[Meccanica applicata] Sistemi vibranti a più gradi di libertà
Salve,
spero possiate aiutarmi a risolvere qualche dubbio.
In generale posso scrivere le equazioni del moto di un sistema vibrante a n gradi di libertà in forma matriciale nel seguente modo (sotto le opportune ipotesi):
$[m]{ddot(x)}+[c]{dot(x)}+[k]{x}={f(t)}$
Dove $[m]$ è la matrice delle masse, $[k]$ la matrice delle rigidezze e $[c]$ la matrice dello smorzamento viscoso.
Mettiamoci ora nel caso di $n=2$ la matrice delle masse avrà una forma del tipo:
$ [ ( m_11 , m_12 ),( m_21 , m_22 ) ] $
Ora il mio dubbio è il seguente, in tutti i sistemi che ho analizzato (come esercizio) la matrice delle masse aveva una forma diagonale
$ [ ( m_1 , 0 ),( 0 , m_2 ) ] $
tanto da farmi indurre a pensare che fosse una proprietà generale. Visto che così non è ho iniziato a pensare a degli esempi fisici che potessero dare un senso al caso generale ma non ne ho trovati.
Sviluppando il sistema infatti ottengo:
$ { ( m_11ddot(x_1)+m_12ddot(x_2)+...=f_1(t) ),( m_21ddot(x_1)+m_22ddot(x_2)+...=f_2(t) ):} $
La cosa che non mi torna è che il criterio da me adottato per scrivere le equazioni del moto non contempla di avere due accelerazioni nella stessa equazione. Mi spiego meglio. Applico il secondo principio della dinamica prima immaginando $m_1$ in moto e $m_2$ ferma e poi viceversa. Da questo mio modo di procedere non riesco a capire perché in generale non è vero che la matrice delle masse sia diagonale.
Spero di essermi spiegato al meglio e in attesa di risposta vi ringrazio per l'attenzione
spero possiate aiutarmi a risolvere qualche dubbio.
In generale posso scrivere le equazioni del moto di un sistema vibrante a n gradi di libertà in forma matriciale nel seguente modo (sotto le opportune ipotesi):
$[m]{ddot(x)}+[c]{dot(x)}+[k]{x}={f(t)}$
Dove $[m]$ è la matrice delle masse, $[k]$ la matrice delle rigidezze e $[c]$ la matrice dello smorzamento viscoso.
Mettiamoci ora nel caso di $n=2$ la matrice delle masse avrà una forma del tipo:
$ [ ( m_11 , m_12 ),( m_21 , m_22 ) ] $
Ora il mio dubbio è il seguente, in tutti i sistemi che ho analizzato (come esercizio) la matrice delle masse aveva una forma diagonale
$ [ ( m_1 , 0 ),( 0 , m_2 ) ] $
tanto da farmi indurre a pensare che fosse una proprietà generale. Visto che così non è ho iniziato a pensare a degli esempi fisici che potessero dare un senso al caso generale ma non ne ho trovati.
Sviluppando il sistema infatti ottengo:
$ { ( m_11ddot(x_1)+m_12ddot(x_2)+...=f_1(t) ),( m_21ddot(x_1)+m_22ddot(x_2)+...=f_2(t) ):} $
La cosa che non mi torna è che il criterio da me adottato per scrivere le equazioni del moto non contempla di avere due accelerazioni nella stessa equazione. Mi spiego meglio. Applico il secondo principio della dinamica prima immaginando $m_1$ in moto e $m_2$ ferma e poi viceversa. Da questo mio modo di procedere non riesco a capire perché in generale non è vero che la matrice delle masse sia diagonale.
