[Matrici] Equazione di lagrange.
Salve a tutti,
Studiando robotica industriale mi sono imbattuto in un calcolo sicuramente non complesso ma che mi ha lasciato un pò perplesso.
Il professore durante la spiegazione definisce una funzione di costo: $1/2 dot q^T W dot q$ ($q$ è un vettore e $W$ è una matrice quadrata definita positiva) di cui però non spiega ne la provenienza ne la funzione.
Poi scrive l'eq di Lagrange:
$g( dot \vec q, \vec \lambda) = 1/2 dot q^T W dot q + \lambda^T(dot x_d - J_A dot q)$
In cui:
$q$ Vettore
$W$ matrice quadrata definita positiva
$x_d$ Vettore
$J_A$ Matrice quadrata
$\lmbda$ Ovviamente vettore dei moltiplicatori di Lagrange
Per minimizzare tale funzione risolve le seguenti derivate parziali da porre a zero:
$\{((delg)/(deldotq) = dotq^TW-\lambda^TJ_A), ((delg)\(del \lambda) = (dot x_d-J_Adotq)^T):}$
Adesso quello che non mi torna è questo: "Dove va a finire $1/2$ dell'equazione? E successivamente se io derivo una funzione in cui compare $\lambda^T$ per $\lambda$ come mi devo comportare? Come tratto l'operatore di trasposizione? Per ultimo... come mai il risultato della seconda derivata è tutto trasposto?"
Grazie a tutti spero di essere stato chiaro... non è facile mettere per iscritto dubbi matematici!
Studiando robotica industriale mi sono imbattuto in un calcolo sicuramente non complesso ma che mi ha lasciato un pò perplesso.
Il professore durante la spiegazione definisce una funzione di costo: $1/2 dot q^T W dot q$ ($q$ è un vettore e $W$ è una matrice quadrata definita positiva) di cui però non spiega ne la provenienza ne la funzione.
Poi scrive l'eq di Lagrange:
$g( dot \vec q, \vec \lambda) = 1/2 dot q^T W dot q + \lambda^T(dot x_d - J_A dot q)$
In cui:
$q$ Vettore
$W$ matrice quadrata definita positiva
$x_d$ Vettore
$J_A$ Matrice quadrata
$\lmbda$ Ovviamente vettore dei moltiplicatori di Lagrange
Per minimizzare tale funzione risolve le seguenti derivate parziali da porre a zero:
$\{((delg)/(deldotq) = dotq^TW-\lambda^TJ_A), ((delg)\(del \lambda) = (dot x_d-J_Adotq)^T):}$
Adesso quello che non mi torna è questo: "Dove va a finire $1/2$ dell'equazione? E successivamente se io derivo una funzione in cui compare $\lambda^T$ per $\lambda$ come mi devo comportare? Come tratto l'operatore di trasposizione? Per ultimo... come mai il risultato della seconda derivata è tutto trasposto?"
Grazie a tutti spero di essere stato chiaro... non è facile mettere per iscritto dubbi matematici!
Risposte
Bè molto semplicemente perchè facendo la derivata del quadrato si semplifica il fattore $1/2$
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