[Meccanica applicata] Sistemi a n gdl non smorzati - Massa modale e rigidezza principale
Buongiorno,
per un sistema a n gradi di libertà non smorzato l'equazione di moto in forma matriciale è la seguente:
1) $[K]*(x)=-[M]*(ddot(x))$
$[K]$ matrice delle rigidezze (simmetrica, definita semi-positiva)
$[M]$ matrice delle masse (simmetrica, definita positiva)
$(x)$ rappresenta le incognite del problema (i vari gradi di libertà delle masse), rappresenta il modo di vibrare
Considerando una risposta del tipo sinusoidale
2) $x_(i)(t)=X_(i)*cos(omega*t+phi)$
derivando due volte la 2) e sostituendo nella 1) avremo:
3) $[K]*(X) = mu*[M]*(X)$ posto $omega^2=mu$
Nelle dispense che ho si vuole arrivare a definire la matrice modale e quella di rigidezza modale, quindi si considerano questi passaggi;
si fa riferimento a un X i-esimo e un X j-esimo modo di vibrare del sistema, quindi si ha:
4) $[K]*(X_(i)) = mu_(i)*[M]*(X_(i))$
5) $[K]*(X_(j)) = mu_(j)*[M]*(X_(j))$
si moltiplica la 4) per $(X_(j))^T$ e la 5) per $(X_(i))^T$ (cioè i trasposti dei rispettivi vettori), si ha:
4a) $(X_(j))^T*[K]*(X_(i)) = mu_(i)*(X_(j))^T*[M]*(X_(i))$
5a) $(X_(i))^T*[K]*(X_(j)) = mu_(j)*(X_(i))^T*[M]*(X_(j))$
Prendendo una delle 2 (o la 4a o la 5a, in questo caso la 4a) avrò che (sviluppando il trasposto):
$((X_(j))^T*[K]*(X_(i)))^T=(X_(i))^T*[K]*(X_(j))$
Le stesse identiche considerazioni sono valide per i secondi termini (quelli con $mu$) posso dire che:
$(X_(j))^T*[M]*(X_(i))=(X_(i))^T*[M]*(X_(j))$
pertanto sottraendo dalla 4a) la 5a) avrò:
$(mu_(i)-mu_(j))*(X_(i))^T*[M]*(X_(j))=vec(0)$
Essendo $mu_(i)$ diverso da $mu_(j)$ avrò:
$(X_(i))^T*[M]*(X_(j))=vec(0)$ e anche quindi $(X_(j))^T*[M]*(X_(i))=vec(0)$
Vengono pertanto definite:
6) $(X_(i))^T*[M]*(X_(i))=M_(i)$ massa modale (o principale)
7) $(X_(i))^T*[K]*(X_(i))=K_(i)$ rigidezza modale (o principale)
ALCUNE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
domanda 1) Non riesco a capire quindi, alla fine che significato hanno questa massa modale e rigidezza modale e cosa centrano dopo tutto quello fatto sopra?
Sono due scalari definiti come dalla 6) e dalla 7), di fatto rappresentano gli elementi della diagonale della matrice principale di massa (nel caso delle masse) e della matrice principale di rigidezza (nel caso delle rigidezze) e servono per diagonalizzare $[M]$ e $[K]$, sono in pratica gli autovalori di $[M]$ e $[K]$. Se non ho capito male quindi la relazione 6) e 7) ci dice "GLI AUTOVALORI SI CALCOLANO COSI'".
Poi dopo lo sproloquio delle dispense procede così:
Considerando che:
$[Phi]=[(x_(1), ... , x_(n)]$
l'equazione del moto del sistema può essere scritta come:
$([Phi]^T)[K][Phi]([Phi]^(-1))*(x)=([Phi]^T)[M][Phi]([Phi]^(-1))*(ddot(x))$
ponendo:
$([Phi]^T)[K][Phi]=[K_(p)]$
$([Phi]^T)[M][Phi]=[M_(p)]$
$([Phi]^(-1))*(x)=(x_(p))$
$([Phi]^(-1))*(ddot(x))=(ddot(x_(p)))$
diventa:
$[K_(p)](x_(p))=[M_(p)]*(ddot(x_(p)))$
Dove $x_(p)$ e $ddot(x_(p))$ sono espresse nelle direzioni principali.
ALCUNE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
Quanto fatto sopra riprende l'equazione 1) (non considera quindi espressamente $x_(i)(t)=X_(i)*cos(omega*t+phi)$, ho capito male? Perchè?
