Momento di inerzia semisfera cava

[mulo1990]

Salve, non mi riesce calcolare il momento di inerzia a causa di un errore iniziale. Infatti il libro mi consiglia di trovare prima di tutto il centro di massa. Con riferimento alla terna $(O;x,y,z)$, con l'origine O coincidente con il centro della sfera riferito alla semisfera, con l'asse z diretto secondo l'asse della semisfera e gli assi x e y nel piano base della semisfera e sia $(Po;Xo,Yo,Zo)$ la terna con centro nel centro di massa.
Secondo lui il centro di massa si trova a $Zo=R/2$, mentre secondo il miei calcoli torna $Zo=R/3$, di seguito riporto i miei calcoli:
$x^2+y^2+z^2=R^2$ $\Rightarrow$ $x^2+y^2=R^2-z^2$ quindi il raggio che varia al variare dell'altezza sara dato da $sqrt(R^2-z^2) $
$m (semi sfera)=(\rho 4piR^2)/2=\rho2piR^2$
scrivo quindi l'equazione per trovare il centro di massa:
$mZo=int_(C)^() z dC$
siccome $m (circonferenza)=\rho2pir=\rho2pisqrt(R^2-z^2) $ allora:
$\rho2piR^2Zo=int_(0)^(R) \rho2pisqrt(R^2-z^2) z dz$
$\rho2piR^2Zo=\rho2piint_(0)^(R) sqrt(R^2-z^2) z dz$
svolgo l'integrale per sostituzione: $u=R^2-z^2 \Rightarrow du=-2zdz$ quindi:
$\rho2piR^2Zo=-\rhopiint_(0)^(R)sqrt(u)du$
$\rho2piR^2Zo=-\rhopi2/3(R^2-z^2)^(3/2)\|_0^R \$
$\rho2piR^2Zo=\rhopi2/3R^3$
$Zo=(\rhopi2/3R^3)/(\rho2piR^2)=(R)/3$
Errore mio o del libro? Grazie

[Quinzio]

Errore del libro.
E' evidente che il centro di massa non può essere a metà del raggio.

[mulo1990]

Come faccio a vedere che il centro di massa di una superficie semisferica non è a $R/2$, riesco a immaginarlo per una semisfera piena ma non per una cava. Grazie.

[ELWOOD1]

è intuibile dal fatto che anche il baricentro di una semicirconferenza non è a $R/2$