Meccanica Razionale Dubbio
Salve ragazzi, sono uno studente di ingegneria industriale e sto studiando meccanica razionale.
Ho terminato la cinematica ed ho iniziato da poco la dinamica.
Sono arrivato allo studio delle forze posizionali in particolare le forze conservative e centrali.
Parlando della forza elastica so che essa si esprime in questa maniera: F= $ Psi $ $ F= psi (r)bar(u) $
Il mio libro inoltre aggiunge questi passaggi per la forza elastica che ho capito fino ad un certo punto:
$ F=-krvec(u) $
$ F dP= -krvec(u) dp $
$ F dP= -krvec(u)drvec(u) $
Da qui in poi non riesco a capire i primi due passaggi che seguono.
$ F dp = -krdr $
$ FdP=-d(1/2r^2k) $
$ dUF=d(1/2kr^2) $
$ U=-1/2kr^2+c $
Grazie mille a chiunque possa darmi una mano.
Ho terminato la cinematica ed ho iniziato da poco la dinamica.
Sono arrivato allo studio delle forze posizionali in particolare le forze conservative e centrali.
Parlando della forza elastica so che essa si esprime in questa maniera: F= $ Psi $ $ F= psi (r)bar(u) $
Il mio libro inoltre aggiunge questi passaggi per la forza elastica che ho capito fino ad un certo punto:
$ F=-krvec(u) $
$ F dP= -krvec(u) dp $
$ F dP= -krvec(u)drvec(u) $
Da qui in poi non riesco a capire i primi due passaggi che seguono.
$ F dp = -krdr $
$ FdP=-d(1/2r^2k) $
$ dUF=d(1/2kr^2) $
$ U=-1/2kr^2+c $
Grazie mille a chiunque possa darmi una mano.
Risposte
Ciao Eddy167,
beato te che stai studiando questa bellissima materia
(Quale libro usi?)
Rapidamente ti posso fornire io una risposta, poi magari qualche collega (magari un matematico o un fisico) ti fornisce delucidazioni piu approfondite.
Dai passaggi che hai esposto ti riferisci indubbiamente al procedimento per ricavare la funzione potenziale della forza derivante da un elemento elastico (agente in una direzione in questo caso, quindi centrale e unidimensionale) e conservativa (cambiando segno alla funzione U e a meno della costante ottieni l'energia potenziale elastica immagazzinata in tale elemento elastico).
Una funzione per essere conservativa DEVE ammettere la funzione potenziale (in modo del tutto equivalente si puo pensare che il lavoro deve essere un differenziale esatto dalla nota relazione $ dU=dL $ ); nota pero che tale condizione non è sufficiente per garantire che la forza sia conservativa, esistono infatti forze non conservative che ammettono funzione potenziale , ad esempio la forza derivante da un attrito viscoso (pur essendo palesemente dissipativa).
In altri termini : $ grad(U) = ((partial U)/(partial x))hat(i) + ((partial U)/(partial y))hat(j) + ((partial U)/(partial z))hat(k) = vec(F) $
dunque passiamo a quella che è la definizione di funzione potenziale, ovvero quella funzione scalare il cui gradiente corrisponde alla forza ad essa relativa.
Da qui ne deriva subito la soluzione al tuo problema, ovvero, ipotizzando che la forza si sviluppi sull'asse x:
$ int F dx = -int Kx dx = -(1) / (2) Kx^2 + cost = U $
nota che vale il procedimento inverso (dove la costante come sai si perde nella derivazione):
$ grad(U) = (partial U)/(partial x)hat(i) = (partial (-(1) / (2) Kx^2))/(partial x)hat(i) = -Kxhat(i) = vec(F) $
Ti è un po' piu chiaro ora quel procedimento?
beato te che stai studiando questa bellissima materia
(Quale libro usi?)
Rapidamente ti posso fornire io una risposta, poi magari qualche collega (magari un matematico o un fisico) ti fornisce delucidazioni piu approfondite.
Dai passaggi che hai esposto ti riferisci indubbiamente al procedimento per ricavare la funzione potenziale della forza derivante da un elemento elastico (agente in una direzione in questo caso, quindi centrale e unidimensionale) e conservativa (cambiando segno alla funzione U e a meno della costante ottieni l'energia potenziale elastica immagazzinata in tale elemento elastico).
