[Meccanica delle macchine] Macchina Volumetrica Alternativa
Buongiorno a tutti,
Devo fare una relazione preliminare all'esame di Macchine per ingegneria civile e mi viene chiesto di fare una modellazione della fase di espansione di un gas in una macchina volumetrica alternativa. Devo trovare la relazione che lega al tempo la variazione di pressione nel cilindro di una macchina come può essere un compressore, sia nel caso ideale che reale.
Ora, io non sapevo proprio da dove cominciare e ho pensato di seguire questo ragionamento che peraltro porta ad ulteriori dubbi:
- Mi calcolo la variazione di lavoro dall'interno, considerando la trasformazione isoentropica
$ W=\frac{1}{1-k}\left[p_1v_1-pv\right] $
- Mi calcolo il lavoro meccanico della manovella:
$ W_e=\int_{\vartheta_1}^{\theta}M\left(\theta\right)d\theta=\int_{t_1}^{t}M\omegadt $
dove $ M=F_b\cdot b $ è la coppia ovvero la forza di pressione lungo la biella per il braccio istantaneo b che varia in funzione di teta e quindi di omega*tempo.
Facendola breve, ottengo:
$ W_e=\int_{t_1}^{t}{p\ r\left(sin{\left(\omega t\right)}+\frac{\lambda}{2}\cdot s i n{2\omega t}\right)}dt $
dove r è il raggio di biella di manovella, lambda è il coefficiente di riempimento volumetrico;
Per il principio di conservazione dell'energia vorrei eguagliare i lavori ma rimangono tante incognite nel problema.
Il procedimento che ho svolto è totalmente basato su mie supposizioni e non ho assolutamente la certezza della sua esattezza, anche per via della scarsa qualità di didattica fornita dal docente in questo semestre.
Mi scuso inoltre per la frettolosità nello scrivere la domanda, ma nutro sempre forti dubbi sullo scrivere sui forum, anche perché tutte le volte che mi è capitato di doverlo fare non ho mai ricevuto risposte.
Devo fare una relazione preliminare all'esame di Macchine per ingegneria civile e mi viene chiesto di fare una modellazione della fase di espansione di un gas in una macchina volumetrica alternativa. Devo trovare la relazione che lega al tempo la variazione di pressione nel cilindro di una macchina come può essere un compressore, sia nel caso ideale che reale.
Ora, io non sapevo proprio da dove cominciare e ho pensato di seguire questo ragionamento che peraltro porta ad ulteriori dubbi:
- Mi calcolo la variazione di lavoro dall'interno, considerando la trasformazione isoentropica
$ W=\frac{1}{1-k}\left[p_1v_1-pv\right] $
- Mi calcolo il lavoro meccanico della manovella:
$ W_e=\int_{\vartheta_1}^{\theta}M\left(\theta\right)d\theta=\int_{t_1}^{t}M\omegadt $
dove $ M=F_b\cdot b $ è la coppia ovvero la forza di pressione lungo la biella per il braccio istantaneo b che varia in funzione di teta e quindi di omega*tempo.
Facendola breve, ottengo:
$ W_e=\int_{t_1}^{t}{p\ r\left(sin{\left(\omega t\right)}+\frac{\lambda}{2}\cdot s i n{2\omega t}\right)}dt $
dove r è il raggio di biella di manovella, lambda è il coefficiente di riempimento volumetrico;
Per il principio di conservazione dell'energia vorrei eguagliare i lavori ma rimangono tante incognite nel problema.
Il procedimento che ho svolto è totalmente basato su mie supposizioni e non ho assolutamente la certezza della sua esattezza, anche per via della scarsa qualità di didattica fornita dal docente in questo semestre.
Mi scuso inoltre per la frettolosità nello scrivere la domanda, ma nutro sempre forti dubbi sullo scrivere sui forum, anche perché tutte le volte che mi è capitato di doverlo fare non ho mai ricevuto risposte.
Risposte
Ciao,
provo a darti il metodo che seguirei io. Non sono assolutamente sicuro che sia l’unico possibile, cerco solo di darti un aiuto in più.
Io direi di abbinare equazioni di termodinamica e meccanica:
1) con la meccanica, tramite un bilancio di potenze, puoi ricavare la potenza uscente dal cilindro, che è data dal prodotto di pressione, area del pistone e velocità del pistone. La velocità del pistone puoi ricavarla dalla cinematica, e l’area del pistone, se non è nota, credo tu debba ipotizzarla (dipende anche dal tipo di esercizio, e immagino che questo richieda qualche ipotesi, almeno per i dati che hai fornito);
2) con la termodinamica puoi usare la Legge dei Gas Perfetti, nella quale hai il volume che è noto (lo calcoli dalla geometria al variare dell’angolo della manovella) e se conosci il gas utilizzato hai anche la R*. A quel punto rimangono la pressione, la temperatura e la massa di gas (che in qualche modo deve esserti data, perché la pressione dipende strettamente da questo parametro; magari puoi ricavarla dal riempimento volumetrico del pistone). Attualmente hai due incognite, ma puoi aggiungere la Prima Legge della Termodinamica in forma differenziale per sistemi chiusi (dU=dQ-dL, con dQ entrante e dL uscente), ipotizzando che sia adiabatico. Se hai un gas, allora dU=mcv*dT e dL lo puoi ricavare dalla potenza entrante ricavat col bilancio di potenze.
Così hai la Legge dei Gas Perfetti e la Prima Legge della Termodinamica: dalla prima ricavi la temperatura in funzione della pressione, la sostituisci nella seconda (con anche la sua derivata) e così hai un’equazione differenziale nella sola pressione. Ipotizzi un valore iniziale e poi la integri.
provo a darti il metodo che seguirei io. Non sono assolutamente sicuro che sia l’unico possibile, cerco solo di darti un aiuto in più.
Io direi di abbinare equazioni di termodinamica e meccanica:
1) con la meccanica, tramite un bilancio di potenze, puoi ricavare la potenza uscente dal cilindro, che è data dal prodotto di pressione, area del pistone e velocità del pistone. La velocità del pistone puoi ricavarla dalla cinematica, e l’area del pistone, se non è nota, credo tu debba ipotizzarla (dipende anche dal tipo di esercizio, e immagino che questo richieda qualche ipotesi, almeno per i dati che hai fornito);
2) con la termodinamica puoi usare la Legge dei Gas Perfetti, nella quale hai il volume che è noto (lo calcoli dalla geometria al variare dell’angolo della manovella) e se conosci il gas utilizzato hai anche la R*. A quel punto rimangono la pressione, la temperatura e la massa di gas (che in qualche modo deve esserti data, perché la pressione dipende strettamente da questo parametro; magari puoi ricavarla dal riempimento volumetrico del pistone). Attualmente hai due incognite, ma puoi aggiungere la Prima Legge della Termodinamica in forma differenziale per sistemi chiusi (dU=dQ-dL, con dQ entrante e dL uscente), ipotizzando che sia adiabatico. Se hai un gas, allora dU=mcv*dT e dL lo puoi ricavare dalla potenza entrante ricavat col bilancio di potenze.
Così hai la Legge dei Gas Perfetti e la Prima Legge della Termodinamica: dalla prima ricavi la temperatura in funzione della pressione, la sostituisci nella seconda (con anche la sua derivata) e così hai un’equazione differenziale nella sola pressione. Ipotizzi un valore iniziale e poi la integri.
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