Metodo del riciclo
Salve ragazzi. Stamattina mentre facevo degli esercizi sulle trasformate di fourier di segnali periodici mi sono imbattuto in questo metodo che non conosco affatto. Ho controllato sul mio libro ma non c'è scritto nulla in merito. Sareste cosi gentili da indicarmi un testo o un link su cui posso studiarlo?
Grazie in anticipo
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Ingegneria.[/xdom]
Grazie in anticipo
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Risposte
Mai sentito. Prova a scrivere qualcosa in merito tirato fuori dal tuo libro, magari lo conosco sotto diverso nome.
Ciao. L'argomento è sulle trasformate di Fourier. Stamattina stavo facendo degli esercizi e sul libro c'era scritto che la trasformata di una funzione poteva essere calcolata anche con questo metodo ma il mio libro usa la formula che mette in relazione la trasformata di Fourier con quella di Laplace ed è abbastanza antipatica da usare in certe occasioni. Credo che il metodo consista nel derivare in senso distribuzionale il segnale e poi farne la trasformata, ma vorrei esserne sicuro e soprattutto vorrei studiarmi il teorema.
La trasformata di Fourier si ottiene da quella di Laplace calcolando quest'ultima sull'asse immaginario, non è complicato (facendo le dovute considerazioni sulla zona di convergenza). Forse il libro si riferisce a questo, calcoli prima la trasformata di Laplace della funzione, e poi fai la sostituzione $s=j*omega$.
In pratica il metodo del riciclo non è altro che derivare nel senso delle distribuzione per poi applicare il teorema di campionamento. Ti faccio un esempio:
Considetaro il segnale:
$ X(t)= sint [u(t)-u(t+pi)] $ di periodo $ T= 2pi $
DERIVO NEL SENSO DELLE DISTRIBUZIONI FINO A QUANDO NON RIMANGONO SOLE DELTA:
$ X'(t) = cost [u(t)-u(t+pi)] + sint [δ(t)-δ(t+pi)] $ Applico la proprietà di campionamento al secondo membro ed ottengo:
$ X'(t) = cost [u(t)-u(t+pi)] + sint [δ(t)-δ(t+pi)] =X'(t) = cost [u(t)-u(t+pi)] + sint(0) -sin(-pi) = X'(t) = cost [u(t)-u(t+pi)] $
$ X''(t) = -sent [u(t)-u(t+pi)] + cost[δ(t)-δ(t+pi)] =( -X(t) + δ(t) + δ(t+pi) ) $
Avendo tutte delta non derivo piu; Ora Trasformo:
$ (-iw)^2 X(w)=-X(t) + 1+ e^{ iwpi} $ => $ X(w) = [(1 + e^{iwpi })/(1-w^2)] w != \pm 1 $
E poi ci sono anche altri modi, sfruttare la relazione che c'é tra la L-Trasf e la F-Trasf, applicare la definizione (quella che preferisco poichè non impieghi molto tempo con i calcoli) oppure il metodo del riciclo.
Considetaro il segnale:
$ X(t)= sint [u(t)-u(t+pi)] $ di periodo $ T= 2pi $
DERIVO NEL SENSO DELLE DISTRIBUZIONI FINO A QUANDO NON RIMANGONO SOLE DELTA:
$ X'(t) = cost [u(t)-u(t+pi)] + sint [δ(t)-δ(t+pi)] $ Applico la proprietà di campionamento al secondo membro ed ottengo:
$ X'(t) = cost [u(t)-u(t+pi)] + sint [δ(t)-δ(t+pi)] =X'(t) = cost [u(t)-u(t+pi)] + sint(0) -sin(-pi) = X'(t) = cost [u(t)-u(t+pi)] $
$ X''(t) = -sent [u(t)-u(t+pi)] + cost[δ(t)-δ(t+pi)] =( -X(t) + δ(t) + δ(t+pi) ) $
Avendo tutte delta non derivo piu; Ora Trasformo:
$ (-iw)^2 X(w)=-X(t) + 1+ e^{ iwpi} $ => $ X(w) = [(1 + e^{iwpi })/(1-w^2)] w != \pm 1 $
E poi ci sono anche altri modi, sfruttare la relazione che c'é tra la L-Trasf e la F-Trasf, applicare la definizione (quella che preferisco poichè non impieghi molto tempo con i calcoli) oppure il metodo del riciclo.
"Mysteri":
applicare la definizione (quella che preferisco poichè non impieghi molto tempo con i calcoli)
Naaa.... partendo dalla definizione ci metti ore... Molto meglio usare le proprietà della trasformata o il "metodo del riciclo" (mai sentito chiamare così, cos'è, una nomenclatura napoletana?
)
AHahahahha a Napoli abbiamo molta inventiva 
Ok grazie mille Mysteri..in sostanza è il metodo che applico ma non sapevo si chiamasse cosi xD. Comunque se ho problemi posto qui. Grazie ancora. 
Ne approfitto per farti un altra domanda: quando devo applicare la formula del teorema di campionamento, come faccio a capire quali sono i punti che devo escludere dal campionamento?
Mi spiego meglio: con il tuo esempio io ho che $X(\omega)=(1+e^(j\omega\pi))/(1-\omega^2)$, so che questa funzione ha in $\omega=+-1$ dei punti di discontinuità. Come faccio a capire se vale la pena calcolare il valore della trasformata nei punti oppure se non mi servono ai fini del campionamento?
Spero di essere stato abbastanza chiaro. Grazie in anticipo.
Ne approfitto per farti un altra domanda: quando devo applicare la formula del teorema di campionamento, come faccio a capire quali sono i punti che devo escludere dal campionamento?
Mi spiego meglio: con il tuo esempio io ho che $X(\omega)=(1+e^(j\omega\pi))/(1-\omega^2)$, so che questa funzione ha in $\omega=+-1$ dei punti di discontinuità. Come faccio a capire se vale la pena calcolare il valore della trasformata nei punti oppure se non mi servono ai fini del campionamento?
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Grazie in anticipo.
Si ho capito cosa intendi, allora in pratica i punti di $ X_0 ( \pm1) $ in questo caso intervengono poichè se calcoli il valore medio del segnale in zero avrai 2 (cioè un valore) quindi ha senso considerarli, a differenza, qualora avessi avuto un $ cost $ , $ t in [(-pi)/2, pi/2] $ avresti comunque generato una trasformata che avrebbe avuto a denominatore $ 1-w^2 $ ma il valore di questo segnale in $ X_0 (0)=0 $, dove i punti di $ X_0 ( \pm1) $ non intervengono. Non so se sono stato abbastanza chiaro.
Non so se sono stato abbastanza chiaro.
Ehm...no! Cioè ho capito fino ad un certo punto. Potresti essere più chiaro? Non ho capito cosa c'entra lo 0. A me interessa vedere come si comporta la trasformata nei punti in cui non esiste. Prendendo per esempio quello postato da te, la trasformata esiste nell'origine quindi il campionamento è facile ed è 2 come giustamente dici, ma a me interessa campionare nei punti di discontinuità e, soprattutto, capire se ne vale la pena, sai non voglio che durante il compito possa impelegarmi in conti inutili. 
Allora in questo caso ha senso calcolarla e $ X_0 ( \pm1)=\pm(i(pi)/2) $
Per capire se vale la pena calcolare la trasformata nei punti di discontinuità devi comunque verificare l' esistenza della trasformata nell' origine, poichè se essa non esiste non ha senso considerare la trasformata nei punti di discontinuità. Per questo si dice che non intervengono nel campionamento i valori esclusi $w=\pm1$ .
Per capire se vale la pena calcolare la trasformata nei punti di discontinuità devi comunque verificare l' esistenza della trasformata nell' origine, poichè se essa non esiste non ha senso considerare la trasformata nei punti di discontinuità. Per questo si dice che non intervengono nel campionamento i valori esclusi $w=\pm1$ .
Ahhh..credo di aver capito. Cioè in sostanza io devo calcolare i valori della trasformata solo nei punti di discontinuità e non nei punti in cui non esiste. Cioè per esempio:
$x(t)=\{(sint; -\pi/2
io l'ho diviso in due segnali, di cui uno mi da come trasformata: $X_1(\omega)=-(j\omega e^(j\pi/2\omega)+1)/(1-\omega^2)$
e l'altro: $X_2(\omega)=(e^(-j\pi/2\omega)-1)/(j\omega^3)$.
Il mio prof mi ha spiegato che per quanto riguarda la prima trasformata non bisogna calcolarne i valori nei punti $\omega=+-1$ mentre per la seconda si. Ora suppongo che per la prima non bisogna fare tutto ciò per il semplice motivo che, per questo segnale, i punti 1 e -1 non sono di discontinuità giusto?
$x(t)=\{(sint; -\pi/2
io l'ho diviso in due segnali, di cui uno mi da come trasformata: $X_1(\omega)=-(j\omega e^(j\pi/2\omega)+1)/(1-\omega^2)$
e l'altro: $X_2(\omega)=(e^(-j\pi/2\omega)-1)/(j\omega^3)$.
Il mio prof mi ha spiegato che per quanto riguarda la prima trasformata non bisogna calcolarne i valori nei punti $\omega=+-1$ mentre per la seconda si. Ora suppongo che per la prima non bisogna fare tutto ciò per il semplice motivo che, per questo segnale, i punti 1 e -1 non sono di discontinuità giusto?
Bravissimo, poiche per quanto riguarda la prima trasformata $ lim_(w->0) X(w) =0 $ (per quello che intendeva il prof) quindi i punti $ \pm1 $ non intervengono, andrai a calcolare $ X_0 (0) $ solo per la seconda trasformata ( ho cercato di scriverlo in maniera chiara ).
Ah ok. Grazie mille
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