Una funzione per essere conservativa DEVE ammettere la funzione potenziale (in modo del tutto equivalente si puo pensare che il lavoro deve essere un differenziale esatto dalla nota relazione $ dU=dL $ ); nota pero che tale condizione non è sufficiente per garantire che la forza sia conservativa, esistono infatti forze non conservative che ammettono funzione potenziale , ad esempio la forza derivante da un attrito viscoso (pur essendo palesemente dissipativa).
In altri termini : $ grad(U) = ((partial U)/(partial x))hat(i) + ((partial U)/(partial y))hat(j) + ((partial U)/(partial z))hat(k) = vec(F) $
dunque passiamo a quella che è la definizione di funzione potenziale, ovvero quella funzione scalare il cui gradiente corrisponde alla forza ad essa relativa.
Da qui ne deriva subito la soluzione al tuo problema, ovvero, ipotizzando che la forza si sviluppi sull'asse x:
$ int F dx = -int Kx dx = -(1) / (2) Kx^2 + cost = U $
nota che vale il procedimento inverso (dove la costante come sai si perde nella derivazione):
$ grad(U) = (partial U)/(partial x)hat(i) = (partial (-(1) / (2) Kx^2))/(partial x)hat(i) = -Kxhat(i) = vec(F) $
Ti è un po' piu chiaro ora quel procedimento?
"Bibo90":
Ciao Eddy167,
beato te che stai studiando questa bellissima materia
(Quale libro usi?)
Rapidamente ti posso fornire io una risposta, poi magari qualche collega (magari un matematico o un fisico) ti fornisce delucidazioni piu approfondite.
Dai passaggi che hai esposto ti riferisci indubbiamente al procedimento per ricavare la funzione potenziale della forza derivante da un elemento elastico (agente in una direzione in questo caso, quindi centrale e unidimensionale) e conservativa (cambiando segno alla funzione U e a meno della costante ottieni l'energia potenziale elastica immagazzinata in tale elemento elastico).
Una funzione per essere conservativa DEVE ammettere la funzione potenziale (in modo del tutto equivalente si puo pensare che il lavoro deve essere un differenziale esatto dalla nota relazione $ dU=dL $ ); nota pero che tale condizione non è sufficiente per garantire che la forza sia conservativa, esistono infatti forze non conservative che ammettono funzione potenziale , ad esempio la forza derivante da un attrito viscoso (pur essendo palesemente dissipativa).
In altri termini : $ grad(U) = ((partial U)/(partial x))hat(i) + ((partial U)/(partial y))hat(j) + ((partial U)/(partial z))hat(k) = vec(F) $
dunque passiamo a quella che è la definizione di funzione potenziale, ovvero quella funzione scalare il cui gradiente corrisponde alla forza ad essa relativa.
Da qui ne deriva subito la soluzione al tuo problema, ovvero, ipotizzando che la forza si sviluppi sull'asse x:
$ int F dx = -int Kx dx = -(1) / (2) Kx^2 + cost = U $
nota che vale il procedimento inverso (dove la costante come sai si perde nella derivazione):
$ grad(U) = (partial U)/(partial x)hat(i) = (partial (-(1) / (2) Kx^2))/(partial x)hat(i) = -Kxhat(i) = vec(F) $
Ti è un po' piu chiaro ora quel procedimento?
Grazie mille per la risposta.
Il libro è Meccanica Razionale per l'ingegneria di Giuseppe Saccomandi.
Non capisco cosa significa la citazione " cambiare segno a meno di una costante per ottenere l'energia potenziale elastica".
E' una frase che ho notato parecchie volte anche in fisica e magari in analisi.
"Eddy167":
Grazie mille per la risposta.
di nulla
"Eddy167":
Il libro è Meccanica Razionale per l'ingegneria di Giuseppe Saccomandi.
Bellissimo libro, è lo stesso su cui ho studiato io .
"Eddy167":
Non capisco cosa significa la citazione " cambiare segno a meno di una costante per ottenere l'energia potenziale elastica".
E' una frase che ho notato parecchie volte anche in fisica e magari in analisi.
provo a spiegarmi meglio con un esempio ; dato un campo vettoriale (esempio il campo di accelerazione gravitazionale) ed una forza conservativa ad esso associata (Forza peso), l'espressione dell'energia potenziale associata a tale forza è data dalla funzione potenziale (U nel post precedente) cambiata di segno e a meno della costante di integrazione.
