[Meccanica Applicata]Applicaz. Momento delle f. di inerzia
Salve a tutti,
Ho delle grosse difficoltà con il seguente esercizio in cui bisogna calcore il momento risultante delle forze di inerzia rispetto al baricentro del disco della macina. Il prof. che ha fatto queste dispense scrive, come si può notare dalle immagini in basso, che essendo il disco in moto composto esso avrà nel moto assoluto una componente diretta lungo l'asse x (moto relativo) ed un'altra lungo l'asse z (nel moto di trascinamento da parte del braccio della macina).
Come si può notare calcola le componenti della velocità angolare del solido in questione (segnato in rosso) considerando i suoi assi principali di inerzia; calcola quindi il momento della quantità di moto rispetto alla cerniera O e attraverso il prodotto vettoriale tra la velocità angolare ed il momento della quantità di moto calcola, infine, il momento risultante delle forze di inerzia cercato. Quello che non capisco e come mai in tale calcolo non c'è la componente della velocità angolare relativa ossia \(\displaystyle p=\omega_1=-\frac{R}{r}\Omega \) (verde) come se lungo l'asse x non ci fossero componenti di velocità angolare.
Ho delle grosse difficoltà con il seguente esercizio in cui bisogna calcore il momento risultante delle forze di inerzia rispetto al baricentro del disco della macina. Il prof. che ha fatto queste dispense scrive, come si può notare dalle immagini in basso, che essendo il disco in moto composto esso avrà nel moto assoluto una componente diretta lungo l'asse x (moto relativo) ed un'altra lungo l'asse z (nel moto di trascinamento da parte del braccio della macina).
Come si può notare calcola le componenti della velocità angolare del solido in questione (segnato in rosso) considerando i suoi assi principali di inerzia; calcola quindi il momento della quantità di moto rispetto alla cerniera O e attraverso il prodotto vettoriale tra la velocità angolare ed il momento della quantità di moto calcola, infine, il momento risultante delle forze di inerzia cercato. Quello che non capisco e come mai in tale calcolo non c'è la componente della velocità angolare relativa ossia \(\displaystyle p=\omega_1=-\frac{R}{r}\Omega \) (verde) come se lungo l'asse x non ci fossero componenti di velocità angolare.
Risposte
Nella relazione (70), hai innanzitutto un segno "$-$" , perchè si tratta di calcolare il momento "delle forze di inerzia" .
Cioè $\vecM_G$ non è un momento di forze esterne applicato, è chiaro questo?
E' come quando dici, nella seconda legge della Dinamica ,che " la forza di inerzia è uguale a $-m*\veca$ .
Ma questo sicuramente lo sai, il tuo dubbio è un altro. E riguarda il vettore $\vec\omega$
Come dice chiaramente il testo, tale $\vec\omega$ è la velocità angolare con cui la terna mobile ruota rispetto alla terna fissa. Esso perciò non ha nulla a che vedere con la velocità relativa $\omega_1$ con cui la macina ruota attorno al suo asse orizzontale !
Dice il testo, giustamente, che "la velocità angolare con cui la terna mobile ruota rispetto alla terna fissa non è altro che $\Omega\veck$
Perciò, il determinante simbolico per il calcolo del prodotto vettoriale $\vec\omega\times\vecK_G$ è corretto.
Tutto sta nel capire il secondo membro della (70) , dove è riportata ( col segno $-$) la derivata temporale del vettore $\vecK_G$ calcolata nel rferimento fisso, uguale alla derivata temporale dello stesso vettore nel riferimento mobile ( che è uguale a zero perchè le tre quantità $p,q,r$ sono costanti) più il prodotto vettoriale $\vec\omega\times\vecK_G$.
Questo modo di calcolare la derivata di un vettore nel riferimento fisso ti dovrebbe essere noto.
Cioè $\vecM_G$ non è un momento di forze esterne applicato, è chiaro questo?
E' come quando dici, nella seconda legge della Dinamica ,che " la forza di inerzia è uguale a $-m*\veca$ .
Ma questo sicuramente lo sai, il tuo dubbio è un altro. E riguarda il vettore $\vec\omega$
Come dice chiaramente il testo, tale $\vec\omega$ è la velocità angolare con cui la terna mobile ruota rispetto alla terna fissa. Esso perciò non ha nulla a che vedere con la velocità relativa $\omega_1$ con cui la macina ruota attorno al suo asse orizzontale !
Dice il testo, giustamente, che "la velocità angolare con cui la terna mobile ruota rispetto alla terna fissa non è altro che $\Omega\veck$
Perciò, il determinante simbolico per il calcolo del prodotto vettoriale $\vec\omega\times\vecK_G$ è corretto.
