[Meccanica Razionale] Velocità angolare relativa e di trascinamemento
Ciao a tutti,
la mia domannda riguarda l'energia cinetica rotazionale di sistemi di tipo pendolo doppio. Per esempio il sistema in figura è un bipendolo formato da un'asta di massa m e lunghezza l incernierata nell'origine del sistema in O e in A a un disco a distanza R/2 dal centro C del disco di massa M (dove R è il raggio del disco)
Mi si chiede di scrivere la Lagrangiana scegliendo gli angoli $ vartheta $ e $ varphi $ come in figura.
Il mio dubbio è se scrivere per l'energia cinetica:
$ T=1/2 mv(G_1)^2+1/2I_(G_1)dot(vartheta )^2+1/2Mv(C)^2+1/2I_(C)dot(varphi)^2 $
tenedo conto unicamente della velocità di rotazione propria $ dot(varphi) $ del disco
oppure
$ T=1/2 mv(G_1)^2+1/2I_(G_1)dot(vartheta )^2+1/2Mv(C)^2+1/2I_(C)(dot(varphi)+dot(vartheta))^2 $
quest'ultima tenendo conto del fatto che la velocità angolare del disco conta di due contributi uno relativo $ dot(varphi) $ e uno di trascinamento $ dot(vartheta) $ (mi chiedo appunto se è un ragionamento corretto).
In generale non ho capito come considerare le velocità angolari negli esercizi di questo tipo.
Vedo che il mio testo di meccanica razionale in due esercizi simili su un doppio pendolo in un caso adotta una forma per l'energia cinetica e in un altro adotta l'altra.
Grazie per l'aiuto
la mia domannda riguarda l'energia cinetica rotazionale di sistemi di tipo pendolo doppio. Per esempio il sistema in figura è un bipendolo formato da un'asta di massa m e lunghezza l incernierata nell'origine del sistema in O e in A a un disco a distanza R/2 dal centro C del disco di massa M (dove R è il raggio del disco)
Mi si chiede di scrivere la Lagrangiana scegliendo gli angoli $ vartheta $ e $ varphi $ come in figura.
Il mio dubbio è se scrivere per l'energia cinetica:
$ T=1/2 mv(G_1)^2+1/2I_(G_1)dot(vartheta )^2+1/2Mv(C)^2+1/2I_(C)dot(varphi)^2 $
tenedo conto unicamente della velocità di rotazione propria $ dot(varphi) $ del disco
oppure
$ T=1/2 mv(G_1)^2+1/2I_(G_1)dot(vartheta )^2+1/2Mv(C)^2+1/2I_(C)(dot(varphi)+dot(vartheta))^2 $
quest'ultima tenendo conto del fatto che la velocità angolare del disco conta di due contributi uno relativo $ dot(varphi) $ e uno di trascinamento $ dot(vartheta) $ (mi chiedo appunto se è un ragionamento corretto).
In generale non ho capito come considerare le velocità angolari negli esercizi di questo tipo.
Vedo che il mio testo di meccanica razionale in due esercizi simili su un doppio pendolo in un caso adotta una forma per l'energia cinetica e in un altro adotta l'altra.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Il consiglio migliore che posso darti e' di ragionare in termini di energia del cdm + energia rotazionale con momento di inerzia calcolato attorno al cdm. In altre parole la famosa $E=1/2mv_G^2+1/2I_Gomega^2$.
Man mano che prendi confidenza ti accorgerai che se un corpo e' soggetto solo a rotazione attorno a un polo fisso P, allora $v_G=omega*PG$ e il termine relativo al cdm si puo' togliere, a patto di sostituire $I_G$ con $I_P$, cioe' usare il mom. di inerzia calcolato attorno a P. Il calcolo dell'energia nel caso di un corpo che ruota soltanto e' quindi molto immediato.
Per esempio, nel tuo caso, l'energia cinetica della sbarra e' $1/2mv_G^2+1/12mL^2omega^2$.
Siccome $v_G=omegaL/2$, se svolgi i calcoli ti trovi che $E=1/2*((ml^2)/3)omega^2$.
Il termine che ho messo apposta tra parentesi e' $I_P$, ottenunto tramite $I_P=I_G+m(L/2)^2$ (teorema di Huygens Steiner)
Le cose si complicano, ma non piu' di tanto per il disco, che, in generale non ha un polo fisso. Quindi ti conviene calcolare E usando la forma $E=1/2mv_G^2+1/2I_G^2$.
Per fare questo e' conveniente esprimere le coordinate del baricentro del disco in funzione delle coordinate lagrangiane.