Rimanendo in tema di forza peso, proviamo a calcolare l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale, dove con k è inteso il versore di z adottato come quota, e diretto verso l'alto:
$ vec(F)=-Mvec(g)=-Mghat(k) $
$int F dz = -int Mgdz = -Mgz + cost=U$
$E_(pot.)=-U=Mgz + cost$
ora se si vuole calcolare l'incremento di energia potenziale da un punto 1 (corrispondente ad z1) ad un punto 2 (corrispondente ad z2) corrispondente a sua volta ad un incremento di quota h , basta ragionare in questi termini:
$E_(pot.)^2 - E_(pot.)^1= Mg(z_2-z_1)=Mgh$
dove le costati si sono semplificate.
Nota come in questo caso e secondo tale modello di campo gravitazionale, le superfici equipotenziali (ovvero quel luogo di punti ove U=cost) risultano essere dei piani orizzontali.
Lo stesso ed identico procedimento lo puoi effettuare anche all'esempio precedente con l'energia potenziale elastica (ho preferito farti un ulteriore esempio cosi che ne hai uno in piu
) esattamente con gli stessi passaggi logici.un po' piu chiaro?
Il fatto del segno del potenziale è solo una convenzione.
Sia $phi$ un campo scalare tale che $gradphi=vec(F)$, allora si definisce l'energia potenziale $U$ del campo di forze in questione come $U=-phi$
Sia $phi$ un campo scalare tale che $gradphi=vec(F)$, allora si definisce l'energia potenziale $U$ del campo di forze in questione come $U=-phi$
"Bibo90":
[quote="Eddy167"]
Grazie mille per la risposta.
di nulla
"Eddy167":
Il libro è Meccanica Razionale per l'ingegneria di Giuseppe Saccomandi.
Bellissimo libro, è lo stesso su cui ho studiato io .
"Eddy167":
Non capisco cosa significa la citazione " cambiare segno a meno di una costante per ottenere l'energia potenziale elastica".
E' una frase che ho notato parecchie volte anche in fisica e magari in analisi.
provo a spiegarmi meglio con un esempio ; dato un campo vettoriale (esempio il campo di accelerazione gravitazionale) ed una forza conservativa ad esso associata (Forza peso), l'espressione dell'energia potenziale associata a tale forza è data dalla funzione potenziale (U nel post precedente) cambiata di segno e a meno della costante di integrazione.
Rimanendo in tema di forza peso, proviamo a calcolare l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale, dove con k è inteso il versore di z adottato come quota, e diretto verso l'alto:
$ vec(F)=-Mvec(g)=-Mghat(k) $
$int F dz = -int Mgdz = -Mgz + cost=U$
$E_(pot.)=-U=Mgz + cost$
ora se si vuole calcolare l'incremento di energia potenziale da un punto 1 (corrispondente ad z1) ad un punto 2 (corrispondente ad z2) corrispondente a sua volta ad un incremento di quota h , basta ragionare in questi termini:
$E_(pot.)^2 - E_(pot.)^1= Mg(z_2-z_1)=Mgh$
dove le costati si sono semplificate.
Nota come in questo caso e secondo tale modello di campo gravitazionale, le superfici equipotenziali (ovvero quel luogo di punti ove U=cost) risultano essere dei piani orizzontali.
Lo stesso ed identico procedimento lo puoi effettuare anche all'esempio precedente con l'energia potenziale elastica (ho preferito farti un ulteriore esempio cosi che ne hai uno in piu
) esattamente con gli stessi passaggi logici.un po' piu chiaro?
[/quote]Grandioso!
Ci sono riuscito. Ho ottenuto l'espressione dell'energia potenziale elastica grazie al ragionamento lavoro energia in termini infinitesimali. Ecco il mio procedimento $ vec(F) =-kvec(x) $
$ vec(F=-kxvec(i) ) $ (supponendo spostamento unidirezionale lungo l'asse x)
Dalla nota proprietà delle forze conservative ho scritto: $ vec(F ) vec(dx) = dU= dL $
Quindi:
$ intvec(F) vec(dx) =- 1/2k x^2 +c $ Cambiando segno ottengo l'energia potenziale elastica.
Corretto?
Inoltre ho letto che la formula : $ vec(F) ** vec(dx) = F1 dx1+ F2 dx2+F3dx3= dU $
E' una forma differenziale esatta. Adesso dalle mie conoscenze di analisi so che una forma differenziale si dice esatta quando è chiusa e si trova in un insieme semplicemente connesso. Il libro parla invece di qualcos'altro..
Dice che una forma differenziale si dice esatta quando è il differenziale di una funzione nel nostro caso dU..
Ho capito bene o c'è qualcosa di sbagliato?
Grazie ancora
Confondi definizioni con teoremi.
"Eddy167":
Grandioso!
Ci sono riuscito. Ho ottenuto l'espressione dell'energia potenziale elastica grazie al ragionamento lavoro energia in termini infinitesimali. Ecco il mio procedimento $ vec(F) =-kvec(x) $
$ vec(F=-kxvec(i) ) $ (supponendo spostamento unidirezionale lungo l'asse x)
Dalla nota proprietà delle forze conservative ho scritto: $ vec(F ) vec(dx) = dU= dL $
Quindi:
$ intvec(F) vec(dx) =- 1/2k x^2 +c $ Cambiando segno ottengo l'energia potenziale elastica.
Corretto?
Inoltre ho letto che la formula : $ vec(F) ** vec(dx) = F1 dx1+ F2 dx2+F3dx3= dU $
Grazie ancora
il risultato è corretto anche se c'è un po di confusione nel procedimento
(ad esempio prima utilizzi $hat(i)$ per indicare il versore di x [facendo pensare che ti riferisci ad un Sdr $O_(xyz)$] ma poi nell' ultima formula esprimi un vettore spostamento x [facendo pensare che ti riferisci ad un Sdr $O_(x_(1)x_(2)x_(3))$])
Sei comunque sulla strada giusta, studiaci su ancora un po' (facendo attenzione anche agli aspetti un po' piu formali [definizioni, toeremi, proprietà....]) e vedrai che per l'esame non avrai problemi
"Eddy167":
E' una forma differenziale esatta. Adesso dalle mie conoscenze di analisi so che una forma differenziale si dice esatta quando è chiusa e si trova in un insieme semplicemente connesso. Il libro parla invece di qualcos'altro..
Dice che una forma differenziale si dice esatta quando è il differenziale di una funzione nel nostro caso dU..
Ho capito bene o c'è qualcosa di sbagliato?
Mi spiace ma non sono un matematico e rischierei sicuramente di darti definizioni imprecise o comunque non farei altro che riportarti una definizione da un testo. Ti consiglio di porre il problema sulla sezione del forum relativa all'analisi matematica dove i colleghi di matematica ti daranno sicuramente una risposta piu soddisfacente
"Vulplasir":
Confondi definizioni con teoremi.
Se Vulplasir ha notato qualcosa che non va penso sia nel tuo interesse chiedergli cosa
"Vulplasir":
Confondi definizioni con teoremi.
In quale occasione?
Grazie
In quale occasione?
Riguardo alle forme differenziali, infatti ciò che dice il libro e ciò che ti ricordi te sono entrambi esatti, ma la differenza tra loro è che ciò che dice il libro è la definizione di forma differenziale esatta, mentre ciò che ti ricordi te è un teorema, ossia una certa condizione che ti permette di determinare se una forma è esatta o no, ma il "che cos'è una forma esatta" ti viene detto dalla definizione, quindi $vec(F)*dvec(s)=F_xdx+F_ydy+F_zdz=dU$ è una forma esatta perché in base alla definizione è il differenziale di una funzione scalare $U$
"Vulplasir":In quale occasione?
Riguardo alle forme differenziali, infatti ciò che dice il libro e ciò che ti ricordi te sono entrambi esatti, ma la differenza tra loro è che ciò che dice il libro è la definizione di forma differenziale esatta, mentre ciò che ti ricordi te è un teorema, ossia una certa condizione che ti permette di determinare se una forma è esatta o no, ma il "che cos'è una forma esatta" ti viene detto dalla definizione, quindi $vec(F)*dvec(s)=F_xdx+F_ydy+F_zdz=dU$ è una forma esatta perché in base alla definizione è il differenziale di una funzione scalare $U$
Grazie
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