Spero di essermi spiegato al meglio e in attesa di risposta vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
La teoria dei sistemi vibranti a più gdl si applica a qualsiasi tipo di sistema in qualsiasi sistema di coordinate lagrangiane, e richiede l'approssimazione del potenziale conservativo della lagrangiana al secondo ordine (per ottenere la cosiddetta "matrice delle rigidezze", che in teoria non ha niente a che fare con nessun rigidezza essendo un concetto molto più ampio) e l'approssimazione del potenziale di Rayleigh (per le forze viscose) al secondo ordine, ottenendo la cosiddetta matrice di smorzamento viscoso, inoltre l'energia cinetica in un sistema lagrangiano è una quadrica definita positiva, la cosiddetta matrice delle masse è la valutazione di quella quadrica nelle coordinate di equilibrio (infatti essendo una quadrica la sua approssimazione al secondo ordine coincide con essa stessa, in effetti anche il potenziale viscoso è quadratico, la sua aprossimazione al secondo ordine coincide con essa stessa valutata nel punto di equilibrio). La teoria generale ci dice che, dato un sistema materiale a vincoli fissi e lisci, sotto posto a forza conservative, a forze dissipative del tipo $f=-kvecv$ e a forze generiche Q(t), detto U(q) il potenziale lagrangiano delle forze conservative, detto $F=1/2sum(k_iv_i^2)$ il cosiddetto potenziale di Rayleigh per le forze dissipative viscose, le equazioni di Lagrange diventano:
$d/dt((partialL)/(partialdotq))-(partialL)/(partialq)+(partialF)/(partialdotq)=Q$
Tali equazioni possono essere linearizzate in un intorno di un posizione di equilibrio, approssimando al secondo ordine con Taylor sia la lagrangiana L sia la funzione di Rayleigh F, essendo L=T-U, ed essendo T una forma quadratica allora risulterà $T=1/2dotq*Mdotq$, anche F è quadratica e quindi $F=1/2dotq*Cdotq$, infinine $U=1/2q*Vq$ al secondo ordine.
Riscrivendo equindi le equazioni di Lagrange si ha:
$Mddotq+Cdotq+Vq=Q$
Nel CASO GENERALE di generico sistema a n gdlrispetto a generiche coordinate lagrangiane, tale sistema di equazioni è ACCOPPIATO, ossia le incognite delle singole equazioni del sistema si presentano anche sulle altre equazioni del sistema.
La matrice M ha espressione $M_(hk)=(partial^2T)/(partialq_hpartialq_k)$, è simmetrica e definita positiva, le matrici V e C sono anch'esse simmetriche (in generale semi-definite poisitive).
Supponiamo di essere in assenza di dissipazione viscosa, quindi $C=0$, un importante teorema ci dice che l'equazione:
$Mddotq+Vq=0$ può essere disaccoppiata facendo una opportuna trasformazione di coordinate $q=Rz$ con z le nuove coordinate e R la matrice di cambiamento di coordinate, ossia, detto in maniera migliore:
"Teorema dei modi normali: Esiste un sistema di coordinate lagrangine z, dette coordinate normali, in cui le equazioni linearizzate del moto sono disaccoppiate e rispetto alle quali coordinate il sistema compie moti oscillatori armonici INDIPENDENTI, detti modi normali"
In pratica questo teorema di dice che esiste un set di coordinate lagrangiane in cui M e V hanno rappresentazione diagonale. per rispondere alla tua domanda quindi: Tu trovi sempre che M è diagonale semplicemente perché scegli delle coordinate lagrangiane buone e soprattutto analizzi sistemi "semplici". Per esempio, in questo caso, rispetto alle coordinate $y_1$ e $y_2$ la matrice delle masse è diagonale, invece rispetto alle coordinate $z_1$ e $z_2$ non lo è, con $y_1=z_1$ e $y_2=z_1+z_2$
Oppure ancora, se tu come coordinate scegli la distanza delle masse dal punto di equilibrio delle molle, allora M sarà ancora diagonale...probabilmente tu hai sempre scelto queste coordinate e quindi ti risulta sempre M diagonale.
Nel caso genereale $Mddotq+Cdotq+Vq=0$ NON esiste un set di coordinate lagrangiane in cui M, C e V abbiano tutte e tre rappresentazione diagonale, quindi nel caso generale il problema è sempre accoppiato.
$d/dt((partialL)/(partialdotq))-(partialL)/(partialq)+(partialF)/(partialdotq)=Q$
Tali equazioni possono essere linearizzate in un intorno di un posizione di equilibrio, approssimando al secondo ordine con Taylor sia la lagrangiana L sia la funzione di Rayleigh F, essendo L=T-U, ed essendo T una forma quadratica allora risulterà $T=1/2dotq*Mdotq$, anche F è quadratica e quindi $F=1/2dotq*Cdotq$, infinine $U=1/2q*Vq$ al secondo ordine.
