[Metodi matematici] Meccanica Razionale - Vincoli Olonomi - Coordinate Lagrangiane

[Gabr2]

Buongiorno a tutti, volevo chiedere gentilmente dei chiarimenti inerenti alle coordinate indipendenti. Qui di seguito riporto l'esercizio che mi sta facendo impazzire (poichè non comprendo nemmeno la soluzione), e in seguito vi porrò le mie perplessità.

--------------------------------------------------------------
Questo è l'esercizio:

Due punti materiali (Xh,m) h = 1, 2, entrambi di
massa m, rappresentati da:

X1 = z1e1 + z2e2 + z3e3 , X2 = z4e1 + z5e2 + z6e3 ,

sono soggetti ai seguenti vincoli:

f1(z) = z1^2 + z2^2 - z4^4 - z5^2 = 0 ,
f2(z) = z2^2 + z3^2 - z5^2 - z6^2 = 0

• Trovare almeno un aperto A di R^6 in cui nelle configurazioni compatibili il vincolo è olonomo
non singolare e in esse determinare una rappresentazione lagrangiana.

Soluzione
I vincoli sono regolari: f1, f2 ∈ C∞(R^6).
Inoltre la matrice iacobiana è


2 * {: ( z1 , z2 , 0 , -z4 , -z5 , 0 ),( 0 , z2 , z3 , 0 , -z5 , z6 ) :}

Quindi la matrice ha rango 2 se nessuna delle due righe si annulla e vale almeno
una tra le due (z1, z4) = (0,0) e (z3, z6) 6= (0,0). Ossia i due punti non devono
trovarsi contemporaneamente sull’asse x2.
Dunque nelle configurazioni ammissibili ℓ = nc−m = 6−2 = 4. Si possono usare le
coordinate indipendenti come coordinate lagrangiane. Per esempio se z1 > 0 e z6 <
0 si possono usare come coordinate indipendenti z2, z3, z4, z5. La rappresentazione
lagrangiana del moto è:

z1L = sqrt(z4^2+z5^2-z2^2)
z2L = z2
z3L = z3
z4L = z4
z5L = z5
z6L = - sqrt(z2^2+z3^2-z5^2)

---------------------------------------------

Premetto che mi è chiaro solamente fino alla jacobiana. Non comprendo da dove tira fuori "e vale almeno
una tra le due (z1, z4) != (0,0) e (z3, z6) != (0,0). Ossia i due punti non devono trovarsi contemporaneamente sull’asse x2". Da dove evince che almeno uno dei due fra le coppie z1,z4 e z3,z6 devono essere diversi da zero? Ho provato a cercare di lavorare sui minori della matrice jacobiana affinchè questi fossero diversi da zero per far divenire la jacobiana di rango max e di soddisfarre l'ipotesi di vincolo olonomo. Ma se fosse così perchè solo (z1,z4) oppure (z3,z6) e non anche le restanti coordinate dato che anche queste possono formare minori della jacobiana?

Cosa che mi fa ancor di più impazzire è che non riesco a comprendere perchè pone z1 e z6 rispettivamente maggiore e minore di zero e li pone come coordinate dipendenti. Le coordinate dipendenti non dovrebbero essere le ultime m coordinate della jacobiana e quindi z5 e z6??? E di conseguenza, perchè z2,.....,z5 sono le coordinate indipendenti? Come sono state stabilite?. Ci ho perso tutta la notte è da dopo cena che ci sto combattendo e sono passate le 5 e non riesco a comprendere . Inoltre le soluzioni non servono proprio a nulla poichè non giustificano i passaggi che si eseguono... Qualche santo di buona volontà che potrebbe darmi una mano a comprendere il mio dilemma? Grazie!

[anonymous_0b37e9]

Utilizzando notazioni diverse:

Vettore posizione punto 1

$vec(OP_1)=x_1veci+y_1vecj+z_1veck$

Vettore posizione punto 2

$vec(OP_2)=x_2veci+y_2vecj+z_2veck$

Vincolo 1

$x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2=0$

Vincolo 2

$y_1^2+z_1^2-y_2^2-z_2^2=0$

Matrice jacobiana

$((2x_1,2y_1,0,-2x_2,-2y_2,0),(0,2y_1,2z_1,0,-2y_2,-2z_2))$

Rango 0

Prima riga nulla e seconda riga nulla

$[x_1=0] ^^ [y_1=0] ^^ [z_1=0] ^^ [x_2=0] ^^ [y_2=0] ^^ [z_2=0]$

Rango 1

Prima riga non nulla e seconda riga nulla

$[x_1!=0] ^^ [y_1=0] ^^ [z_1=0] ^^ [x_2=0] ^^ [y_2=0] ^^ [z_2=0]$

$[x_1=0] ^^ [y_1=0] ^^ [z_1=0] ^^ [x_2!=0] ^^ [y_2=0] ^^ [z_2=0]$

$[x_1!=0] ^^ [y_1=0] ^^ [z_1=0] ^^ [x_2!=0] ^^ [y_2=0] ^^ [z_2=0]$

Prima riga nulla e seconda riga non nulla

$[x_1=0] ^^ [y_1=0] ^^ [z_1!=0] ^^ [x_2=0] ^^ [y_2=0] ^^ [z_2=0]$

$[x_1=0] ^^ [y_1=0] ^^ [z_1=0] ^^ [x_2=0] ^^ [y_2=0] ^^ [z_2!=0]$

$[x_1=0] ^^ [y_1=0] ^^ [z_1!=0] ^^ [x_2=0] ^^ [y_2=0] ^^ [z_2!=0]$

Prima riga non nulla e seconda riga non nulla (proporzionali)

$[x_1=0] ^^ [y_1!=0] ^^ [z_1=0] ^^ [x_2=0] ^^ [y_2=0] ^^ [z_2=0]$

$[x_1=0] ^^ [y_1=0] ^^ [z_1=0] ^^ [x_2=0] ^^ [y_2!=0] ^^ [z_2=0]$

$[x_1=0] ^^ [y_1!=0] ^^ [z_1=0] ^^ [x_2=0] ^^ [y_2!=0] ^^ [z_2=0]$

In definitiva, la matrice jacobiana ha rango 2 se e solo se i due punti non si trovano, allo stesso tempo, sullo stesso asse, qualunque esso sia.

P.S.
Devi aver commesso degli errori di battitura. Per questo, ho dovuto interpretare il testo.