[Meccanica applicata] Sistemi a n gdl non smorzati - Massa modale e rigidezza principale

[Cla1608]

Buongiorno,

per un sistema a n gradi di libertà non smorzato l'equazione di moto in forma matriciale è la seguente:
1) $[K]*(x)=-[M]*(ddot(x))$

$[K]$ matrice delle rigidezze (simmetrica, definita semi-positiva)
$[M]$ matrice delle masse (simmetrica, definita positiva)
$(x)$ rappresenta le incognite del problema (i vari gradi di libertà delle masse), rappresenta il modo di vibrare

Considerando una risposta del tipo sinusoidale
2) $x_(i)(t)=X_(i)*cos(omega*t+phi)$

derivando due volte la 2) e sostituendo nella 1) avremo:
3) $[K]*(X) = mu*[M]*(X)$ posto $omega^2=mu$

Nelle dispense che ho si vuole arrivare a definire la matrice modale e quella di rigidezza modale, quindi si considerano questi passaggi;

si fa riferimento a un X i-esimo e un X j-esimo modo di vibrare del sistema, quindi si ha:
4) $[K]*(X_(i)) = mu_(i)*[M]*(X_(i))$
5) $[K]*(X_(j)) = mu_(j)*[M]*(X_(j))$

si moltiplica la 4) per $(X_(j))^T$ e la 5) per $(X_(i))^T$ (cioè i trasposti dei rispettivi vettori), si ha:
4a) $(X_(j))^T*[K]*(X_(i)) = mu_(i)*(X_(j))^T*[M]*(X_(i))$
5a) $(X_(i))^T*[K]*(X_(j)) = mu_(j)*(X_(i))^T*[M]*(X_(j))$

Prendendo una delle 2 (o la 4a o la 5a, in questo caso la 4a) avrò che (sviluppando il trasposto):
$((X_(j))^T*[K]*(X_(i)))^T=(X_(i))^T*[K]*(X_(j))$

Le stesse identiche considerazioni sono valide per i secondi termini (quelli con $mu$) posso dire che:
$(X_(j))^T*[M]*(X_(i))=(X_(i))^T*[M]*(X_(j))$

pertanto sottraendo dalla 4a) la 5a) avrò:
$(mu_(i)-mu_(j))*(X_(i))^T*[M]*(X_(j))=vec(0)$

Essendo $mu_(i)$ diverso da $mu_(j)$ avrò:
$(X_(i))^T*[M]*(X_(j))=vec(0)$ e anche quindi $(X_(j))^T*[M]*(X_(i))=vec(0)$

Vengono pertanto definite:
6) $(X_(i))^T*[M]*(X_(i))=M_(i)$ massa modale (o principale)
7) $(X_(i))^T*[K]*(X_(i))=K_(i)$ rigidezza modale (o principale)

ALCUNE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
domanda 1) Non riesco a capire quindi, alla fine che significato hanno questa massa modale e rigidezza modale e cosa centrano dopo tutto quello fatto sopra?

Sono due scalari definiti come dalla 6) e dalla 7), di fatto rappresentano gli elementi della diagonale della matrice principale di massa (nel caso delle masse) e della matrice principale di rigidezza (nel caso delle rigidezze) e servono per diagonalizzare $[M]$ e $[K]$, sono in pratica gli autovalori di $[M]$ e $[K]$. Se non ho capito male quindi la relazione 6) e 7) ci dice "GLI AUTOVALORI SI CALCOLANO COSI'".

Poi dopo lo sproloquio delle dispense procede così:

Considerando che:
$[Phi]=[(x_(1), ... , x_(n)]$

l'equazione del moto del sistema può essere scritta come:
$([Phi]^T)[K][Phi]([Phi]^(-1))*(x)=([Phi]^T)[M][Phi]([Phi]^(-1))*(ddot(x))$

ponendo:
$([Phi]^T)[K][Phi]=[K_(p)]$
$([Phi]^T)[M][Phi]=[M_(p)]$
$([Phi]^(-1))*(x)=(x_(p))$
$([Phi]^(-1))*(ddot(x))=(ddot(x_(p)))$

diventa:
$[K_(p)](x_(p))=[M_(p)]*(ddot(x_(p)))$

Dove $x_(p)$ e $ddot(x_(p))$ sono espresse nelle direzioni principali.

ALCUNE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
Quanto fatto sopra riprende l'equazione 1) (non considera quindi espressamente $x_(i)(t)=X_(i)*cos(omega*t+phi)$, ho capito male? Perchè?

ALTRE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
Come faccio quindi a dimostrare che gli autovettori delle matrici delle masse e delle rigidezze sono ortogonali alla matrice dinamica $[A]=([M]^-1)[K]$ dopo tutto questo popò di roba? Probabilmente la risposta sta in quanto sopra ma sono in confusione e mi sfugge.

