Modulazione d'angolo (3)

[Kroldar]

Consideriamo il seguente segnale modulato in angolo:

$u(t) = A_c cos(2pif_ct+betasin(2pif_mt))$

Sviluppando in serie di Fourier questo segnale si ottiene una serie di soli coseni, i cui coefficienti sono dati dalle funzioni di Bessel. Lo spettro di fase del segnale modulato dovrebbe essere nullo.

Proviamo ora a cambiare un po' le cose e considerare un altro segnale modulato in angolo:

$u(t) = A_c cos(2pif_ct+betacos(2pif_mt))$

Questo segnale può essere ottenuto modulando in fase se prima si modulava in frequenza o viceversa o ancora sfasando di $pi/2$ il segnale che modula la portante.

Nel secondo caso cosa succede se si sviluppa in serie di Fourier?
A occhio direi che i coefficienti sono ancora le funzioni di Bessel e la serie, anziché essere in soli coseni, sarà in soli seni... in tal modo lo spettro di ampiezza del segnale modulato resterà invariato, mentre lo spettro di fase varrà costantemente $-pi/2$.

Sono molto gradite conferme e/o smentite...

[_luca.barletta]

il risultato è:

$u(t)=A_csum_(n=-infty)^(+infty) J_n(beta)cos(2pif_ct+n*2pif_mt+npi/2)$

dove $J_n()$ è la funzione di Bessel di prima specie e ordine n

[Kroldar]

Secondo i miei conti doveva venire

$u(t)=A_csum_(n=-infty)^(+infty) J_n(beta)cos(2pif_ct+n*2pif_mt+pi/2) = A_csum_(n=-infty)^(+infty) J_n(beta)sin(2pif_ct+n*2pif_mt)$

Potresti mostrarmi i passaggi che hai fatto?

[_luca.barletta]

I conti sono molto barbosi, tant'è che i libri riportano quel risultato come 'noto' senza dimostrazione, per dimostrarlo può essere utile ragionare con gli equivalenti passa basso. Ti posso dire che il tuo ragionamento non può essere corretto perché u(t) non è una funzione dispari, e quindi non può essere espressa come serie di soli seni.

[_luca.barletta]

Ecco la mia dimostrazione:
inviluppo complesso di $u(t)$, $u_(LP)(t)$, è uguale a:
$u_(LP)(t)=A_ce^(jbeta*cos(omega_m*t))$
periodico di periodo $T_m=(2pi)/(omega_m)$ e quindi sviluppabile in serie di Fourier. Calcolo i coefficienti $c_n$ di Fourier:
$c_n=(omega_m)/(2pi)int_(-pi/omega_m)^(pi/omega_m) A_c*e^(-j(nomega_mt-betacos(omega_mt)))dt=$
$=(omega_m)/(2pi)int_(-pi/omega_m)^(pi/omega_m) A_c*e^(-j(nomega_mt-betasin(omega_mt+pi/2)))dt$

ora faccio un cambio di variabile $v=omega_mt+pi/2$, dunque $dt=1/omega_m*dv$:
$=1/(2pi)int_a^(a+2pi) A_c*e^(-j(n(v-pi/2)-betasin(v)))dv=1/(2pi)e^(jnpi/2)int_a^(a+2pi) A_c*e^(-j(nv-betasin(v)))dv=A_c*e^(jnpi/2)J_n(beta)$

tornando al segnale passa banda:
$u(t)=A_csum_(n=-infty)^(+infty) J_n(beta)cos(omega_ct+n*omega_mt+npi/2)$

[Kroldar]

Ok grazie... speravo in qualcosa di più simile al caso sinusoidale, mentre quando c'è il coseno lo spettro di fase non è più uniforme, data l'alternanza di seni e coseni...