ALTRE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
Come faccio quindi a dimostrare che gli autovettori delle matrici delle masse e delle rigidezze sono ortogonali alla matrice dinamica $[A]=([M]^-1)[K]$ dopo tutto questo popò di roba? Probabilmente la risposta sta in quanto sopra ma sono in confusione e mi sfugge.
Grazie per qualsiasi suggerimento
per un sistema a n gradi di libertà non smorzato l'equazione di moto in forma matriciale è la seguente:
1) $[K]*(x)=-[M]*(ddot(x))$
$[K]$ matrice delle rigidezze (simmetrica, definita semi-positiva)
$[M]$ matrice delle masse (simmetrica, definita positiva)
$(x)$ rappresenta le incognite del problema (i vari gradi di libertà delle masse), rappresenta il modo di vibrare
Considerando una risposta del tipo sinusoidale
2) $x_(i)(t)=X_(i)*cos(omega*t+phi)$
derivando due volte la 2) e sostituendo nella 1) avremo:
3) $[K]*(X) = mu*[M]*(X)$ posto $omega^2=mu$
Nelle dispense che ho si vuole arrivare a definire la matrice modale e quella di rigidezza modale, quindi si considerano questi passaggi;
si fa riferimento a un X i-esimo e un X j-esimo modo di vibrare del sistema, quindi si ha:
4) $[K]*(X_(i)) = mu_(i)*[M]*(X_(i))$
5) $[K]*(X_(j)) = mu_(j)*[M]*(X_(j))$
si moltiplica la 4) per $(X_(j))^T$ e la 5) per $(X_(i))^T$ (cioè i trasposti dei rispettivi vettori), si ha:
4a) $(X_(j))^T*[K]*(X_(i)) = mu_(i)*(X_(j))^T*[M]*(X_(i))$
5a) $(X_(i))^T*[K]*(X_(j)) = mu_(j)*(X_(i))^T*[M]*(X_(j))$
Prendendo una delle 2 (o la 4a o la 5a, in questo caso la 4a) avrò che (sviluppando il trasposto):
$((X_(j))^T*[K]*(X_(i)))^T=(X_(i))^T*[K]*(X_(j))$
Le stesse identiche considerazioni sono valide per i secondi termini (quelli con $mu$) posso dire che:
$(X_(j))^T*[M]*(X_(i))=(X_(i))^T*[M]*(X_(j))$
pertanto sottraendo dalla 4a) la 5a) avrò:
$(mu_(i)-mu_(j))*(X_(i))^T*[M]*(X_(j))=vec(0)$
Essendo $mu_(i)$ diverso da $mu_(j)$ avrò:
$(X_(i))^T*[M]*(X_(j))=vec(0)$ e anche quindi $(X_(j))^T*[M]*(X_(i))=vec(0)$
Vengono pertanto definite:
6) $(X_(i))^T*[M]*(X_(i))=M_(i)$ massa modale (o principale)
7) $(X_(i))^T*[K]*(X_(i))=K_(i)$ rigidezza modale (o principale)
ALCUNE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
domanda 1) Non riesco a capire quindi, alla fine che significato hanno questa massa modale e rigidezza modale e cosa centrano dopo tutto quello fatto sopra?
Sono due scalari definiti come dalla 6) e dalla 7), di fatto rappresentano gli elementi della diagonale della matrice principale di massa (nel caso delle masse) e della matrice principale di rigidezza (nel caso delle rigidezze) e servono per diagonalizzare $[M]$ e $[K]$, sono in pratica gli autovalori di $[M]$ e $[K]$. Se non ho capito male quindi la relazione 6) e 7) ci dice "GLI AUTOVALORI SI CALCOLANO COSI'".
Poi dopo lo sproloquio delle dispense procede così:
Considerando che:
$[Phi]=[(x_(1), ... , x_(n)]$
l'equazione del moto del sistema può essere scritta come:
$([Phi]^T)[K][Phi]([Phi]^(-1))*(x)=([Phi]^T)[M][Phi]([Phi]^(-1))*(ddot(x))$
ponendo:
$([Phi]^T)[K][Phi]=[K_(p)]$
$([Phi]^T)[M][Phi]=[M_(p)]$
$([Phi]^(-1))*(x)=(x_(p))$
$([Phi]^(-1))*(ddot(x))=(ddot(x_(p)))$
diventa:
$[K_(p)](x_(p))=[M_(p)]*(ddot(x_(p)))$
Dove $x_(p)$ e $ddot(x_(p))$ sono espresse nelle direzioni principali.
ALCUNE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
Quanto fatto sopra riprende l'equazione 1) (non considera quindi espressamente $x_(i)(t)=X_(i)*cos(omega*t+phi)$, ho capito male? Perchè?