Ti accorgi subito che
$x_G=Lsintheta+dsinphi$
$y_G=Lcostheta+dcosphi$
(il riferimento e' al contrario rispetto al tuo, cioe' la y e' positiva verso il basso, ma poco importa).
d e' ovviamente la distanza dall'estremo dell'asta al centro del disco
Derivando rispetto al tempo, ottieni le componenti della velocita' lungo x e y, che essendo ortogonali fra loro, ti permettono applicando banalmente Pitagora, di trovare la $v_G^2$ del disco
$dotx_G=dotthetaLcostheta+dotphidcosphi$
$doty_G=-dotthetaLsintheta-dotphidsinphi$
Quindi $v_G^2=(dotthetaLcostheta+dotphidcosphi)^2+(-dotthetaLsintheta-dotphidsinphi)^2$, da sviluppare e inserire in
$E=1/2mv_G^2+1/2*(mr^2)/2dotphi^2$
Tutto questo procedimento si semplifica quando hai preso la mano se usi i vettori tenendo conto che la velocita' del centro del disco e'
$vecv_G=vecv_A+dotphiveckxxvec[AG]$, dove A e' l'estremo della sbarra
Questo modo e' molto piu' immediato hai bisogno di esercizio e di maneggiare bene i vettori
Man mano che prendi confidenza ti accorgerai che se un corpo e' soggetto solo a rotazione attorno a un polo fisso P, allora $v_G=omega*PG$ e il termine relativo al cdm si puo' togliere, a patto di sostituire $I_G$ con $I_P$, cioe' usare il mom. di inerzia calcolato attorno a P. Il calcolo dell'energia nel caso di un corpo che ruota soltanto e' quindi molto immediato.
Per esempio, nel tuo caso, l'energia cinetica della sbarra e' $1/2mv_G^2+1/12mL^2omega^2$.
Siccome $v_G=omegaL/2$, se svolgi i calcoli ti trovi che $E=1/2*((ml^2)/3)omega^2$.
Il termine che ho messo apposta tra parentesi e' $I_P$, ottenunto tramite $I_P=I_G+m(L/2)^2$ (teorema di Huygens Steiner)
Le cose si complicano, ma non piu' di tanto per il disco, che, in generale non ha un polo fisso. Quindi ti conviene calcolare E usando la forma $E=1/2mv_G^2+1/2I_G^2$.
Per fare questo e' conveniente esprimere le coordinate del baricentro del disco in funzione delle coordinate lagrangiane.
Ti accorgi subito che
$x_G=Lsintheta+dsinphi$
$y_G=Lcostheta+dcosphi$
(il riferimento e' al contrario rispetto al tuo, cioe' la y e' positiva verso il basso, ma poco importa).
d e' ovviamente la distanza dall'estremo dell'asta al centro del disco
Derivando rispetto al tempo, ottieni le componenti della velocita' lungo x e y, che essendo ortogonali fra loro, ti permettono applicando banalmente Pitagora, di trovare la $v_G^2$ del disco
$dotx_G=dotthetaLcostheta+dotphidcosphi$
$doty_G=-dotthetaLsintheta-dotphidsinphi$
Quindi $v_G^2=(dotthetaLcostheta+dotphidcosphi)^2+(-dotthetaLsintheta-dotphidsinphi)^2$, da sviluppare e inserire in
$E=1/2mv_G^2+1/2*(mr^2)/2dotphi^2$
Tutto questo procedimento si semplifica quando hai preso la mano se usi i vettori tenendo conto che la velocita' del centro del disco e'
$vecv_G=vecv_A+dotphiveckxxvec[AG]$, dove A e' l'estremo della sbarra
Questo modo e' molto piu' immediato hai bisogno di esercizio e di maneggiare bene i vettori
Grazie! Mi sono più chiare le strade per risolvere questo esercizio 
Vorrei comunque approfondire il mio dubbio con un breve esercizio simile, la cui soluzione presa dal mio testo non mi è molto chiara nella parte che dopo evidenzio. L'esercizio è il seguente:
Un doppio pendolo formato da due aste di lunghezza $ 2l $ e massa $ m_1 $ e $ m_2 $ come in figura è incernierato nel punto $ A $ , il quale appartiene a un asse verticale ruotante con velocità angolare $ vecomega= omega_0cosomegatvec(k) $ . Scrivere la Lagrangiana.
Nell scrivere l'energia cinetica la soluzione è:
$ T=1/2m_1v^2(P_O)+1/2m_2v^2(G_0)+1/2I_1(dotvarphi^2+(omega_0cosomegat)^2)+1/2I_2((dotvarphi+dotvartheta)^2+(omega_0cosomegat)^2) $
ove $ P_0 $ , $ G_0 $ sono i due centri di massa e $ I_1 $ , $ I_2 $ sono i momenti di inerzia rispetto alle normali al piano del moto passanti per il loro centri di massa.
Non mi è chiara la somma che fa delle velocità angolari nello scrivere 'energia cinetica rotazionale relativa ai centri di massa delle due aste. Immagino che bisogna fare delle considerazioni sui moti relativi che però non mi sembra di saper fare
Grazie ancora per chi avrà così tanta pazienza
Vorrei comunque approfondire il mio dubbio con un breve esercizio simile, la cui soluzione presa dal mio testo non mi è molto chiara nella parte che dopo evidenzio. L'esercizio è il seguente:
Un doppio pendolo formato da due aste di lunghezza $ 2l $ e massa $ m_1 $ e $ m_2 $ come in figura è incernierato nel punto $ A $ , il quale appartiene a un asse verticale ruotante con velocità angolare $ vecomega= omega_0cosomegatvec(k) $ . Scrivere la Lagrangiana.
