[Metodi matematici]
Salve a tutti. Nello svolgere esercizi sul metodo di risoluzione di sistemi con Jacobi o Gauss-Sidel capita spesso che venga chiesto, data una matrice, per quali valori di un certo parametro questa sia definita positiva e per quali altri il metodi GS o J converga. I valori del parametro sono sempre gli stessi. Metto un esempio
Qualcuno mi può spiegare perchè?grazie
Qualcuno mi può spiegare perchè?grazie
Risposte
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Grazie per la risposta. Quindi se la domanda fosse la verifica della convergenza del metodo di Jacobi il calcolo della positività col criterio di Sylvester non mi sarebbe di alcun aiuto?
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Aggiungo qualche ulteriore considerazione, a quanto già riportato da @sellacollesella
Scritta la successione come
$x_(k+1) = P x_k + C$
La convergenza è garantita se e solo se tutti gli autovalori di $P$ hanno norma inferiore a 1, ovvero se il raggio spettrale (il valore massimo tra i moduli degli autovalori) è inferiore a 1.
Per verificare tale condizione, senza risolvere il polinomio caratteristico, si può ad es. usare il criterio di Jury https://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Jury.
Esistono poi dei risultati notevoli quali ad es. quello già riportati per cui se A è una matrice a diagonale dominante per righe allora l'algoritmo converge, oppure che se A una matrice simmetrica, non singolare con elementi principali diversi da zero allora il metodo di Gauss-Seidel è convergente se e solo se A è definita positiva. Qui puoi comunque trovare ulteriori dettagli e risultati a riguardo.
https://www.math.unipd.it/~alvise/AN_20 ... r_j_gs.pdf
https://people.dm.unipi.it/bini/Didatti ... rativi.pdf
Scritta la successione come
$x_(k+1) = P x_k + C$
La convergenza è garantita se e solo se tutti gli autovalori di $P$ hanno norma inferiore a 1, ovvero se il raggio spettrale (il valore massimo tra i moduli degli autovalori) è inferiore a 1.
Per verificare tale condizione, senza risolvere il polinomio caratteristico, si può ad es. usare il criterio di Jury https://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Jury.
Esistono poi dei risultati notevoli quali ad es. quello già riportati per cui se A è una matrice a diagonale dominante per righe allora l'algoritmo converge, oppure che se A una matrice simmetrica, non singolare con elementi principali diversi da zero allora il metodo di Gauss-Seidel è convergente se e solo se A è definita positiva. Qui puoi comunque trovare ulteriori dettagli e risultati a riguardo.
https://www.math.unipd.it/~alvise/AN_20 ... r_j_gs.pdf
https://people.dm.unipi.it/bini/Didatti ... rativi.pdf
Nel caso della verifica della convergenza del criterio di Jacobi potrei imporre la dominanza stretta per righe al variare del parametro, mentre pe GS la positività stretta e la simmetria.
Grazie ad entrambi per le risposte molto esaustive!
Grazie ad entrambi per le risposte molto esaustive!
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L'ultimo dubbio è: la dominanza stretta per righe è una condizione sufficiente: va bene comunque per essere sicuri della convergenza?
Ad es in questo esercizio:
la matrice $ A $ non è simmetrica, la dominanza stretta per rige mi darebbe
$ |alpha| <2 $
cioè $ alpha \in (-2,2) $
Giusto? sembra meno stringente della condizione che il prof da come risultato.
Ad es in questo esercizio:
la matrice $ A $ non è simmetrica, la dominanza stretta per rige mi darebbe
$ |alpha| <2 $
cioè $ alpha \in (-2,2) $
Giusto? sembra meno stringente della condizione che il prof da come risultato.
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Grazie mille mi sei stato di grande aiuto! 
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