ALTRE DOMANDE RIGUARDO QUELLO FATTO FINO AD ORA:
Come faccio quindi a dimostrare che gli autovettori delle matrici delle masse e delle rigidezze sono ortogonali alla matrice dinamica $[A]=([M]^-1)[K]$ dopo tutto questo popò di roba? Probabilmente la risposta sta in quanto sopra ma sono in confusione e mi sfugge.
Grazie per qualsiasi suggerimento
Risposte
Si va bene tranne la rigidezza, i segni nella matrice di rigidezza sono invertiti perché hai scritto ma+f=0 invece di ma=f.
Un modo piu veloce per ottenere le equazioni è usare le equazioni di Lagrange, ti basta trovare l'energia cinetica e potenziale:
$T=1/2mddotx_1^2+1/2mddotx_2^2+1/2mddotx_3^2$
$V=1/2kx_1^2+1/2k(x_2-x_1)^2+1/2k(x_3-x_2)^2$
Da cui si ricavano facilmente le equazioni.
Un modo piu veloce per ottenere le equazioni è usare le equazioni di Lagrange, ti basta trovare l'energia cinetica e potenziale:
$T=1/2mddotx_1^2+1/2mddotx_2^2+1/2mddotx_3^2$
$V=1/2kx_1^2+1/2k(x_2-x_1)^2+1/2k(x_3-x_2)^2$
Da cui si ricavano facilmente le equazioni.
"gtx":
Si va bene tranne la rigidezza, i segni nella matrice di rigidezza sono invertiti perché hai scritto ma+f=0 invece di ma=f.
Un modo piu veloce per ottenere le equazioni è usare le equazioni di Lagrange, ti basta trovare l'energia cinetica e potenziale:
$T=1/2mddotx_1^2+1/2mddotx_2^2+1/2mddotx_3^2$
$V=1/2kx_1^2+1/2k(x_2-x_1)^2+1/2k(x_3-x_2)^2$
Da cui si ricavano facilmente le equazioni.
Eh si, credo anche ci si possa sbagliare meno.
Poi voglio chiederti una cosa perchè sennò ci divento matto ... puoi spiegarmi per cortesia che differenza c è tra:
caso 1
considerare una forzante armonica del del tipo:
$F=F_(0)cos(omega*t)$
e una risposta del sistema del tipo $x(t)=Xcos(omega*t+phi)$
caso 2
considerare una forzante del del tipo:
$F=F_(0)*e^(i*omega*t)$
e una risposta del sistema $x(t)=X*e^(i*omega*t+phi)$
???
Su queste dispense mi ritrovo una volta indicata in forma trigonometrica, una volta esponenziale, poi si ritorna a quella trigonometrica ... già che ho confusione così è un disastro.
Tra le due diverse espressioni di fatto non c'è nessuna differenza, in pratica però la notazione esponenziale complessa è molto più semplice e permette di arrivare a importanti conclusioni in maniera molto più veloce ed elegante, usa sempre quella.
Non si scrive $Xe^(iomegat+phi)$ ma solo $Xe^(iomegat)$ perché la fase è gia contenuta nell'ampiezza complessa $X$ e perché di fatto $e^(iomegat+phi)=e^(iomegat)*e^(phi)=cost*e^(iomegat)$ (altra proprietà questa che semplifica le cose rispetto al caso trigonometrico)
Non si scrive $Xe^(iomegat+phi)$ ma solo $Xe^(iomegat)$ perché la fase è gia contenuta nell'ampiezza complessa $X$ e perché di fatto $e^(iomegat+phi)=e^(iomegat)*e^(phi)=cost*e^(iomegat)$ (altra proprietà questa che semplifica le cose rispetto al caso trigonometrico)
"gtx":
Tra le due diverse espressioni di fatto non c'è nessuna differenza, in pratica però la notazione esponenziale complessa è molto più semplice e permette di arrivare a importanti conclusioni in maniera molto più veloce ed elegante, usa sempre quella.
Non si scrive $Xe^(iomegat+phi)$ ma solo $Xe^(iomegat)$ perché la fase è gia contenuta nell'ampiezza complessa $X$ e perché di fatto $e^(iomegat+phi)=e^(iomegat)*e^(phi)=cost*e^(iomegat)$ (altra proprietà questa che semplifica le cose rispetto al caso trigonometrico)
Lo sospettavo non cambiasse nulla, e in effetti è molto molto più agevole la forma esponenziale, il problema è che mi trovo tanta trattazione con le forme trigonometriche nei "miei" appunti
In verita qualcosa cambia, uno usa il coseno perché sa già che quell'equazione ammette risposta sinusoidale, ma se per esempio M e K non sono simmetriche o definite positive cercare una soluzione sinusoidale non ti porta a niente, mentre cercare una esponenziale complessa si. Come per esempio nel caso di presenza di smorzamento $Mddotx+Cdotx+Kx=0$ cercare una soluzione sinusoidale non serve a niente.
