[Meccanica Razionale] Momenti di inerzia
Salve ragazzi! 
Sto studiando i momenti di inerzia e ho provato a fare qualche esercizio. Ho qualche dubbio.
Ad esempio, di questa struittura devo trovare prima il baricentro e poi i momenti di inerzia rispetto a x,y,z.
Ho trovato i due baricentri e ho fatto la loro composizione. Quindi: $ G= (0, (ab(c+b/2)+c^2d)/(ab+cd)) $
Ora dalla teoria so che i momenti di inerzia di figure composte si ottengono come somma o differenza delle singole figure, come il baricentro. Ho proceduto con gli integrali e qui ho qualche "problema"
Della figura verde facendo il momento di inerzia rispetto all'asse x:
$ Ix=int_(-a/2)^(a/2)int_(c)^(c+b) rho y^2 dx dy = rho /3 (b^3+3c^2+3b^2c)a = m/3(b^2+3c^2+3cb) $
Il mio dubbio è come faccio a capire di aver svolto bene i calcoli e di aver proceduto in maniera esatta?
Generalmente considerato un rettangolo in un piano cartesiano:
$ Iy=(massa * base ^ 2)/3$ e analogamente $ Ix=(massa * al.tezza ^ 2)/3$ ;
mentre se fatto rispetto ad un riferimento baricentro:
$ Iyg=(massa * base ^ 2)/12$ e $ Ixg=(massa * al.tezza ^ 2)/12$.
Nell'esercizio proposto infatti mi trovo a calcoli fatti che per la figura verde $Iy=(ma^2)/12$ infatti l'asse y è baricentrica;
per la figura rosa $Ix= (mc^2)/3$ e $Iy=(md^2)/12$.
C'è un modo per verificare che quella Ix della figura verde è fatta bene, anche quando ho una quantità più "complessa" come quella parentesi?
Io ho pensato che basterebbe che mi trovi un polinomio di secondo grado...ma non so se sia giusto ragionare così.
Vi ringrazio anticipatamente.
Buona epifania!!
Sto studiando i momenti di inerzia e ho provato a fare qualche esercizio. Ho qualche dubbio.Ad esempio, di questa struittura devo trovare prima il baricentro e poi i momenti di inerzia rispetto a x,y,z.
Ho trovato i due baricentri e ho fatto la loro composizione. Quindi: $ G= (0, (ab(c+b/2)+c^2d)/(ab+cd)) $
Ora dalla teoria so che i momenti di inerzia di figure composte si ottengono come somma o differenza delle singole figure, come il baricentro. Ho proceduto con gli integrali e qui ho qualche "problema"
Della figura verde facendo il momento di inerzia rispetto all'asse x:
$ Ix=int_(-a/2)^(a/2)int_(c)^(c+b) rho y^2 dx dy = rho /3 (b^3+3c^2+3b^2c)a = m/3(b^2+3c^2+3cb) $
Il mio dubbio è come faccio a capire di aver svolto bene i calcoli e di aver proceduto in maniera esatta?
Generalmente considerato un rettangolo in un piano cartesiano:
$ Iy=(massa * base ^ 2)/3$ e analogamente $ Ix=(massa * al.tezza ^ 2)/3$ ;
mentre se fatto rispetto ad un riferimento baricentro:
$ Iyg=(massa * base ^ 2)/12$ e $ Ixg=(massa * al.tezza ^ 2)/12$.
Nell'esercizio proposto infatti mi trovo a calcoli fatti che per la figura verde $Iy=(ma^2)/12$ infatti l'asse y è baricentrica;
per la figura rosa $Ix= (mc^2)/3$ e $Iy=(md^2)/12$.
C'è un modo per verificare che quella Ix della figura verde è fatta bene, anche quando ho una quantità più "complessa" come quella parentesi?
Io ho pensato che basterebbe che mi trovi un polinomio di secondo grado...ma non so se sia giusto ragionare così.
Vi ringrazio anticipatamente.
Buona epifania!!
Risposte
La figura è abbastanza semplice. Hai determinato (spero bene, non ho controllato) le coordinate del baricentro : $x_G = 0$ e $y_G$ .
Per quanto riguarda i momenti di inerzia, non devi fare alcun integrale, se ricordi le formule dei momenti di inerzia del rettangolo rispetto agli assi di simmetria. Ti complichi solo la vita, facendo integrali in questo caso.
Per quanto riguarda $I_y$ , basta fare la somma dei momenti di inerzia, rispetto a $y$, di ciascuno dei due rettangoli.
Per quanto riguarda $I_x$, calcola i momenti di inerzia "propri" di ciascuno dei due rettangoli, e somma il rispettivo termine di trasporto (teorema di H.S. ) . Poi somma il tutto. Hai finito.
