Modi di una funzione di trasferimento

[bibus12]

Ciao a tutti, avrei un problema, probabilmente banale ma non riesco a capire come ricavare i modi a partire da una funzione di trasferimento. So come comportarmi se ho poli complessi ma se i poli fossero non solo complessi ma con molteplicità n. In un esercizio svolto ho compreso che per esempio il modo del polo $ (s + 7)^{3} $ e' uguale a :
$ t \cdot e^{-7t} $
$ t^{2} \cdot e^{-7t} $
$ e^{-7t} $
Ma non riesco a capire il motivo , invece di andare a memoria vorrei capire quale regola e' stata applicata, e come questa cambia a seconda dei tipi di poli ottenuti dalla funzione. La funzione dalla quale ho preso l'esempio precedente e' questa:
$ ( (s+10) \cdot ( ((s+2)^{2} ) + 4.1 )) / ( (s+7)^{3} \cdot (s+6)^{2} \cdot ( (s+4)^{2} + 9) \cdot ( (s+2)^{2} + 4)) $
Grazie mille in anticipo

[Nietzsche610]

Puoi scomporre la funzione di trasferimento $T(s)$ in fratti elementari; più precisamente, per quanto riguarda il fattore $(s+7)^3$, cioè lasciando perdere per il momento il resto, avrai tre fratti del tipo:

$A/(s+7)^3+B/(s+7)^2+C/(s+7)$.

Per la regola, sfruttando la linearità della trasformata di Laplace, ricordando che:

$\mathcal(L){e^(\alphat)f(t)}(s)=\mathcal(L){f(t)}(s-\alpha)$

$\mathcal(L){t^n/(n!)f(t)}(s)=(-1)^nd^n/(ds^n)[\mathcal(L){f(t)}(s)]$,

ottieni:

$\mathcal(L){t^n/(n!)e^(\alphat)f(t)}=(-1)^nd^n/(ds^n)[\mathcal(L){f(t)}(s-\alpha)]$.

Spero di esserti stato d'aiuto!

[bibus12]

Grazie mille oer l'aiuto e' stato molto utile!