In generale, nel caso di presenza di smorzamento generico la cosa migliore da fare è cercare soluzioni nella forma $e^(st)$, con s un parametro complesso.
"gtx":
In generale, nel caso di presenza di smorzamento generico la cosa migliore da fare è cercare soluzioni nella forma $e^(st)$, con s un parametro complesso.
posso chiedertene il motivo? magari è una domanda banale
Perché in generale con la presenza di smorzamento le pulsazioni $omega$ che troveresti cercando soluzioni $e^(iomegat)$ saranno complesse, questo non ti permette di scrivere poi direttamente $e^(iomegat)=cos(omegat)+isin(omegat)$ e quindi passare alla forma trigonometrica. COnviene direttamente cercare soluzioni $e^(st)$ con un parametro s complesso che non ha singificato di pulsazione. Cercando soluzioni $e^(iomegat)$ è implicito pensare a $omega$ come a un termine reale positivo che ha il significato fisico di pulsazione, nel caso di presenza di smorzamento questo non è verificato quindi non avrebbe senso cercare soluzioni in quella forma. La questione è un po' analoga alle trasformate di Fourier e Laplace se ci pensi. La trasformata di Fourier viene applicata a una funzione $f(x)$ periodica moltiplicandola per $e^(iomegat)$, con $omega$ reale positivo, e il significato è filtrarla su tutte le pulsazioni da $omega=0$ a $omega=+oo$. QUesto lo si fa appunto quando f(x) è periodica, quando f(x) non è periodica si applica invece la trasofmrata di Laplace moltiplicandola per $e^(st)$ con $s$ ora complesso. In pratica quindi in assenza di smorzamento la risposta sarà periodica, quindi cercando soluzioni come $e^(iomegat)$ è come se cercassimo (non è "come se" ma è proprio così) le componenti di Fourier della risposta. Nel caso smorzato invece la risposta non sarà periodica e quindi cercando soluzioni $e^(st)$ è come se cercassimo le componenti di Laplace della risposta.
Buongiorno, mi rimane un pò complicato ma in linea di massima il concetto è che:
1) se non ho smorzamento (risposta del sistema di tipo armonico), si considera una forzante del tipo $F*e^(i*omegat*t)$
2) se ho smorzamento (risposta del sistema di tipo NON armonico), si considera una forzante del tipo $F*e^(s*omega*t)$ con $s$ complesso
Nei "miei" appunti per introdurre il concetto di ricettanza,ecc.. in linea di massima si affronta l argomento così:
Sistema massa-molla-smorzatore con forzante di tipo armonico equazione generale:
a) $ddot(x)+(c/m)*dot(x)+(k/m)/x=F_(0)*e^(i*omega*t)$
Si considera una risposta del sistema di tipo:
b) $x(t)=X*e^(i*(omega*t-psi))$
già in a) il punto 1) non viene "rispettato", avendo smorzamento la forzante non doveva essere del tipo $F_(0)*e^(s*t)$?
Inoltre nella risposta del sistema b) in teoria non è necessario mettere lo sfasamento $psi$ ...
comunque al di là di tutte queste cose, mi rimane ostico associare a una forzante l'espressione legata ai numeri complessi ... perchè se ho una forzante armonica nel dominio del tempo devo mettere in gioco i numeri complessi?? è per una questione di aproccio analitico e fare in modo che il problema sia lineare?
1) se non ho smorzamento (risposta del sistema di tipo armonico), si considera una forzante del tipo $F*e^(i*omegat*t)$
2) se ho smorzamento (risposta del sistema di tipo NON armonico), si considera una forzante del tipo $F*e^(s*omega*t)$ con $s$ complesso
Nei "miei" appunti per introdurre il concetto di ricettanza,ecc.. in linea di massima si affronta l argomento così:
Sistema massa-molla-smorzatore con forzante di tipo armonico equazione generale:
a) $ddot(x)+(c/m)*dot(x)+(k/m)/x=F_(0)*e^(i*omega*t)$
Si considera una risposta del sistema di tipo:
b) $x(t)=X*e^(i*(omega*t-psi))$
già in a) il punto 1) non viene "rispettato", avendo smorzamento la forzante non doveva essere del tipo $F_(0)*e^(s*t)$?