E per quanto riguarda $I_z$ , essendo l'asse $z$ perpendicolare al piano della figura nel punto di incontro degli assi $x$ e $y$ ….il calcolo di $I_z$ è mostruosamente difficile !!!
Per quanto riguarda i momenti di inerzia, non devi fare alcun integrale, se ricordi le formule dei momenti di inerzia del rettangolo rispetto agli assi di simmetria. Ti complichi solo la vita, facendo integrali in questo caso.
Per quanto riguarda $I_y$ , basta fare la somma dei momenti di inerzia, rispetto a $y$, di ciascuno dei due rettangoli.
Per quanto riguarda $I_x$, calcola i momenti di inerzia "propri" di ciascuno dei due rettangoli, e somma il rispettivo termine di trasporto (teorema di H.S. ) . Poi somma il tutto. Hai finito.
E per quanto riguarda $I_z$ , essendo l'asse $z$ perpendicolare al piano della figura nel punto di incontro degli assi $x$ e $y$ ….il calcolo di $I_z$ è mostruosamente difficile !!!
"navigatore":
Per quanto riguarda i momenti di inerzia, non devi fare alcun integrale, se ricordi le formule dei momenti di inerzia del rettangolo rispetto agli assi di simmetria. Ti complichi solo la vita, facendo integrali in questo caso.
considerando che questi integrali non erano particolarmente difficili, solitamente non faccio affidamento alle formule "standard", perchè puntualmente nel momento del "bisogno" ho vuoti di memoria. Preferisco capire la formula generale e adattarla.
"navigatore":
Per quanto riguarda $I_y$ , basta fare la somma dei momenti di inerzia, rispetto a $y$, di ciascuno dei due rettangoli.
si questo lo so, ma nei calcoli riportati stavo calcolando i momenti singoli. Non ho proceduto alla somma...perchè era una somma XD non penso che la vado a sbagliare se calcolo bene i momenti singoli.
"navigatore":
Per quanto riguarda Ix, calcola i momenti di inerzia "propri" di ciascuno dei due rettangoli, e somma il rispettivo termine di trasporto (teorema di H.S. ) . Poi somma il tutto. Hai finito.
calcolati i momenti "propri"...cos'è il termine di trasporto?
Comunque la mia era una curiosità su come capire se il momento di inerzia è fatto bene o meno... il procedimento che ho seguito credo sia corretto.
Ho detto "momenti propri" per significare i momenti centrali di inerzia del rettangolo. Il termine di trasporto deriva dal teorema di H.S. ovvero Huygens- Steiner : per esempio, per il rettangolo verde, il momento di inerzia di area proprio cheti interessa (ce ne sono 2) è :
$I_p = 1/(12) ab^3$
Il termine di trasporto è : $A*(b/2 + c) ^2 = ab*(b/2 + c )^2 $
Perciò il momento di inerzia di area del rettangolo verde $v$ rispetto all'asse $x$ è la somma :
$I_(xv) =1/(12) ab^3 + ab*(b/2 + c )^2 $
Analogamente , per il rettangolo rosa $r$ il momento di area proprio che ti interessa è :
$I_p = 1/(12) dc^3$
il termine di trasporto è : $ cd*(c/2)^2 $
Quindi : $ I_(xr) = 1/(12) dc^3 + cd*(c/2)^2 = (dc^3)/3 $
Perciò il momento totale di inerzia di area della figura composta rispetto a $x$ è la somma :
$I_x = I_(xv) + I_(xr) $ .
Moltiplica per la densità di massa superficiale, e hai il momento di inerzia di massa.
Mi sembra più facile che fare degli integrali.
$I_p = 1/(12) ab^3$
Il termine di trasporto è : $A*(b/2 + c) ^2 = ab*(b/2 + c )^2 $
Perciò il momento di inerzia di area del rettangolo verde $v$ rispetto all'asse $x$ è la somma :
$I_(xv) =1/(12) ab^3 + ab*(b/2 + c )^2 $
Analogamente , per il rettangolo rosa $r$ il momento di area proprio che ti interessa è :
$I_p = 1/(12) dc^3$
il termine di trasporto è : $ cd*(c/2)^2 $
Quindi : $ I_(xr) = 1/(12) dc^3 + cd*(c/2)^2 = (dc^3)/3 $
Perciò il momento totale di inerzia di area della figura composta rispetto a $x$ è la somma :
$I_x = I_(xv) + I_(xr) $ .
Moltiplica per la densità di massa superficiale, e hai il momento di inerzia di massa.
Mi sembra più facile che fare degli integrali.
Ho capito che volevi dire. Ti ringrazio. Alla fine ho ottenuto lo stesso risultato... Quindi credo siano fatti bene!
Ora ho altri esercizi e provo a procedere come mi hai consigliato.
Grazie
Ora ho altri esercizi e provo a procedere come mi hai consigliato.
Grazie
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