Nell scrivere l'energia cinetica la soluzione è:
$ T=1/2m_1v^2(P_O)+1/2m_2v^2(G_0)+1/2I_1(dotvarphi^2+(omega_0cosomegat)^2)+1/2I_2((dotvarphi+dotvartheta)^2+(omega_0cosomegat)^2) $
ove $ P_0 $ , $ G_0 $ sono i due centri di massa e $ I_1 $ , $ I_2 $ sono i momenti di inerzia rispetto alle normali al piano del moto passanti per il loro centri di massa.
Non mi è chiara la somma che fa delle velocità angolari nello scrivere 'energia cinetica rotazionale relativa ai centri di massa delle due aste. Immagino che bisogna fare delle considerazioni sui moti relativi che però non mi sembra di saper fare
Grazie ancora per chi avrà così tanta pazienza
Non mi pare proprio. Mi pare proprio sbagliato.
Mancano anche i termini in $sin^2theta$ e $sin^2phi$ che rappresentano i momenti di inerzia delle aste rispetto all'asse fdi rotazione.
prova a svolgerlo come ti ho indicato (tralasciando la rotazione attorno all'asse verticale se ti torna difficile, quella la possiamo svolgere assieme). Posta e vediamo a che arriviamo.
Mancano anche i termini in $sin^2theta$ e $sin^2phi$ che rappresentano i momenti di inerzia delle aste rispetto all'asse fdi rotazione.
prova a svolgerlo come ti ho indicato (tralasciando la rotazione attorno all'asse verticale se ti torna difficile, quella la possiamo svolgere assieme). Posta e vediamo a che arriviamo.
Grazie di nuovo.
Io scriverei senza considerare la rotazione attorno all'asse verticale:
$ T = 1/3I_Adot(varphi)^2+1/2m_2v^2(P_O)+1/2I_(P_O)dot(vartheta)^2 $
Dove $ I_A=1/3m_1(2l)^2 $ e $ I_(P_O)=1/12m_2(2l)^2 $ e $ P_O $ è il centro di massa della seconda sbarra
In più: $ (G-A)= (2lsenvarphi+lsenvartheta)ul(i) +(-2lcosvarphi-lcosvartheta)ulk $
e
$ v(P_O)=(2lcosvarphi+lcosvartheta)uli+(2lsenvarphi+lsenvartheta)ulk $
$ v^2(P_O)=4l^2dotvarphi^2+l^2dotvartheta^2 $
Quindi svolgendo i conti:
$ T=2/3m_1l^2dotvarphi^2+1/2m_2(4l^2dotvarphi^2+l^2dotvartheta^2)+1/6m_2l^2dotvartheta^2 $.
Provo quindi anche a aggiungere la rotazione attorno all'asse verticale:
$ T_(rot)=1/6m_1l^2sin^2varphi(omega_0cosomegat)^2+1/2(4/3m_2l^2sin^2vartheta+m_2 4l^2sin^2varphi)(omega_0cosomegat)^2 $
Ho fatto uso del terema di Huygens-Steiner per ricavare il momneto di inerzia rispetto all'asse $ z $ della seconda sbarra.
Questo è quanto ricavo dalla teoria Se è così significa che sul libro è sbagliato, in più mi torna meglio
Io scriverei senza considerare la rotazione attorno all'asse verticale:
$ T = 1/3I_Adot(varphi)^2+1/2m_2v^2(P_O)+1/2I_(P_O)dot(vartheta)^2 $
Dove $ I_A=1/3m_1(2l)^2 $ e $ I_(P_O)=1/12m_2(2l)^2 $ e $ P_O $ è il centro di massa della seconda sbarra
In più: $ (G-A)= (2lsenvarphi+lsenvartheta)ul(i) +(-2lcosvarphi-lcosvartheta)ulk $
e
$ v(P_O)=(2lcosvarphi+lcosvartheta)uli+(2lsenvarphi+lsenvartheta)ulk $
$ v^2(P_O)=4l^2dotvarphi^2+l^2dotvartheta^2 $
Quindi svolgendo i conti:
$ T=2/3m_1l^2dotvarphi^2+1/2m_2(4l^2dotvarphi^2+l^2dotvartheta^2)+1/6m_2l^2dotvartheta^2 $.
Provo quindi anche a aggiungere la rotazione attorno all'asse verticale:
$ T_(rot)=1/6m_1l^2sin^2varphi(omega_0cosomegat)^2+1/2(4/3m_2l^2sin^2vartheta+m_2 4l^2sin^2varphi)(omega_0cosomegat)^2 $
Ho fatto uso del terema di Huygens-Steiner per ricavare il momneto di inerzia rispetto all'asse $ z $ della seconda sbarra.
Questo è quanto ricavo dalla teoria
Se è così significa che sul libro è sbagliato, in più mi torna meglio
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