[METODI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA] - Taylor complesso

[De_Pippis]

Salve a tutti. Ho problemi a capire il ragionamento effettuato per risolvere un esercizio. Ho questa funzione nel dominio dei complessi f(z) = 1/(1 − z) e devo trovare i valori dei raggi di convergenza e dello sviluppo in serie di Taylor
di f(z) di centro z0=3.

Allora, punto primo determino il punto di criticità ponendo 1-z=0, da cui ricavo z=1. Qundi definisco A un intorno del punto di criticità.
Il raggio di convergenza è pari alla distanza(z0,frontiera di A)= sqrt(3^2 + 1)=2.
A questo punto ho dei problemi.
L'immagine allegata mostra la soluzione riportata sul libro.
Qualcuno potrebbe spiegare nel dettaglio il processo attuato nella soluzione riportata dal libro?
Grazie in anticipo a tutti

[Camillo]

PREMESSA
*Seria geometrica $sum_(k=0)^(+oo)z^k= 1/(1-z) $ per $|z|< 1 $ , da cui segue che $1/(1+z)=1/(1-(-z))= sum_(k=0)^(+oo)(-1)^kz^k$ sempre per $|z|< 1 $
Sviluppo di $f(z)=1/(1-z)$ con centro $z_0=3 $.
Considero $ z:|z-3|<2 $ in modo da "evitare" il punto critico $z=1 $ .
Manipolo opportunamente la funzione $f(z) $ in modo da ricondurmi alla situazione in PREMESSA .
$1/(1-z)= -1/2* 1/(1+(z-3)/2)$.
Essendo $|z-3|/2 <1 $ cioè appunto $|z-3|<2 $ allora $1/(1-z)= -1/2* 1/(1+(z-3)/2)$ è la somma della serie geometrica di ragione $-(z-3)/2$ e quindi $1/(1-z)=-1/2 sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k(z-3)^k/(2^k)= sum_(k=0)^(+oo)(-1)^(k+1)*(z-3)^k/(2^(k+1) $.

Il raggio di convergenza è semplicemente $3-1=2 $

[Camillo]

@De_Pippis il cross posting è vietato dal regolamento per cui blocco questo 3D .
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