Riscrivendo equindi le equazioni di Lagrange si ha:
$Mddotq+Cdotq+Vq=Q$
Nel CASO GENERALE di generico sistema a n gdlrispetto a generiche coordinate lagrangiane, tale sistema di equazioni è ACCOPPIATO, ossia le incognite delle singole equazioni del sistema si presentano anche sulle altre equazioni del sistema.
La matrice M ha espressione $M_(hk)=(partial^2T)/(partialq_hpartialq_k)$, è simmetrica e definita positiva, le matrici V e C sono anch'esse simmetriche (in generale semi-definite poisitive).
Supponiamo di essere in assenza di dissipazione viscosa, quindi $C=0$, un importante teorema ci dice che l'equazione:
$Mddotq+Vq=0$ può essere disaccoppiata facendo una opportuna trasformazione di coordinate $q=Rz$ con z le nuove coordinate e R la matrice di cambiamento di coordinate, ossia, detto in maniera migliore:
"Teorema dei modi normali: Esiste un sistema di coordinate lagrangine z, dette coordinate normali, in cui le equazioni linearizzate del moto sono disaccoppiate e rispetto alle quali coordinate il sistema compie moti oscillatori armonici INDIPENDENTI, detti modi normali"
In pratica questo teorema di dice che esiste un set di coordinate lagrangiane in cui M e V hanno rappresentazione diagonale. per rispondere alla tua domanda quindi: Tu trovi sempre che M è diagonale semplicemente perché scegli delle coordinate lagrangiane buone e soprattutto analizzi sistemi "semplici". Per esempio, in questo caso, rispetto alle coordinate $y_1$ e $y_2$ la matrice delle masse è diagonale, invece rispetto alle coordinate $z_1$ e $z_2$ non lo è, con $y_1=z_1$ e $y_2=z_1+z_2$
Oppure ancora, se tu come coordinate scegli la distanza delle masse dal punto di equilibrio delle molle, allora M sarà ancora diagonale...probabilmente tu hai sempre scelto queste coordinate e quindi ti risulta sempre M diagonale.
Nel caso genereale $Mddotq+Cdotq+Vq=0$ NON esiste un set di coordinate lagrangiane in cui M, C e V abbiano tutte e tre rappresentazione diagonale, quindi nel caso generale il problema è sempre accoppiato.
Ciao Vulplasir ti ringrazio per il lungo intervento. Essendo un corso di Meccanica Applicata alle Macchine la prima parte in alcuni punti era anche troppo approfondita ma sono riuscito a seguirla a grandi linee e mi ha dato degli ottimi spunti. Per quanto riguarda la seconda parte mi hai convinto, cosa che non aveva fatto il mio professore quando gli ho esposto questo dubbio. Probabilmente non aveva capito in pieno il mio quesito. Se hai voglia di continuare a togliermi qualche dubbio non mi è chiara molto l'espressione delle 3 matrici (m, k e c) e le loro proprietà. L'unica cosa che riesco a dedurre con facilità è che $[k]$ sia simmetrica per il teorema di Betti.
Saluti
Saluti
Perchè insegnano meccanica "applicata" senza avere prima insegnato delle basi teoriche da applicare, e poi uno si ritrova confuso e non capisce il perché delle cose.
La matrice delle masse M dipende solo dall'espressione dell'energia cinetica di un sistema. Se il sistema è vincolato con vincoli fissi e lisci, si può dimostrare che l'energia cinetica del sistema è una cosiddetta "forma quadratica" $T=1/2sum_(hk)m_(hk)dotq_hdotq_k$
Nel caso di due coordinate lagrangiane $q_1$ e $q_2$ diventa:
$T=1/2m_(11)dotq_1^2+1/2m_(22)dotq_2^2+1/2m_(12)dotq_1dotq_2+1/2m_(21)dotq_2dotq_1$
I coefficienti $m_(hk)$ hanno le dimensioni di una massa, e la loro espressione nella teoria della dinamica lagrangiana ci dice che $m_(hk)=m_(kh)$, ossia nel caso di 2 coordinate implica $m_(12)=m_(21)$.
Pertanto, analizzando l'espressione dell'energia cinetica generale, ci si accorge che essa non è altro che il prodotto:
$T=1/2vecq*Mvecq$, tra il vettore $vecq$ delle coordinate lagrangiane, e la matrice $M$ di componenti $M_(hk)=m_(hk)$, per quanto detto quindi risulta che questa matrice M è simmetrica, e risulta inoltre "definita positiva", infatti l'energia cinetica E' SEMPRE POSITIVA a meno che TUTTE le velocità siano nulle.
Se per esempio ti danno un certo sistema, tu ti trovi delle coordinate lagrangiane, calcoli l'energia cinetica e ti troverai l'espressione di una forma quadratica, prendi i coefficienti dei vari termini e li metti in una matrice, e ottieni la matrice delle masse, nel caso generico di sistema qualunque (anche corpi rigidi), i componenti della matrice delle masse possono non aver niente a che fare con le masse dei vari componenti del sistema, sono solo dei coefficienti che sono dimensionalmente delle masse, ANZI, possono non essere dell masse se per esempio come coordinate lagrangiana abbiamo un angolo, in quel caso avremo anche momenti d'inerzia. Nei casi che hai affrontato te la matrice delle masse risulta diagonale e i suoi componenti sono proprio le masse dei vari punti materiali del sistema, ma si tratta solo di un caso particolare.
Riguardo alla matrice $K$ delle rigidezze, il teorema di Betti in questo caso non c'entra niente (esistono tante cose chiamate matrice di rigidezza), nel nostro caso tale matrice altro non è che la matrice hessiana del potenziale delle forze conservative calcolato nel punto di equilibrio in cui vogliamo studiare l'oscillazione, ovviamente il potenziale deve essere almeno di classe $C^2$, quindi per il teorema di Schwartz è simmetrica. Anche nella meccanica strutturale la questione è la stessa (forse riguardo a questo hai trovato il teorema di betti), la matrice di rigidezza altro non è che la matrice hessiana di qualche energia elastica del corpo in questione, esistono vari teoremi analitici che sono pari pari trasformati in metodi numerici nel calcolo a elementi finiti (per esempio teorema della stazionarietà dell'energia totale, dell'energia complementare etc, il teorema di betti è conseguenza di questi e quindi è equivalente dire che è a causa di Betti o di principi di stazionarietà del potenziale di qualche tipo), solo che chi fa calcolo a elementi finiti non ha idea di cosa sta facendo nella maggior parte dei casi.
Per ottenere la matrice K devi scrivere l'energia potenziale del sistema in funzione delle coordinate lagrangiane e poi farne la matrice hessiana.
Riguardo alla matrice C, essa è del tutto analoga a K, infatti le forze elastiche tra due corpi sono del tipo $F=-k(x_1-x_2)$, mentre quelle viscose sono del tipo $F=-c(v_1-v_2)$, come vedi c'è una perfetta analogia, se le forze elastice le puoi esprimere come derivata rispetto a x di una energia potenziale $U=1/2k(x_1-x_2)^2$, allora quelle viscose le puoi esprimere come derivata rispetto alla velocità di una certo potenziale generalizzato detto funzione di dissipazione di Rayleigh: $F=1/2c(v_1-v_2)^2$, quindi quando hai il tuo sistema di molle e smorzatori, ti calcoli l'energia cinetica, l'energia potenziale e la funzione di dissipazione e hai finito, invece di usare le equazioni della dinamica.
non mi è chiara molto l'espressione delle 3 matrici (m, k e c) e le loro proprietà
La matrice delle masse M dipende solo dall'espressione dell'energia cinetica di un sistema. Se il sistema è vincolato con vincoli fissi e lisci, si può dimostrare che l'energia cinetica del sistema è una cosiddetta "forma quadratica" $T=1/2sum_(hk)m_(hk)dotq_hdotq_k$
Nel caso di due coordinate lagrangiane $q_1$ e $q_2$ diventa:
$T=1/2m_(11)dotq_1^2+1/2m_(22)dotq_2^2+1/2m_(12)dotq_1dotq_2+1/2m_(21)dotq_2dotq_1$
I coefficienti $m_(hk)$ hanno le dimensioni di una massa, e la loro espressione nella teoria della dinamica lagrangiana ci dice che $m_(hk)=m_(kh)$, ossia nel caso di 2 coordinate implica $m_(12)=m_(21)$.
