[Meccanica applicata] Analisi modale in 2 GDL

[Silence1]

Buonasera, sono alle prese con la seconda parte di un esercizio, che riguarda l'analisi modale. Arrivo fino a un certo punto, ma non sono più certo di come concludere.

Mi viene chiesta la risposta in frequenza a regime. (NB: non riporto ogni singolo dato perchè più che il risultato mi interessa capire il procedimento mancante). La situazione è la seguente:

$[M]{ddotz}+[R]{dotz}+[K]{z}=[ (1000),(-1000) ]sinOmegat$

Ho tutte e tre le matrici. I modi di vibrare (calcolati a parte) sono $gamma_1=14.71 , gamma_2=41.45$, da cui ho ricavato la matrice degli autovettori

$varphi=[ ( 1 , 1 ),( 0.068 , 0.024 ) ]$

Da qui inizia il tentativo. Dunque, l'dea è che $varphi^T[M]varphi{ddotq}+varphi^T[R]varphi{dotq}+varphi^T[K]varphi{q}=varphi^T{F}$, e ciascuna delle matrici viene trasformata in una diagonale composta dai rispettivi autovalori. In questo caso (conti fatti a parte) diventa:

$[ ( 4 , 0 ),( 0 , 9 ) ]{ddotq} + [ ( 5 , 0 ),( 0 , 15 ) ] {dotq} + [ ( 5000 , 0 ),( 0 , 15000 ) ]{q}= [ ( 1 , 0.068 ),( 1 , 0.024 ) ][ ( 1000 ),( -1000 ) ] sinOmegat$ e quindi

${ ( 4ddotq_1+5dotq_1+5000q_1=932sinOmegat ),(9ddotq_2+15dotq_2+15000q_2=976sinOmegat ):}$

Come soluzioni considero

${ ( q_1=Q_1sinOmegat ),( q_2=Q_2sinOmegat ):}$ che derivo due volte, sostituisco nel sistema di partenza e così facendo trovo

$Q_1=932/(5000-4Omega^2), Q_2=976/(15000-9Omega^2)$

A questo punto ho $q_1, q_2$, e li sostituisco nel sistemma che dà origine alla matrice degli autovettori... e qui mi blocco. Posto che questo procedimento sia corretto, l'esercizio dà degli esempi di risposte dando valori arbitrari a $Omega$. Tuttavia, se do gli stessi valori io, il risultato cambia, dunque qualcosa di sbagliato c'è. Il problema è che non so cosa, sto ancora cercando di capire bene il procedimento.

Grazie

[Thememe1996]

Sei sicuro che la soluzione che ipotizzi sia solo un seno? Una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti con forzamento sinusoidale (come qui) credo che dovrebbe avere una espressione del tipo:

A*cos(Ωt)+B*sen(Ωt)

Inserita nell’equazione differenziale, ti permette di calcolare A e B e quindi definire completamente la soluzione.

Non sono sicuro al 100%, ma dovrebbe essere così credo.