Grazie per qualsiasi suggerimento

[gtx1]

per un sistema a n gradi di libertà non smorzato l'equazione di moto in forma matriciale è la seguente:
1) [K]⋅(x)=[M]⋅(x..)

No, scrivi l'equazione giusta e si può continuare.

[Cla1608]

"gtx":

per un sistema a n gradi di libertà non smorzato l'equazione di moto in forma matriciale è la seguente:
1) [K]⋅(x)=[M]⋅(x..)

No, scrivi l'equazione giusta e si può continuare.

Cos ha che non va??

[gtx1]

e' sbagliata

[Cla1608]

"gtx":e' sbagliata

eloquente, ok:

EDIT
1) $[K]*(x)=-[M]*(ddot(x))$

[gtx1]

$Mddotx+Kx=0$

matrice di rigidezza, simmetrica, definita semi-positiva)

semi-definita positiva. sai dimostrarlo?

matrice di massa (simmetrica, definita positiva)

sai dimostrarlo?

x rappresenta le incognite del problema (i vari gradi di libertà delle masse), rappresenta il modo di vibrare

no, le x sono i gdl del sistema, non i modi di vibrare, che sono tutt'altra cosa.

Lascia perdere quelle dispense. Per prima cosa, qual è il problema principale di una generica equazione $Mddotx + Kx=0$?.

Considera quindi soluzioni del tipo $x=Xe^(i omega t)$, sostituiscile nelle equazioni di moto, cosa ottieni?

[Cla1608]

Per dimostrare che $[M]$ e $[K]$ siano rispettivamente positiva e semi-positiva credo vada verificato che gli autovalori sono poistivi per $[M]$ e positivi o nulli per $[K]$. E così?

Per il fatto che siano simmetriche non saprei da dove iniziare.

Le $x$ sono i gdl del sistema ... infatti avevo scritto così inzialmente, poi nelle dispense c era una nota fuorviante che parlava di modo i-esimo ...

Considera quindi soluzioni del tipo $x=Xe^iωt$, sostituiscile nelle equazioni di moto, cosa ottieni?

$-m*omega^2*X+K*X=0$

[gtx1]

−M⋅ω2⋅X+K⋅X=0

eh ok vai avanti, detta $A=K-Momega^2$ la matrice hai un sistema lineare omogeneo $AX=0$, quando è che si hanno soluzioni diverse a questo sistema oltre alla banale $X=0$? Perchè chiaramente si tu avessi $X=0$ allora avresti anche $x=0$, cioè niente si muove, chiaramente non è cosi.

Per dimostrare che [M] e [K] siano rispettivamente positiva e semi-positiva credo vada verificato che gli autovalori sono poistivi per [M] e positivi o nulli per [K]. E così?

beh certo, cosi applicheresti la definizione, io intendevo qualcosa di piu intuitivo basato sul significato fisico di K e M.

M rappresenta la forma quadratica associata all'energia cinetica, e si sa che l'energia cinetica è una forma quadratica simmetrica definita positiva (ossia non è mai negativa ed è nulla solo se sono nulle tutte le velocità), quindi anche M è simmetrica definita positiva.

Per quanto riguarda K essa rappresenta la forma quadratica associata all'energia elastica, e l'energia è simmetrica, si può dimostrare dal plv o dai vari teroemi energetici di teoria dell'aelasticita lineare. Inoltre è semidefinita positiva perché quando le x rappresentano un moto rigido allora l'energia di deformazione è nulla, pertanto si hanno degli automoti $x!=0$ che non modificno l'energia elastica rendendo K semi definitia positiva.

[Cla1608]

quando è che si hanno soluzioni diverse a questo sistema oltre alla banale X=0?

La soluzione non banale ce l ho quando il determinante della matrice dinamica è nullo, pertanto è un problema agli autovalori.
In queste dispense viene definita appunto la matrice dinamica $[A]$ considerando che (partendo dalla relazione del sistema)

$[K]X- mu[M]X=0$ con $[A]=[M]^-1[K]$ diventa $([A]-mu)X=0$ ($mu=omega^2$ e $$è la matrice identità)

Ora tutto quel popò di roba con X i-esimo e X j-esimo servono a dimostrare cosa? E' un pò lungo tutto il discorso ma alla fine (almeno credo) il tutto è finalizzato a esprime il sistema nelle coordinate principali, quindi con una matrice di massa diagonale e di rigidezza diagonale, disaccoppiando tutte le n equazioni (potendole quindi risolvere una ad una).

Infatti (se non ho capito male) le relazioni $(X_(j))^T[M](X_(i))=0$ e $(X_(i))^T[M](X_(j))=0$ sono sufficienti a dire (dimostrando l'ortogonalità reciproca) che i 2 vettori $X_(i)$ e $X_(j)$ sono autovettori (rispettivamente legati all'autovalore $mu_(i)$ e $mu_(j)$) e quindi che posso considerare:

$[Phi]=[(X_(1)); .... (X_(n))]$ una matrice composta da n autovettori (della matrice dinamica suppongo)

avrò:

$[Phi]^T[K][Phi][Phi]^-1(x)+[Phi]^T[M][Phi][Phi]^-1(ddot(x))=0$

quindi nelle direzioni principali
$[K_(p)](x_(p))+[M_(p)](ddot(x_(p)))=0$

Che ho confusione è evidente ... mi sfugge proprio il criterio con cui sono stati fatti questi passaggi ...

[gtx1]

Risolvendo l'equazione agli autovalori trovi le pulsazioni $omega_i$ che annullano il determinante, il corrispondente autovettore $X_i$ è tale che $(K-omega_i^2M)X_i=0$. Hai n autovalori (o pulsazioni proprie $omega_i$) e i corrispondenti n autovettori (o modi propri) $X_i$. Per i gdl puoi quindi scrivere:

$x=sum X_ie^(iomegat)$

Ossia la risposta del sistema è una combinazione lineare dei modi propri alle rispettive pulsazioni proprie.

Ma la questione non si ferma qui. Infatti se fosse presente una forzante nel sistema aver trovato i modi e le pulsazioni proprie è di grande utilita nel risolvere il problema forzato perché il problema di base è accoppiato (ossia le varie equazioni sono accoppiate tra loro e non è semplice risolverle in maniera diretta perché i gdl nei sistemi meccanici in generale sono dell'ordine dei migliaia, basti pensare agli elementi finiti). Per questo si sfruttano le proprietà di ortogonalità dei modi propri, ossia si dimostra che i modi X_i e X_j con $i!=j$ sono ortognali rispetto a M e K, come hai scritto te.

Questo ci permette di diagonalizzare M e K, in pratica ci consente di fare un cambio di coordinate in cui la rappresentazione di M e K è diagonale. Considera quindi il seguente cambio di coordinate:

$x_p=Phi^-1x$

In cui $Phi$ è la matrice dei modi propri.

Allora hai: $x=Phix_p$, sostituendo nell'equazione di moto hai:

$MPhiddotx_p+KPhix_p=0$

Premoltiplicando a sinistra per $Phi^T$ hai:

$Phi^TMPhiddotx_p+Phi^TKPhix_p=0$

Dalle proprieta di ortogonalita dei modi propri si arriva a dire che la matrice dei modi propri diagonalizza M e K, quind le matrici:

$M_p=Phi^TMPhi$
$K_p=Phi^TKPhi$

sono la rappresentazione di K e M nel nuovo sistema di coordinate $x_p$ e risulta che questa rappresentazione è diagonale.

QUesto è fondamentale perché ci permette di disaccoppiare le equazioni di moto e risolverle una a una nel sistema di coordinate principali $x_p$ e poi tornare nel sistema originaria attraverso la trasformazione di coordinate di prima.

Fare questo passaggio è fondamentale soprattutto quando nel sistema è presente una forzante $Mddotx+Kx=f$.
In questo caso per prima cosa si risolve il problema non forzato, si trovano modi e pulsazioni proprie, si passa quindi al sistema di coordinate principali e in questo sistema di coordinate si risolve il problema dinamico, in cui risulta facilmente risolvibile e da luogo ai concetto di risonanza, ricettanza etc che avrai sentito.

[Cla1608]

Complimenti sei preparatissimo ... a differenza di qualcuno di mia conoscenza ....

Nel caso di sistema forzante dovrei quindi trovare una espressione sempre nelle coordinate principali del tipo $[Phi]^T[F][Phi]$?

Ho l abitudine di indicare le matrici con le parentesi quadre...

[gtx1]

No, una volta trovata la matrice modale $Phi$, fai la trasformazione $x=Phix_p$ e ottieni:

$MPhiddotx_p+KPhix_p=f$

Quindi premoltiplichi per $Phi^T$:

$Phi^TMPhiddotx_p+Phi^TKPhix_p=Phi^Tf$

Per quanto detto quindi hai le matrici $M_p$ e $K_p$ diagonali, mentre il termine $f_p=Phi^Tf$ rappresenta le forzanti principali, ossia la proiezione delle forzanti sulle coordinate principali, infine:

$M_pddotx_p+K_px_p=f_p$

Rappresenta l'equazione di moto nelle coordinate principali.