Tutto sta nel capire il secondo membro della (70) , dove è riportata ( col segno $-$) la derivata temporale del vettore $\vecK_G$ calcolata nel rferimento fisso, uguale alla derivata temporale dello stesso vettore nel riferimento mobile ( che è uguale a zero perchè le tre quantità $p,q,r$ sono costanti) più il prodotto vettoriale $\vec\omega\times\vecK_G$.
Questo modo di calcolare la derivata di un vettore nel riferimento fisso ti dovrebbe essere noto.
Si questo è chiaro. Ma il mio dubbio era come mai al momento di calcolare \(\displaystyle K_G \) interviene la velocità assoluta angolare del disco, ossia \(\displaystyle -\frac{R}{r}\Omega\vec{i_1}+\Omega\vec{k_1} \) mentre quando si tratta di fare quel prodotto vettoriale si considera solo la rotazione della terna mobile \(\displaystyle \Omega\vec{k_1} \)
Dalla tua risposta penso invece che non ti sia tanto chiaro. E allora ci provo, poi mi dirai se qualcosa è più chiaro.
Il vettore momento angolare si riferisce di solito (ma è solo per una questione di semplificazione dei calcoli) alla terna principale di inerzia del corpo in moto, relativa al punto scelto come origine delle coordinate mobili. Questa terna è solidale al corpo in moto.
Avendo scelto come origine $G$, la terna principale è la terna centrale di inerzia, chiaramente. Perciò il vettore $\vecK_G$ ha le componenti $(Ap,Bq,Cr)$ rispetto ad essa ( l'espressione vettoriale è quella al di sotto della eq (70), come ben puoi vedere). Nel tuo caso, si ha : $B=C$ , cioè due dei tre momenti centrali di inerzia sono uguali, il corpo è "a struttura giroscopica".
Il momento angolare $\vecK_G$ potrebbe variare, in generale, sia rispetto al corpo ( cioè, nel nostro caso, rispetto al riferimento mobile $Gx_1y_1z_1$ ) che rispetto al riferimento assoluto.
Come minimo, se anche $\vecK_G$ non varia rispetto al corpo ( e questo è il tuo caso, perchè le tre componenti $(p,q,r,)$ della velocità angolare sono costanti) esso varia, rispetto al riferimento assoluto, a causa del moto del riferimento mobile rispetto al riferimento fisso: moto che è rotatorio, attorno all'asse $z$ , con velocità angolare $\Omega\veck$. E' chiaro questo punto?
E sappiamo che il momento angolare varia se applichiamo un "momento di forze esterne" al sistema, giusto?
LA seconda eq Cardinale della Dinamica ci dice infatti che : $\vecM_e = (d\vecK_G)/(dt)$, dove entrambi i vettori (momento delle forze esterne e momento angolare) vanno riferiti allo stesso polo, fisso o coincidente col baricentro.
Perciò, se vogliamo calcolare il "momento delle forze di inerzia" che nascono nel sistema, essendo tale momento uguale e contrario a quel $\vecM_e$ detto prima, non dobbiamo far altro che calcolare la famosa derivata $(d\vecK_G)/(dt)$ e metterle davanti un segno "$-$". La dobbiamo calcolare nel riferimento assoluto, poichè stiamo cercando il momento delle forze di inerzia, con cui la macina reagisce, rispetto al riferimento assoluto.
Ora qui è il nocciolo della faccenda. Come si fa a calcolare $(d\vecK_G)/(dt)$ nel riferimento assoluto?
Probabilmente, il libro ha spiegato questo in un precedente capitolo ( il testo fa riferimento ad una formula (37) , che io non so, ma immagino) .
Comunque, la storia è questa: la derivata temporale di un vettore $\vecv$ calcolata in un riferimento FISSO è somma della derivata calcolata nel riferimento MOBILE e della quantità $\vec\omega\times\vecv$, dove $\vecomega$ è la velocità angolare con cui il rif mobile ruota rispetto al fisso.
In formule : $ [(d\vecv)/(dt) ]_F = [(d\vecv)/(dt) ]_M + \vec\omega\times\vecv$
E questo succede perchè il rif mobile ha un "moto di corpo rigido" rispetto al fisso : la vel angolare $\vec\omega$ che qui compare è la velocità di rotazione del rif mobile rispetto al rif fisso.
Perciò, se al posto del generico $\vecv$ ci metti $\vecK_G$ , e se tieni presente che la vel angolare del rif mobile rispetto al fisso è uguale, nel nostro caso, a : $\Omega\veck$ , ottieni :
$ [(d\vecK_G)/(dt) ]_F = [(d\vecK_G)/(dt) ]_M + \vec\Omega\times\vecK_G$
Ma il primo termine al secondo membro è zero, come abbiamo già detto. Per cui rimane :
$ (d\vecK_G)/(dt) |_F = \vec\Omega\times\vecK_G$
Ecco spiegato quindi che il determinante simbolico scritto nel testo è giusto.
Spero di averti chiarito qualche concetto in più. Se hai ancora dubbi, fammelo sapere.
Il vettore momento angolare si riferisce di solito (ma è solo per una questione di semplificazione dei calcoli) alla terna principale di inerzia del corpo in moto, relativa al punto scelto come origine delle coordinate mobili. Questa terna è solidale al corpo in moto.
Avendo scelto come origine $G$, la terna principale è la terna centrale di inerzia, chiaramente. Perciò il vettore $\vecK_G$ ha le componenti $(Ap,Bq,Cr)$ rispetto ad essa ( l'espressione vettoriale è quella al di sotto della eq (70), come ben puoi vedere). Nel tuo caso, si ha : $B=C$ , cioè due dei tre momenti centrali di inerzia sono uguali, il corpo è "a struttura giroscopica".
Il momento angolare $\vecK_G$ potrebbe variare, in generale, sia rispetto al corpo ( cioè, nel nostro caso, rispetto al riferimento mobile $Gx_1y_1z_1$ ) che rispetto al riferimento assoluto.
Come minimo, se anche $\vecK_G$ non varia rispetto al corpo ( e questo è il tuo caso, perchè le tre componenti $(p,q,r,)$ della velocità angolare sono costanti) esso varia, rispetto al riferimento assoluto, a causa del moto del riferimento mobile rispetto al riferimento fisso: moto che è rotatorio, attorno all'asse $z$ , con velocità angolare $\Omega\veck$. E' chiaro questo punto?
E sappiamo che il momento angolare varia se applichiamo un "momento di forze esterne" al sistema, giusto?
LA seconda eq Cardinale della Dinamica ci dice infatti che : $\vecM_e = (d\vecK_G)/(dt)$, dove entrambi i vettori (momento delle forze esterne e momento angolare) vanno riferiti allo stesso polo, fisso o coincidente col baricentro.
Perciò, se vogliamo calcolare il "momento delle forze di inerzia" che nascono nel sistema, essendo tale momento uguale e contrario a quel $\vecM_e$ detto prima, non dobbiamo far altro che calcolare la famosa derivata $(d\vecK_G)/(dt)$ e metterle davanti un segno "$-$". La dobbiamo calcolare nel riferimento assoluto, poichè stiamo cercando il momento delle forze di inerzia, con cui la macina reagisce, rispetto al riferimento assoluto.
Ora qui è il nocciolo della faccenda. Come si fa a calcolare $(d\vecK_G)/(dt)$ nel riferimento assoluto?
Probabilmente, il libro ha spiegato questo in un precedente capitolo ( il testo fa riferimento ad una formula (37) , che io non so, ma immagino) .
Comunque, la storia è questa: la derivata temporale di un vettore $\vecv$ calcolata in un riferimento FISSO è somma della derivata calcolata nel riferimento MOBILE e della quantità $\vec\omega\times\vecv$, dove $\vecomega$ è la velocità angolare con cui il rif mobile ruota rispetto al fisso.
In formule : $ [(d\vecv)/(dt) ]_F = [(d\vecv)/(dt) ]_M + \vec\omega\times\vecv$
E questo succede perchè il rif mobile ha un "moto di corpo rigido" rispetto al fisso : la vel angolare $\vec\omega$ che qui compare è la velocità di rotazione del rif mobile rispetto al rif fisso.
Perciò, se al posto del generico $\vecv$ ci metti $\vecK_G$ , e se tieni presente che la vel angolare del rif mobile rispetto al fisso è uguale, nel nostro caso, a : $\Omega\veck$ , ottieni :
$ [(d\vecK_G)/(dt) ]_F = [(d\vecK_G)/(dt) ]_M + \vec\Omega\times\vecK_G$
Ma il primo termine al secondo membro è zero, come abbiamo già detto. Per cui rimane :
$ (d\vecK_G)/(dt) |_F = \vec\Omega\times\vecK_G$
Ecco spiegato quindi che il determinante simbolico scritto nel testo è giusto.
Spero di averti chiarito qualche concetto in più. Se hai ancora dubbi, fammelo sapere.
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