Inoltre nella risposta del sistema b) in teoria non è necessario mettere lo sfasamento $psi$ ...
comunque al di là di tutte queste cose, mi rimane ostico associare a una forzante l'espressione legata ai numeri complessi ... perchè se ho una forzante armonica nel dominio del tempo devo mettere in gioco i numeri complessi?? è per una questione di aproccio analitico e fare in modo che il problema sia lineare?
Allora, innanzitutto quello che ho scritto nel messaggio precedente vale solo per il problema non forzato.
Ossia quando hai un sistema non forzato e non smorzato $Mddotx+Kx=0$ allora cerchi soluzioni del tipo $e^(iomegat)$, con $omega$ reale. Per le proprietà di M e K otterrai dei $omega$ reali.
Quando hai un sistema non forzato e smorzato $Mddotx+Cdotx+Kx=0$ allora cerchi soluzioni del tipo $e^(st)$ con s complesso, risolvendo il problema agli autovalori otterrai n autovalori $s$ complessi. In verità puoi cercare anche soluzione $e^(iomegat)$ anche in questo caso, ma otterrai delle pulsazioni $omega$ complesse, infatti i due metodi sono equivalenti, basta porre $s=iomega$. Ma nel caso smorzato si fa cosi perché $omega$ è percepita coma una pulsazione, quindi qualcosa di reale, ottenendone un valore complesso questa perde di significato, allora tanto vale non usarla e usare direttamente un'altra variabile complessa che non ha significato di pulsazione. Nei sistemi forzati la questione è diversa.
Perché è più semplice. Le varie notazioni non si introducono per rendere le cose difficili, ma per renderle piu semplici. Ecco perché esistono le notazioni vettoriali, matriciali, tensoriali, i numeri complessi etc, per emplificare le cose. Studiare un sistema lineare con i numeri complessi (o fasori in questo caso) richiede solo di saper contare.
Innanzitutto in sistemi di questo genere si considerano SEMPRE forzanti armoniche del tipo $F=F_0cos(omegat+phi)$, con $F_0 in RR$ reale.
Usare questa notazione però NON ci piace, è lunga, obsoleta, e complica le cose quando si va a risolvere poi l'equazione perché richiede calcoli trogonometrici noiosi. Allora si usa una notazione del tutto equivalente che fa uso delle proprietà dei numeri complessi, ossia scriviamo:
$F=F_0e^(iomegat)$
Dove è andata a finire la fase? E' stata inglobata nel termine $F_0$, infatti ora $F_0 in CC$ è complesso e quindi contiene anche una parte imamginaria, per le proprieta dei numeri complessi questa parte immaginaria corrisponde a uno sfasamento $phi$
Ecco quindi una prima drastica semplificazione, abbiamo un termine in meno da scrivere.
Passiamo quindi al problema generale forzato.
$Mddotx+Cdotx+Kx=F_0e^(iomegat)$
Quando siamo in presenza di un sistema forzato da una forzante con pulsazione $omega$ (in questo caso $omega$ è nota ed è la pulsazione della forzante, NON è una incognita!), allora per cercare la risposta bisogna fare delle considerazioni di tipo fisico.
Supponiamo per esempio che il sistema non sia smorzato:
$Mddotx+Kx=F_0e^(iomegat)$
In pratica abbiamo un sistema lineare consevrativo forzato da forzante armonica, per linearità e analogia è ragionevole aspettarci che la risposta del sistema sia una risposta armonica alla stessa pulsazione della forzante, ossia $x=Xe^(iomegat)$, con X complesso. In questo caso $omega$ NON è incognita, ma è la pulsazione della forzante. L'incognita è l'ampiezza e la fase della risposta, entrambe contenute nel numero complesso X. Inserendo la risposta nell'equazione si ottiene: (per semplicità ora considero un caso monodimensionale)
$X=F_0/(k-momega^2)$
Ecco, questo semplice risultato ci dice tutto: sia l'ampiezza sia la fase della risposta. Che si trovano con le proprietà dei numeri complessi (ricordando che sia X che F0 sono complessi e quindi hanno un modulo e una fase).
La quantità $1/(k-momega^2)$ è detta ricettanza ed è funzione della pulsazione $omega$ della forzante, per qualsiasi pulsazione della forzante $omega$, qualsiasi modulo e fase $F_0$ della forzante essa ci dice l'ampiezza e la fase della risposta.
In particolare nel caso non smorzato possiamo notare subito una cosa: la ricettanza è un numero reale, e pertanto ha fase $0$ oppure $180$ a seconda che sia positiva o negativa. Pertanto la fase della risposta X è uguale alla fase della forzante se la ricettanza è positiva, oppure è in controfase (sfasata di 180) se la ricettanza è negativa. Come vedi abbiamo ottenuto la fase senza aver fatto calcoli trogonometrici tediosi usando la notazione trigonometrica.
Considerando invece il caso smorzato e forzato
$Mddotx+Cdotx+Kx=F_0e^(iomegat)$
Essendoci smorzamento la riposta non sarà in teoria una risposta armonica, avrà una componente transitoria che si estinguerà nel tempo smorzandosi, ma una volta smorzata questa componente transitoria allora a regime è regionevole pensare che la risposta sarà armonica con pulsazione pari a quella della forzante (perché la forzante "forza" il sistema a lungo andare a muoversi come lei), pertanto a regime cerchiamo risposte del tipo $x=Xe^(iomegat)$, ossia risposte armoniche come la forzante. Come vedi non ho usato $e^(st)$ perché non voglio trovare le pulsazioni (complesse) del sistema libero, ma so già la pulsazione (reale) $omega$ a cui si muoverà il sistema data dalla forzante, per cui ora cerco solo il modulo e la fase con la quale si muoverà. Procedendo come prima, nel caso monodimensionale ottengo:
$X=F_0/(k-momega^2+icomega)$
Anche in questo caso ho subito il modulo e fase della riposta. In questo caso la ricettanza è complessa pertanto la fase della risposta non sarà semplicemente in fase o controfase con la forzante, ma avrà uno spettro continuo a seconda della fase della ricettanza.
Nel caso n-dimensionale la ricettanza è una matrice, e si scrive:
$X=[K-Momega^2+iComega]^(-1)F_0$
E questo comporta una serie di problemi, primo tra tutti il fatto che MAI si inverte una matrice numericamente, perché porta a errori numerici molti alti ed è molto costossa computazionalmente. E' per questo che si usano le pulsazioni proprie e gli autovettori del sistema non forzato, per poter poi diagonalizzare e invertire poi quella matrice.
Ossia quando hai un sistema non forzato e non smorzato $Mddotx+Kx=0$ allora cerchi soluzioni del tipo $e^(iomegat)$, con $omega$ reale. Per le proprietà di M e K otterrai dei $omega$ reali.
Quando hai un sistema non forzato e smorzato $Mddotx+Cdotx+Kx=0$ allora cerchi soluzioni del tipo $e^(st)$ con s complesso, risolvendo il problema agli autovalori otterrai n autovalori $s$ complessi. In verità puoi cercare anche soluzione $e^(iomegat)$ anche in questo caso, ma otterrai delle pulsazioni $omega$ complesse, infatti i due metodi sono equivalenti, basta porre $s=iomega$. Ma nel caso smorzato si fa cosi perché $omega$ è percepita coma una pulsazione, quindi qualcosa di reale, ottenendone un valore complesso questa perde di significato, allora tanto vale non usarla e usare direttamente un'altra variabile complessa che non ha significato di pulsazione. Nei sistemi forzati la questione è diversa.
perchè se ho una forzante armonica nel dominio del tempo devo mettere in gioco i numeri complessi?? è per una questione di aproccio analitico e fare in modo che il problema sia lineare?
Perché è più semplice. Le varie notazioni non si introducono per rendere le cose difficili, ma per renderle piu semplici. Ecco perché esistono le notazioni vettoriali, matriciali, tensoriali, i numeri complessi etc, per emplificare le cose. Studiare un sistema lineare con i numeri complessi (o fasori in questo caso) richiede solo di saper contare.
Innanzitutto in sistemi di questo genere si considerano SEMPRE forzanti armoniche del tipo $F=F_0cos(omegat+phi)$, con $F_0 in RR$ reale.
Usare questa notazione però NON ci piace, è lunga, obsoleta, e complica le cose quando si va a risolvere poi l'equazione perché richiede calcoli trogonometrici noiosi. Allora si usa una notazione del tutto equivalente che fa uso delle proprietà dei numeri complessi, ossia scriviamo:
$F=F_0e^(iomegat)$
Dove è andata a finire la fase? E' stata inglobata nel termine $F_0$, infatti ora $F_0 in CC$ è complesso e quindi contiene anche una parte imamginaria, per le proprieta dei numeri complessi questa parte immaginaria corrisponde a uno sfasamento $phi$
Ecco quindi una prima drastica semplificazione, abbiamo un termine in meno da scrivere.
Passiamo quindi al problema generale forzato.
$Mddotx+Cdotx+Kx=F_0e^(iomegat)$
Quando siamo in presenza di un sistema forzato da una forzante con pulsazione $omega$ (in questo caso $omega$ è nota ed è la pulsazione della forzante, NON è una incognita!), allora per cercare la risposta bisogna fare delle considerazioni di tipo fisico.
Supponiamo per esempio che il sistema non sia smorzato:
$Mddotx+Kx=F_0e^(iomegat)$
In pratica abbiamo un sistema lineare consevrativo forzato da forzante armonica, per linearità e analogia è ragionevole aspettarci che la risposta del sistema sia una risposta armonica alla stessa pulsazione della forzante, ossia $x=Xe^(iomegat)$, con X complesso. In questo caso $omega$ NON è incognita, ma è la pulsazione della forzante. L'incognita è l'ampiezza e la fase della risposta, entrambe contenute nel numero complesso X. Inserendo la risposta nell'equazione si ottiene: (per semplicità ora considero un caso monodimensionale)
$X=F_0/(k-momega^2)$
Ecco, questo semplice risultato ci dice tutto: sia l'ampiezza sia la fase della risposta. Che si trovano con le proprietà dei numeri complessi (ricordando che sia X che F0 sono complessi e quindi hanno un modulo e una fase).
La quantità $1/(k-momega^2)$ è detta ricettanza ed è funzione della pulsazione $omega$ della forzante, per qualsiasi pulsazione della forzante $omega$, qualsiasi modulo e fase $F_0$ della forzante essa ci dice l'ampiezza e la fase della risposta.
In particolare nel caso non smorzato possiamo notare subito una cosa: la ricettanza è un numero reale, e pertanto ha fase $0$ oppure $180$ a seconda che sia positiva o negativa. Pertanto la fase della risposta X è uguale alla fase della forzante se la ricettanza è positiva, oppure è in controfase (sfasata di 180) se la ricettanza è negativa. Come vedi abbiamo ottenuto la fase senza aver fatto calcoli trogonometrici tediosi usando la notazione trigonometrica.
Considerando invece il caso smorzato e forzato
$Mddotx+Cdotx+Kx=F_0e^(iomegat)$
Essendoci smorzamento la riposta non sarà in teoria una risposta armonica, avrà una componente transitoria che si estinguerà nel tempo smorzandosi, ma una volta smorzata questa componente transitoria allora a regime è regionevole pensare che la risposta sarà armonica con pulsazione pari a quella della forzante (perché la forzante "forza" il sistema a lungo andare a muoversi come lei), pertanto a regime cerchiamo risposte del tipo $x=Xe^(iomegat)$, ossia risposte armoniche come la forzante. Come vedi non ho usato $e^(st)$ perché non voglio trovare le pulsazioni (complesse) del sistema libero, ma so già la pulsazione (reale) $omega$ a cui si muoverà il sistema data dalla forzante, per cui ora cerco solo il modulo e la fase con la quale si muoverà. Procedendo come prima, nel caso monodimensionale ottengo:
$X=F_0/(k-momega^2+icomega)$
Anche in questo caso ho subito il modulo e fase della riposta. In questo caso la ricettanza è complessa pertanto la fase della risposta non sarà semplicemente in fase o controfase con la forzante, ma avrà uno spettro continuo a seconda della fase della ricettanza.
Nel caso n-dimensionale la ricettanza è una matrice, e si scrive:
$X=[K-Momega^2+iComega]^(-1)F_0$
E questo comporta una serie di problemi, primo tra tutti il fatto che MAI si inverte una matrice numericamente, perché porta a errori numerici molti alti ed è molto costossa computazionalmente. E' per questo che si usano le pulsazioni proprie e gli autovettori del sistema non forzato, per poter poi diagonalizzare e invertire poi quella matrice.
Faccio un ipotesi, detto in maniera terra terra, se io ad esempio ho una forzante di tipo cosinusoidale di qualsiasi tipo con le dovute accortezze potrei sviluppare i calcoli considerandola del tipo $X*e^(i*omega*t)$, una volta ottenuti i risultati considerare solo la parte reale? Nel caso in cui la forzante era di tipo sinusoidale avrei considerato solo la parte immaginaria, forse ho detto diverse cavolate ...
Fai un esempio postando i calcoli in cui ti ricavi modulo, pulsazione e fase della risposta in funzione di quelle della forzante.
devo analizzare in un sistema l'andamento delle coordinate x e y di un punto, ho queste relazioni:
1) $ ddot(x_(c)) +2xi omega_(n)dot(x_(c))+omega_(n)^2x_(c)=a omega^2cosomegat $
2) $ ddot(y_(c)) +2xi omega_(n)dot(y_(c))+omega_(n)^2y_(c)=a omega^2sinomegat $
Considero soltanto la $x$(analogamente per la y), pensavo di considerare invece di una forzante del tipo $a omega^2cosomegat $ una $a omega e^(iomegat)$, derivando e sostituendo una risposta del sistema di tipo $x(t)=X e^(i omega t)$ nella relazione 1) avrò:
$X(-omega^2+2xi omega_(n)omegai+omega_(n)^2)=a omega^2$
Quindi:
$X=(a omega^2)/(-omega^2+2xi omega_(n)omegai+omega_(n)^2)$
1) $ ddot(x_(c)) +2xi omega_(n)dot(x_(c))+omega_(n)^2x_(c)=a omega^2cosomegat $
2) $ ddot(y_(c)) +2xi omega_(n)dot(y_(c))+omega_(n)^2y_(c)=a omega^2sinomegat $
Considero soltanto la $x$(analogamente per la y), pensavo di considerare invece di una forzante del tipo $a omega^2cosomegat $ una $a omega e^(iomegat)$, derivando e sostituendo una risposta del sistema di tipo $x(t)=X e^(i omega t)$ nella relazione 1) avrò:
$X(-omega^2+2xi omega_(n)omegai+omega_(n)^2)=a omega^2$
Quindi:
$X=(a omega^2)/(-omega^2+2xi omega_(n)omegai+omega_(n)^2)$
Una volta arrivato a:
$X=(eomega^2)/(-omega^2+2comegai+omega_n^2)$
Hai finito.
Trova il modulo $abs(X)$ di X e la fase $phi$ di x, una volta trovati la tua soluzione sarà $x=abs(X)cos(omegat+phi)$.
Stessa cosa per l'equazione in seno, trova il modulo e la fase, la risposta sarà $x=abs(X)sin(omegat+phi)$.
$X=(eomega^2)/(-omega^2+2comegai+omega_n^2)$
Hai finito.
Trova il modulo $abs(X)$ di X e la fase $phi$ di x, una volta trovati la tua soluzione sarà $x=abs(X)cos(omegat+phi)$.
Stessa cosa per l'equazione in seno, trova il modulo e la fase, la risposta sarà $x=abs(X)sin(omegat+phi)$.
scusami ho avuto un contrattempo e ho dovuto abbandonare per un pò, ho scritto meglio il messaggio in maniera un pò più comprensibile. Sono arrivato al punto:
$X=(a omega^2)/(-omega^2+2xi omega_(n)omegai+omega_(n)^2)$
Quindi avrò che:
$ |X|=(a omega^2)/sqrt((omega_(n)^2-omega^2)^2+(2xi omega_(n)omega)^2) $
per la fase dovrò trovare la parte immaginaria e quella reale e fare l'arcotangente della parte immaginaria diviso la parte reale ... ora provo a smanettare un pò per trovarle, se non ho fatto male i calcoli avrò:
$ varphi =(2xi omega_(n)omega)/(omega_(n)^2-omega^2) $
qundi avrò che:
1) nel caso dovessi studiare la risposta al sistema per una sollecitazione del tipo $a omega^2cosomegat$ la risposta sarà $x(t)=|X|cos(omegat+varphi)$
2) nel caso dovessi studiare la risposta al sistema per una sollecitazione del tipo $a omega^2sinomegat$ la risposta sarà $x(t)=|X|sin(omegat+varphi)$
3) nel caso in cui la forzante sia sia di tipo sinusoidale che cosinusolidale alla fine otterrò una combinazione lineare della 1) e della 2) ma in pratica sarà $x(t)=|X| e^(omegait)$
$X=(a omega^2)/(-omega^2+2xi omega_(n)omegai+omega_(n)^2)$
Quindi avrò che:
$ |X|=(a omega^2)/sqrt((omega_(n)^2-omega^2)^2+(2xi omega_(n)omega)^2) $
per la fase dovrò trovare la parte immaginaria e quella reale e fare l'arcotangente della parte immaginaria diviso la parte reale ... ora provo a smanettare un pò per trovarle, se non ho fatto male i calcoli avrò:
$ varphi =(2xi omega_(n)omega)/(omega_(n)^2-omega^2) $
qundi avrò che:
1) nel caso dovessi studiare la risposta al sistema per una sollecitazione del tipo $a omega^2cosomegat$ la risposta sarà $x(t)=|X|cos(omegat+varphi)$
2) nel caso dovessi studiare la risposta al sistema per una sollecitazione del tipo $a omega^2sinomegat$ la risposta sarà $x(t)=|X|sin(omegat+varphi)$
3) nel caso in cui la forzante sia sia di tipo sinusoidale che cosinusolidale alla fine otterrò una combinazione lineare della 1) e della 2) ma in pratica sarà $x(t)=|X| e^(omegait)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo