[Metodi matematici]

[w3ns-votailprof]

Salve a tutti!
Nel preparare l'esame mi è capitato sentire la tutor dire " il prodotto tra due vettori fornisce sempre una matrice singolare"
Vorrei capire perchè.

(Ho provato con ChatGpt ma impazzisce facendo calcoli errati)

Grazie

[megas_archon]

"w3ns":Salve a tutti!
Nel preparare l'esame mi è capitato sentire la tutor dire " il prodotto tra due vettori fornisce sempre una matrice singolare"
Vorrei capire perchè.

Perché se $v,w$ sono due vettori di uno spazio vettoriale $V$, e identificando \(v\otimes w\) con una applicazione lineare \(V\to V\), mediante le identificazioni \(\hom(V,V)\cong V^\lor\otimes V\cong V\otimes V\), questa applicazione ha sempre nucleo non banale, o equivalentemente, non può essere suriettiva. Dimostra questo (senza chatGPT, che farà casino a fare una dimostrazione concettuale).

In particolare, dimostra che \(\ker(v\otimes w) = \ker v \otimes V + V\otimes \ker w\), al netto di identificare \(v,w\) con i rispettivi covettori \(V\to k\) (i quali hanno ovviamente nucleo non banale, non appena \(\dim V\ge 2\), dato che \(\ker v = \langle v\rangle^\perp\).

[w3ns-votailprof]

Ti ringrazio per la risposta!