Pertanto, analizzando l'espressione dell'energia cinetica generale, ci si accorge che essa non è altro che il prodotto:
$T=1/2vecq*Mvecq$, tra il vettore $vecq$ delle coordinate lagrangiane, e la matrice $M$ di componenti $M_(hk)=m_(hk)$, per quanto detto quindi risulta che questa matrice M è simmetrica, e risulta inoltre "definita positiva", infatti l'energia cinetica E' SEMPRE POSITIVA a meno che TUTTE le velocità siano nulle.
Se per esempio ti danno un certo sistema, tu ti trovi delle coordinate lagrangiane, calcoli l'energia cinetica e ti troverai l'espressione di una forma quadratica, prendi i coefficienti dei vari termini e li metti in una matrice, e ottieni la matrice delle masse, nel caso generico di sistema qualunque (anche corpi rigidi), i componenti della matrice delle masse possono non aver niente a che fare con le masse dei vari componenti del sistema, sono solo dei coefficienti che sono dimensionalmente delle masse, ANZI, possono non essere dell masse se per esempio come coordinate lagrangiana abbiamo un angolo, in quel caso avremo anche momenti d'inerzia. Nei casi che hai affrontato te la matrice delle masse risulta diagonale e i suoi componenti sono proprio le masse dei vari punti materiali del sistema, ma si tratta solo di un caso particolare.
Riguardo alla matrice $K$ delle rigidezze, il teorema di Betti in questo caso non c'entra niente (esistono tante cose chiamate matrice di rigidezza), nel nostro caso tale matrice altro non è che la matrice hessiana del potenziale delle forze conservative calcolato nel punto di equilibrio in cui vogliamo studiare l'oscillazione, ovviamente il potenziale deve essere almeno di classe $C^2$, quindi per il teorema di Schwartz è simmetrica. Anche nella meccanica strutturale la questione è la stessa (forse riguardo a questo hai trovato il teorema di betti), la matrice di rigidezza altro non è che la matrice hessiana di qualche energia elastica del corpo in questione, esistono vari teoremi analitici che sono pari pari trasformati in metodi numerici nel calcolo a elementi finiti (per esempio teorema della stazionarietà dell'energia totale, dell'energia complementare etc, il teorema di betti è conseguenza di questi e quindi è equivalente dire che è a causa di Betti o di principi di stazionarietà del potenziale di qualche tipo), solo che chi fa calcolo a elementi finiti non ha idea di cosa sta facendo nella maggior parte dei casi.
Per ottenere la matrice K devi scrivere l'energia potenziale del sistema in funzione delle coordinate lagrangiane e poi farne la matrice hessiana.
Riguardo alla matrice C, essa è del tutto analoga a K, infatti le forze elastiche tra due corpi sono del tipo $F=-k(x_1-x_2)$, mentre quelle viscose sono del tipo $F=-c(v_1-v_2)$, come vedi c'è una perfetta analogia, se le forze elastice le puoi esprimere come derivata rispetto a x di una energia potenziale $U=1/2k(x_1-x_2)^2$, allora quelle viscose le puoi esprimere come derivata rispetto alla velocità di una certo potenziale generalizzato detto funzione di dissipazione di Rayleigh: $F=1/2c(v_1-v_2)^2$, quindi quando hai il tuo sistema di molle e smorzatori, ti calcoli l'energia cinetica, l'energia potenziale e la funzione di dissipazione e hai finito, invece di usare le equazioni della dinamica.
Ti ringrazio veramente ora mi é tutto più chiaro. Purtroppo questa parte di programma é affrontata in maniera abbastanza frettolosa e superficiale e mi era difficile farmi tornare alcuni concetti. Per esempio non si accenna nemmeno la trattazione con le energie che hai esposto tu.
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