Ho l abitudine di indicare le matrici con le parentesi quadre...

brutta abitudine, ti fa perdere tempo inutilmente e inoltre non permette di afferrare al volo le analogie "scalari", e vettoriali/matriciali/tensoriali...ossia per me scrivere $Mddotx+Kx=0$ lo vedo gia come una relazione matriciale perché ho l'abitudine a vedere le cose in modo piu generale, e considerando che nella pratica ingegneristica qualsiasi relazione è matriciale, questo ti evita inutili forme di rappresentzioni per le matrici.

[Cla1608]

Tra le varie c è un altra cosa che non ho capito ed è una scrittura abbastanza ricorrente nelle varie dimostrazioni.
Viene definita la massa modale come

$M_(k)=(X_(k))^T[M](X_(k))$

e spesso mi trovo questa equivalenza (premoltiplicando $x(t)=[Phi]x_(p)(t)$ per $(X_(k))^T[M]$ e considerando $x_(p_(i))=( A_(i)cos(ω_(n_(i))t)+B_(i)sin(ω_(n_(i))t))$ sono le soluzioni armoniche i-esime nelle direzioni principali, ottengo:

$(X_(k))^T[M]x(t)=(X_(k))^T[M][Phi]X_(p)(t)= sum_(i = 1\ldotsn) (X_(k))^T[M](X_(i))(A_(i)cos(ω_(n_(i))t)+B_(i)sin(ω_(n_(i))t))=M_(k)(A_(k)cos(ω_(n_(k))t)+B_(k)sin(ω_(n_(k))t)) $

Da qui poi si trovano $A_(k)$ e $B_(k)$ per $t=0$

Faccio difficoltà a capire:
$sum_(i = 1\ldotsn) (X_(k))^T[M](X_(i))(A_(i)cos(ω_(n_(i))t)+B_(i)sin(ω_(n_(i))t))=M_(k)(A_(k)cos(ω_(n_(k))t)+B_(k)sin(ω_(n_(k))t)) $

dipende dal fatto che tutti gli altri autovettori diversi da k sono ortogonali e quindi si annullano??

[gtx1]

Si esatto

[Cla1608]

una cosa che per te sicuramente sarà banale (sono 15 anni che non faccio più un esercizio), faccio difficoltà per un sistema generico a definire le matrici di massa e di rigidezza, prendiamo ad esempio un modello semplice come il seguente (trascurando al momento gli smorzatori viscosi):


Io procedo (ma non so se è corretto), simulando lo spostamento di ogni massa in direzione positiva (in questo caso verso il basso), e mettendo in equilibrio ogni massa.

Ad esempio sulla prima (quella più in alto) avrò:
- una forza elastica verso l'alto pari a $-k*x_(1)$ (il segno meno è dovuto all'orientatamento in su)
- una forza elastica (il verso dipende dalla differenza tra $x_(2)$ e $x_(1)$, in ogni caso per convenzione, questa forza sarà $-kx_(1)+kx_(2)$
- la massa per accelerazione

Per le varie masse numerate dall'alto verso il basso in 1-2-3 avrò:

1) $mddot(x_(1))+x_(1)(-2k)+x_(2)(k)+x_(3)(0)=0$
2) $mddot(x_(2))+x_(1)(k)+x_(2)(-2k)+x_(3)(k)=0$
3) $mddot(x_(3))+x_(1)(0)+x_(2)(k)+x_(3)(-k)=0$

Da cui ne deriva la matrice di massa diagonale:

$ [ ( m , 0 , 0 ),( 0 , m , 0 ),( 0 , 0 , m ) ] $

e la matrice di rigidezza:
$ [ (-2k , k , 0 ),( k , -2k , k ),( 0 , k , -k ) ] $

E' corretta? Il modo di approcciarsi a questa tipologia di problemi è corretto?
Scusami se ti sto tempestando di domande ...

Per quanto riguarda gli smorzatori, in questo caso la matrice è analoga a quella delle rigidezze, quindi è proporzionale a $[K]$ e si può risolvere sempre in coordinate principali (diversamente sarebbe stato un casotto).

[gtx1]

Come hai messo le varie coordinate lagrangiane $x_i$?

[Cla1608]

in direzione verticale con verso in basso positivo

[gtx1]

Ma l'origine? tutte e tra hanno l'origine nel telaio in alto oppure ognuna ha origine nella massa che sta sopra?

[Cla1608]

ognuna ha l'origine nella sua posizione iniziale ($x_(1)$ ad esempio rappresenta la posizione rispetto all'origine della massa 1, ecc..), altri esempi li ho visti trattati così

[gtx1]

Cosi?

[Cla1608]

Si, una cosa del genere: