Metodi per disegnare nocciolo centrale d'inerzia
Vorrei un consiglio, perchè ho trovato diversi metodi per disegnare il nocciolo
1- metodo grafico, un po' spreciso se si fa ad occhio e con soltanto un righello
2- calcolo delle coordinate dei vertici del nocciolo sapendo che sono queste
(le ho trovate su una dispensa in internet) , dove a e b sono i coefficienti della retta che vado a considerare mentre A è l'area totale della sezione.
Questo mi sembra il metodo più sbrigativo!
3- calcolare le posizioni dei vertici mediante
come fa il mio professore, solo che con questo mi trovo un po' in difficoltà perchè mi dice che R1 è il punto di tangenza della retta r con la mia figura.
Qui sorge il mio dubbio, perchè prima stavo facendo un'esercizio dove avevo una sezione a L.
Ho messo tutte le rette che avviluppano la sezione, e ho iniziato a studiare quella in basso. E lì mi sono chiesta "ma dov'è il punto di tangenza di una retta con un'altra retta???"
Il professore in un'esercizio con una sezione rettangolare aveva usato questo metodo e piazzato il punto di tangenza a metà lato ... però qui non posso farlo.
Mi date delucidazioni?
Questo è il disegno dell'esercizio
1- metodo grafico, un po' spreciso se si fa ad occhio e con soltanto un righello
2- calcolo delle coordinate dei vertici del nocciolo sapendo che sono queste
(le ho trovate su una dispensa in internet) , dove a e b sono i coefficienti della retta che vado a considerare mentre A è l'area totale della sezione.
Questo mi sembra il metodo più sbrigativo!
3- calcolare le posizioni dei vertici mediante
come fa il mio professore, solo che con questo mi trovo un po' in difficoltà perchè mi dice che R1 è il punto di tangenza della retta r con la mia figura.Qui sorge il mio dubbio, perchè prima stavo facendo un'esercizio dove avevo una sezione a L.
Ho messo tutte le rette che avviluppano la sezione, e ho iniziato a studiare quella in basso. E lì mi sono chiesta "ma dov'è il punto di tangenza di una retta con un'altra retta???"
Il professore in un'esercizio con una sezione rettangolare aveva usato questo metodo e piazzato il punto di tangenza a metà lato ... però qui non posso farlo.
Mi date delucidazioni?
Questo è il disegno dell'esercizio
Risposte
"Yumina92":
Vorrei un consiglio, perchè ho trovato diversi metodi per disegnare il nocciolo
………..
Ho messo tutte le rette che avviluppano la sezione, e ho iniziato a studiare quella in basso. E lì mi sono chiesta "ma dov'è il punto di tangenza di una retta con un'altra retta???"
Il professore in un'esercizio con una sezione rettangolare aveva usato questo metodo e piazzato il punto di tangenza a metà lato ... però qui non posso farlo.
Mi date delucidazioni?
………..
Il punto di tangenza di una retta con un segmento….è tutto il segmento!!! Sono infiniti punti.
Anche il tuo prof, lo ha messo a metà lato nel suo rettangolo, ma non significa niente….lo poteva mettere pure alla fine del lato!
Però scusa, a seconda di dove lo metto cambierà la distanza GR' no?
Cioè magari lo metto proprio sulla stessa ascissa che ha anche G, allora magari avrò una distanza GR' = 5 .... se invece lo metto un po' più in là avrà distanza GR' = 6,2 per esempio, e allora cambia tutto!
Cioè magari lo metto proprio sulla stessa ascissa che ha anche G, allora magari avrò una distanza GR' = 5 .... se invece lo metto un po' più in là avrà distanza GR' = 6,2 per esempio, e allora cambia tutto!
Grazie Elwood per il tuo intervento.
Il contorno del nocciolo è il luogo degli antipoli delle rette tangenti al contorno della figura,la polarità è determinata rispetto all' ellisse centrale di inerzia, giusto ? Allora, prendi ad esempio la retta $a$ di base della sezione che hai disegnato, e conduci per il centro dell'ellisse $G$ la parallela $x_0$ a tale base, che taglia l'ellisse in due punti. La direzione coniugata di $a$ è la direzione della tangente all'ellisse in questi punti di intersezione. Il diametro coniugato $y_0$ passa per $G$ e ha la direzione coniugata detta.
L'antipolo $A$ della retta $a$ è sul diametro $y_0$ coniugato di $a$. Per trovarlo, chiama $y'$ è la distanza della retta $a$ dal diametro $x_0$ parallelo alla retta tangente, misurata nella direzione $y_0$ : in pratica, è la distanza tra $G$ e la retta $a$, presa però lungo $y_0$.
La distanza $GA = w' $ del punto $A$ da $G$, distesa su $y_0$ si ricava dalla relazione : $w' = (\rho_(x0)^2) / (y') $ dove $\rho_(x0)$ è il raggio di inerzia relativo a $x_0$.
In altri termini, $\rho_(x0)$ è medio proporzionale tra $w'$ e $y'$ .
Ho detto bene Elwood ? Correggimi se sbaglio, perché non mi ricordo bene….
Il contorno del nocciolo è il luogo degli antipoli delle rette tangenti al contorno della figura,la polarità è determinata rispetto all' ellisse centrale di inerzia, giusto ? Allora, prendi ad esempio la retta $a$ di base della sezione che hai disegnato, e conduci per il centro dell'ellisse $G$ la parallela $x_0$ a tale base, che taglia l'ellisse in due punti. La direzione coniugata di $a$ è la direzione della tangente all'ellisse in questi punti di intersezione. Il diametro coniugato $y_0$ passa per $G$ e ha la direzione coniugata detta.
L'antipolo $A$ della retta $a$ è sul diametro $y_0$ coniugato di $a$. Per trovarlo, chiama $y'$ è la distanza della retta $a$ dal diametro $x_0$ parallelo alla retta tangente, misurata nella direzione $y_0$ : in pratica, è la distanza tra $G$ e la retta $a$, presa però lungo $y_0$.
La distanza $GA = w' $ del punto $A$ da $G$, distesa su $y_0$ si ricava dalla relazione : $w' = (\rho_(x0)^2) / (y') $ dove $\rho_(x0)$ è il raggio di inerzia relativo a $x_0$.
In altri termini, $\rho_(x0)$ è medio proporzionale tra $w'$ e $y'$ .
Ho detto bene Elwood ? Correggimi se sbaglio, perché non mi ricordo bene….
Si , avevo già letto quella discussione ma i dubbi mi erano rimasti.
La tua spiegazione l'ho capita, so bene cosa è il nocciolo ma penso di avere un po' di difficoltà a trovare la direzione su cui deve stare l'antipolo della retta che sto considerando perchè sono un po' confusa riguardo alla definizione di "direzione coniugata".
Ad esempio, per la retta obliqua di destra (quella così \ ) , vale lo stesso ragionamento che hai fatto tu ?
La tua spiegazione l'ho capita, so bene cosa è il nocciolo ma penso di avere un po' di difficoltà a trovare la direzione su cui deve stare l'antipolo della retta che sto considerando perchè sono un po' confusa riguardo alla definizione di "direzione coniugata".
Ad esempio, per la retta obliqua di destra (quella così \ ) , vale lo stesso ragionamento che hai fatto tu ?
Si, vale la stessa procedura.
Data un'ellisse, e tracciato un diametro, questo incontra la curva in due punti. LA "direzione coniugata" di questo diametro è quella delle tangenti all'ellisse nei due punti detti.
Sai come si trova la tangente in un punto di una curva, in coordinate cartesiane?
Vale questa regola:
data una curva piana di equazione $f(x,y) = 0$, la tangente in un suo punto $A$ è data da :
$((partialf)/(partialx))_A*(x-x_A) +((partialf)/(partialy))_A*(y-y_A) = 0 $
Quindi, detta $f(x,y) = 0$ l'equazione dell'ellisse, trovi i punti di intersezione con un diametro, cioè con una retta passante per il centro, e nei punti trovi le tangenti come anzidetto.
Data un'ellisse, e tracciato un diametro, questo incontra la curva in due punti. LA "direzione coniugata" di questo diametro è quella delle tangenti all'ellisse nei due punti detti.
Sai come si trova la tangente in un punto di una curva, in coordinate cartesiane?
Vale questa regola:
data una curva piana di equazione $f(x,y) = 0$, la tangente in un suo punto $A$ è data da :
$((partialf)/(partialx))_A*(x-x_A) +((partialf)/(partialy))_A*(y-y_A) = 0 $
Quindi, detta $f(x,y) = 0$ l'equazione dell'ellisse, trovi i punti di intersezione con un diametro, cioè con una retta passante per il centro, e nei punti trovi le tangenti come anzidetto.
Scusate il ritardo....
Comunque si
C'hai preso come sempre del resto
Ma forse in questo caso è più facile a farsi che a dirsi
Comunque si
"navigatore":
Ho detto bene Elwood ? Correggimi se sbaglio, perché non mi ricordo bene….
C'hai preso come sempre del resto
Ma forse in questo caso è più facile a farsi che a dirsi
Grazie Elwood.
Mi sono ricordato, in più, che c'è una costruzione interamente grafica dell'antipolo di una retta $r$ rispetto ad una ellisse. Guarda comunque la figura 1-25 di questa dispensa:
http://www.scienzadellecostruzioni.co.u ... 0masse.pdf
Data l'ellisse, di assi principali $\eta$ e $\xi$ ( come nella tua figura), e data una retta $r$, che supponiamo sia tangente alla figura (ad es. la retta inclinata (\) a destra, che tocca i due vertici ):
1) si prolungano i due assi dell'ellisse fino a incontrare in A e B la retta $r$.
2) si trova graficamente la retta, antipolare del punto A in cui $\eta$ incontra $r$, col metodo del triangolo rettangolo (conosci questo metodo grafico ? Te lo spiego nella nota in basso), che è parallela all'asse $\xi$
3)si costruisce analogamente la retta antipolare del punto B in cui $\xi$ incontra $r$, che è parallela all'asse $\eta$
Il punto P di incontro di queste due antipolari è l'antipolo della retta $r$ data rispetto alla data ellisse.
------------------------------------
Nota : data l'ellisse centrale di inerzia, di assi $\xi$ e $\eta$, questi sono evidentemente gli assi di momento di inerzia massimo e minimo, perpendicolari tra loro. Sull'asse $\xi$ è disteso il raggio di inerzia $\rho_(\eta)$ relativo all'asse $\eta$ , e viceversa sull'asse $\eta$ è disteso il raggio di inerzia $\rho_(\xi)$ relativo all'asse $\xi$ , essendo :
$\rho_(\eta) = sqrt(I_(\eta)/A$
$\rho_(\xi) = sqrt(I_(\xi)/A$
per esempio, dato un rettangolo di lati $L$ e $B$, e tracciati i due assi centrali di inerzia, sull'asse parallelo a $L$ , che chiamo $\xi$, è disteso il raggio di inerzia relativo all'asse perpendicolare $\eta$, che vale $Lsqrt3/6$.
Sull'asse $\eta$ parallelo a $B$ è invece disteso il raggio di inerzia relativo all'asse $\xi$ , che vale $Bsqrt3/6$.
Ovviamente risulta : $\rho_(\eta)/\rho_(\xi) = L/B$ .
Per trovare l'antipolo del lato $L$ rispetto all'ellisse, si può fare questa costruzione grafica :
l'asse $\eta$ taglia $L$ in due punti, ne prendo uno che chiamo A.
Poi considero il raggio di inerzia giacente su questo asse, che abbiamo detto essere : $\rho_(\xi) = sqrt(I_(\xi)/A) = Bsqrt3/6$.
Ruoto a 90° attorno al centro O il raggio $\rho_(\xi)$ e lo sovrappongo all'asse $\xi$ stesso : ho quindi un punto Q tale che $OQ = \rho_(\xi)$.
Congiungo A con Q , e costruisco un triangolo rettangolo in questo modo : da Q, traccio un segmento a 90° rispetto ad AQ , fino a intersecare in P l'asse $\eta$ : il triangolo AQP è rettangolo in Q .
