[Meccanica razionale] Matrice di inerzia
Salve a tutti ho questa figura:
Dove mi si chiede di:
Scrivere la matrice di inerzia relativa alla terna principale centrale di inerzia e verificare che i suoi autovettori coincidono coi versori della terna
Io ho trovato la matrice di inerzia:
$[ ( 117.52 , 0 , 0 ),( 0 , 96.87 , 0 ),( 0 , 0 , 214.39 ) ] $
dato che la terna principale centrale di inerzia è
$Gx_g y_g z$
dove $x_g=3.98$ e $y_g=4.26$
ho supposto che dato che la matrice è diagonale gli autovettori sono
$(1,0,0)$
$(0,1,0)$ e
$(0,0,1)$
e quindi andrebbero a coincidere con i versori $i$ $j$ $k$
ma non dovrebbero essere questi...
Cosa sbaglio ?
Dove mi si chiede di:
Scrivere la matrice di inerzia relativa alla terna principale centrale di inerzia e verificare che i suoi autovettori coincidono coi versori della terna
Io ho trovato la matrice di inerzia:
$[ ( 117.52 , 0 , 0 ),( 0 , 96.87 , 0 ),( 0 , 0 , 214.39 ) ] $
dato che la terna principale centrale di inerzia è
$Gx_g y_g z$
dove $x_g=3.98$ e $y_g=4.26$
ho supposto che dato che la matrice è diagonale gli autovettori sono
$(1,0,0)$
$(0,1,0)$ e
$(0,0,1)$
e quindi andrebbero a coincidere con i versori $i$ $j$ $k$
ma non dovrebbero essere questi...
Cosa sbaglio ?
Risposte
Ciao,
allora a me non torna il centro d'area che hai trovato, rispetto agli assi x ed y dovrebbe essere Xg=3,5 e Yg=3,5 perchè dato che la figura è doppiamente assialsimmetrica il centro d'area coincide con l'intersezione di tali assi.
La terna centrata in G è quindi una terna centrale e principale d'inerzia (chiamiamo tale terna N) e la matrice d'inerzia calcolata rispetto a tale terna è una matrice diagonale. Gli autovettori di una matrice diagonale coincidono con i vettori colonna della matrice, tali vettori dovrai poi normalizzarli per renderli versori e quindi ti tornano proprio i versori della base i,j,k perchè la terna N è diretta come la terna i,j,k.
Quindi i suoi autoversori coincidono con la terna i,j,k, poichè è la stessa terna traslata di Xg e Yg.
Ti torna come ragionamento?!
allora a me non torna il centro d'area che hai trovato, rispetto agli assi x ed y dovrebbe essere Xg=3,5 e Yg=3,5 perchè dato che la figura è doppiamente assialsimmetrica il centro d'area coincide con l'intersezione di tali assi.
La terna centrata in G è quindi una terna centrale e principale d'inerzia (chiamiamo tale terna N) e la matrice d'inerzia calcolata rispetto a tale terna è una matrice diagonale. Gli autovettori di una matrice diagonale coincidono con i vettori colonna della matrice, tali vettori dovrai poi normalizzarli per renderli versori e quindi ti tornano proprio i versori della base i,j,k perchè la terna N è diretta come la terna i,j,k.
Quindi i suoi autoversori coincidono con la terna i,j,k, poichè è la stessa terna traslata di Xg e Yg.
Ti torna come ragionamento?!
Ma dato che la figura è un quadrato senza i due rettangoli per trovare il centro ho usato la formula:
$y_G=\frac{y_(G_1) A_1- y_(G_2) A_2 - y_(G_3) A_3}{A_1- A_2 - A_3} $
Quindi
$y_G=4.26$
E
$x_G=3.98$
$y_G=\frac{y_(G_1) A_1- y_(G_2) A_2 - y_(G_3) A_3}{A_1- A_2 - A_3} $
Quindi
$y_G=4.26$
E
$x_G=3.98$
Prima di buttarti a calcolare il Baricentro G di una figura piana (parlo di figura poichè la densità è costante) guarda se ci sono assi di simmetria; in tal caso G appartiene a tale asse.
Nel tuo caso, così come suggerito, hai 2 assi di simmetria che individuano univocamente la posizione di G al "centro" della tua figura cioè (3.5;3.5).
Nel tuo caso, così come suggerito, hai 2 assi di simmetria che individuano univocamente la posizione di G al "centro" della tua figura cioè (3.5;3.5).
Sapresti dirmi cosa ho sbagliato nella formula?
Perchè il prof vuole i passaggi
Perchè il prof vuole i passaggi
Sei siciura che la formula è corretta?
Chi sono A1,A2,A3?
Chi sono A1,A2,A3?
Sono le aree
Si ho applicato la stessa formula che veniva usata quando avevo ad esempio un triangolo isoscele senza un triangolo isoscele al suo interno (ovviamente più piccolo) a questo caso ossia quando vi sono presenti 3 figure
Si ho applicato la stessa formula che veniva usata quando avevo ad esempio un triangolo isoscele senza un triangolo isoscele al suo interno (ovviamente più piccolo) a questo caso ossia quando vi sono presenti 3 figure
Che sono le aree lo avevo capito, ma quali?
Quel baricento lo puoi determinare per sottrazione di aree ma anche per somma, dipende quali sono le aree a cui ti riferisci tu.
Quel baricento lo puoi determinare per sottrazione di aree ma anche per somma, dipende quali sono le aree a cui ti riferisci tu.
A1 è l'area del quadrato mentre A2 e A3 sono le aree dei rettangoli rispettivamente a sinistra e destra
Comunque avevo fatto un errore di calcolo come al solito xD
Il centro di massa si trova in (3.5,3.5)
Quindi la matrice viene
$[ ( 158.42 , 0 , 0 ),( 0 , 108.42 , 0 ),( 0 , 0 , 266.84 ) ] $
e quindi vengono i versori ijk e mi trovo !
Grazie a tutti
Comunque avevo fatto un errore di calcolo come al solito xD
Il centro di massa si trova in (3.5,3.5)
Quindi la matrice viene
$[ ( 158.42 , 0 , 0 ),( 0 , 108.42 , 0 ),( 0 , 0 , 266.84 ) ] $
e quindi vengono i versori ijk e mi trovo !
Grazie a tutti
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