
"MrMojoRisin89":
Giusto. Ogni linea genera 20 minuti di traffico voce al giorno, che è diverso da quanto avevo detto.
E nemmeno "20 minuti". Più "mediamente/tipicamente intorno a 20 minuti"
Sì, è un valore medio. Grazie per gli interessanti spunti di riflessione. A presto
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