Il punto P è l'antipolo del lato L rispetto all'ellisse.
Infatti, nel triangolo rettangolo detto, l'altezza OQ è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti AQ e QP sull'ipotenusa AP :
$OQ^2 = AO*OP$
e questa è la relazione che deve esistere tra lato $L$ e il suo antipolo P.
Mi sono ricordato, in più, che c'è una costruzione interamente grafica dell'antipolo di una retta $r$ rispetto ad una ellisse. Guarda comunque la figura 1-25 di questa dispensa:
http://www.scienzadellecostruzioni.co.u ... 0masse.pdf
Data l'ellisse, di assi principali $\eta$ e $\xi$ ( come nella tua figura), e data una retta $r$, che supponiamo sia tangente alla figura (ad es. la retta inclinata (\) a destra, che tocca i due vertici ):
1) si prolungano i due assi dell'ellisse fino a incontrare in A e B la retta $r$.
2) si trova graficamente la retta, antipolare del punto A in cui $\eta$ incontra $r$, col metodo del triangolo rettangolo (conosci questo metodo grafico ? Te lo spiego nella nota in basso), che è parallela all'asse $\xi$
3)si costruisce analogamente la retta antipolare del punto B in cui $\xi$ incontra $r$, che è parallela all'asse $\eta$
Il punto P di incontro di queste due antipolari è l'antipolo della retta $r$ data rispetto alla data ellisse.
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Nota : data l'ellisse centrale di inerzia, di assi $\xi$ e $\eta$, questi sono evidentemente gli assi di momento di inerzia massimo e minimo, perpendicolari tra loro. Sull'asse $\xi$ è disteso il raggio di inerzia $\rho_(\eta)$ relativo all'asse $\eta$ , e viceversa sull'asse $\eta$ è disteso il raggio di inerzia $\rho_(\xi)$ relativo all'asse $\xi$ , essendo :
$\rho_(\eta) = sqrt(I_(\eta)/A$
$\rho_(\xi) = sqrt(I_(\xi)/A$
per esempio, dato un rettangolo di lati $L$ e $B$, e tracciati i due assi centrali di inerzia, sull'asse parallelo a $L$ , che chiamo $\xi$, è disteso il raggio di inerzia relativo all'asse perpendicolare $\eta$, che vale $Lsqrt3/6$.
Sull'asse $\eta$ parallelo a $B$ è invece disteso il raggio di inerzia relativo all'asse $\xi$ , che vale $Bsqrt3/6$.
Ovviamente risulta : $\rho_(\eta)/\rho_(\xi) = L/B$ .
Per trovare l'antipolo del lato $L$ rispetto all'ellisse, si può fare questa costruzione grafica :
l'asse $\eta$ taglia $L$ in due punti, ne prendo uno che chiamo A.
Poi considero il raggio di inerzia giacente su questo asse, che abbiamo detto essere : $\rho_(\xi) = sqrt(I_(\xi)/A) = Bsqrt3/6$.
Ruoto a 90° attorno al centro O il raggio $\rho_(\xi)$ e lo sovrappongo all'asse $\xi$ stesso : ho quindi un punto Q tale che $OQ = \rho_(\xi)$.
Congiungo A con Q , e costruisco un triangolo rettangolo in questo modo : da Q, traccio un segmento a 90° rispetto ad AQ , fino a intersecare in P l'asse $\eta$ : il triangolo AQP è rettangolo in Q .
Il punto P è l'antipolo del lato L rispetto all'ellisse.
Infatti, nel triangolo rettangolo detto, l'altezza OQ è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti AQ e QP sull'ipotenusa AP :
$OQ^2 = AO*OP$
e questa è la relazione che deve esistere tra lato $L$ e il suo antipolo P.
Grazie mille! La costruzione grafica la conoscevo anche io, solo che ho il terrore che sia poco precisa, soprattutto se l'ellisse in primis è poco precisa
Yumina, non occorre disegnare tutta l'ellisse. Ti bastano i due diametri. Ovviamente se il disegno è piccolo si fanno errori.
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